1、第 5 讲 数列的综合应用A 级 基础演练(时间：30 分钟 满分：55 分)一、选择题(每小题 5 分，共 20 分)1已知 an为等比数列下面结论中正确的是 ( )Aa 1a 32a 2 Ba a 2a21 23 2C若 a1a 3，则 a1a 2 D若 a3a1，则 a4a2解析 设公比为 q，对于选项 A，当 a11 025 的最小 n 值是 ( )A9 B10 C11 D12解析 因为 a11，log 2an1 log 2an1(nN *)，所以an1 2a n，a n2 n1 ，S n2 n1，则满足 Sn1 025 的最小 n 值是 11.答案 C3(2013威海期中 )某化工厂
2、打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产已知该生产线连续生产 n 年的累计产量为 f(n) n(n1)12(2n1) 吨，但如果年产量超过 150 吨，将会给环境造成危害为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是 ( )A5 年 B6 年 C7 年 D8 年解析 由已知可得第 n 年的产量 anf(n)f(n1)3n 2.当 n1 时也适合，据题意令 an150n5 ，即数列从第 8 项开始超过 150，即这条生产线2最多生产 7 年答案 C4(2013福州模拟 )在等差数列a n中，满足 3a47a 7，且 a10，S n是数列a n前 n 项的和，若 S
3、n取得最大值，则 n ( )A7 B8 C9 D10解析 设公差为 d，由题设 3(a13d)7(a 16d) ，所以 d a10，即 a1(n1) 0，( 433a1)所以 n0，同理可得 n10 时，a n2，即 3n2 n2n，(32) cn(nN *)SnTnKn(1)解 设公差为 d，则Error!解得 d1 或 d0(舍去) ，a 12，所以 ann1，S n .nn 32又 a12，d1，所以 a34，即 b24.所以数列 bn的首项为 b12，公比 q 2，b2b1所以 bn2 n，T n2 n1 2.(2)证明 因为 Kn22 132 2( n1)2 n， 故 2Kn22 2
4、32 3n2 n(n1)2 n1 ， 得K n22 12 22 32 n(n1)2 n1 ，K n n2n1 ，则 cn .SnTnKn n 32n 12n 1cn1 c n n 42n 1 12n 2 n 32n 12n 1 0，2n 1 n 22n 2所以 cn1 cn(nN *)6(13 分)(2012 重庆)设数列 an的前 n 项和 Sn满足 Sn1 a 2Sna 1，其中a20.(1)求证：a n是首项为 1 的等比数列；(2)若 a21 ，求证：S n (a1a n)，并给出等号成立的充要条件n2证明 (1)由 S2a 2S1a 1，得 a1a 2a 2a1a 1，即 a2a 2
5、a1.因 a20，故 a11，得 a 2，a2a1又由题设条件知 Sn2 a 2Sn1 a 1，S n1 a 2Sna 1，两式相减得 Sn2 S n1 a 2(Sn1 S n)，即 an2 a 2an1 ，由 a20，知 an1 0，因此 a 2.an 2an 1综上， a 2 对所有 nN *成立从而a n是首项为 1，公比为 a2 的等比an 1an数列(2)当 n1 或 2 时，显然 Sn (a1a n)，等号成立n2设 n3，a 21 且 a20，由(1)知，a 11，a na ，n 12所以要证的不等式化为：1a 2a a (1a )(n3) ，2 n 12n2 n 12即证：1a
6、 2a a (1a )(n2) ，2 n2n 12 n2当 a21 时，上面不等式的等号成立当1a 21 时，a 1 与 a 1，(r1,2，n1)同为负；r2 n r2当 a21 时，a 1 与 a 1，(r1,2，n1)同为正；r2 n r2因此当 a21 且 a21 时，总有(a 1)(a 1)0，即r2 n r2a a 1a ，(r1,2，n1)r2 n r2 n2上面不等式对 r 从 1 到 n1 求和得2(a2a a )( n1)(1 a )2 n 12 n2由此得 1a 2a a (1a )2 n2n 12 n2综上，当 a21 且 a20 时，有 Sn (a1a n)，当且仅当 n1,2 或 a21n2时等号成立.特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.
