1、北京市工大附中 2012 届上学期初中九年级期中考试数学试卷一、选择题（共 8 道小题，每小题 4 分，共 32 分）1. 若方程 250x的一个根是 a，则 25的值为（ ）A. 2 B. 0 C. 2 D. 4 2. 如图，O 的半径 OA 等于 5，半径 OC 与弦 AB 垂直，垂足为 D ，若 OD3，则弦AB 的长为（ ）A. 10 B. 8 C. 6 D. 43. 将抛物线 2yx经过怎样的平移可得到抛物线 2(3)4yx？（ ） A. 先向左平移 3 个单位，再向上平移 4 个单位B. 先向左平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位C. 先向右平移 3 个单位，再向上平移 4 个
2、单位D. 先向右平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位 4.小莉站在离一棵树水平距离为 a 米的地方，用一块含 30的直角三角板按如图所示的方式测量这棵树的高度，已知小莉的眼睛离地面的高度是 1.5 米，那么她测得这棵树的高度为（ ）A. 3()a米 B. (3)a米 C. 1.5 米 D. 1.5米5. 如图，以某点为位似中心，将 AOB 进行位似变换得到CDE，记AOB 与CDE 对应边的比为 k，则位似中心的坐标和k 的值分别为（ ）A. (0)， ，2 B. (2)， ， 1C. ， ，2 D. ， ，36. 将抛物线 21yx 绕原点 O 旋转 180，则旋转后的抛物线的解析式为（
3、 ）A. 2 B. 21yx C. 1yx D. 7. 如图，PA 、 PB 分别与O 相切，切点分别为A、 B，PA 3，P60，若 AC 为O 的直径，则图中阴影部分的面积为（ ）A. 2 B. 36 C. 3 D. 8. 已知 b0 时，二次函数 221yaxb的图象如下列四个图之一所示。根据图象分析， a的值等于（ ）A. -2 B.-1 C. 1 D. 2二、填空题（共 4 道小题，每小题 4 分，共 16 分）9. 若ABC DEF，且对应边 BC 与 EF 的比为 23，则ABC 与 DEF 的面积比等于 10. 如图， O 的直径是 AB，CD 是O 的弦，若D70，则ABC
4、等于 11. 如 图 ， ABC 90， O 为 射 线 BC 上 一 点 ， 以 点 O为圆心， 21OB 长为半径作O，若射线 BA 绕点 B 按顺时针方向旋转至 ，若 与O 相切，则旋转的角度 （0 180）等于 。 12. 等腰ABC 中， 8BC，若 AB、AC 的长是关于 x 的方程 210xm的根，则m 的值等于 。 三、解答题（本题共 50 分，每题各 5 分）13. 解方程： 2610x。 14. 计算： 2costan4sii3。15. 已知：二次函数的解析式 321xy。（1）求这个二次函数的顶点坐标；（2）求这个二次函数图象与 x 轴的交点坐标；（3）当x取何值时， 1
5、y随x 的增大而增大；（4）如图，若直线 )0(2ab的图象与该二次图象交于A（ 21， m），B（2， n）两点，结合图象直接写出当 x取何值时 21y？解：16. 已知：关于 x 的方程 234xk 有两个不相等的实数根（其中 k 为实数） 。 （1）求 k 的取值范围；（2）若 k 为非负整数，求此时方程的根。17. 已知抛物线 2yaxbc 经过点 03410ABC（ ， ） 、 （ ， ） 、 （ ， ） 。（1）填空：抛物线的对称轴为直线 x ，抛物线与 x 轴的另一个交点 D 的坐标为 ；（2）求该抛物线的解析式。18. 某水果批发市场经销一种水果，如果每千克盈利10元， 每天可
6、售出500千克。经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克这种水果在原售价的基础上每涨价1元，日销售量将减少20千克。设每千克这种水果涨价x元时（0x25） ，市场每天销售这种水果所获利润为y元。若不考虑其它因素，单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元时，市场每天销售这种水果盈利最多？最多盈利多少元？ 解：19. 已知：如图，ABC 中，AB2，BC4，D 为 BC 边上一点，BD1。（1）求证：ABD CBA；（2）作 DEAB 交 AC 于点 E，请再写出另一个与ABD 相似的三角形，并直接写出DE 的长。解：20. 已知，如图，渔船原来应该从 A 点向正南方向行驶回到港口 P，但
7、由于受到海风的影响，渔船向西南方向行驶去，行驶了 240 千米后到达 B 点，此时发现港口 P 在渔船的南偏东 60的方向上，问渔船此时距港口 P 多远？（结果精确到 0.1 千米，参考数据：41.2， 73.， 24.5， 5.6）解：21. 已知：如图，在 RtABC 中， 90， 4AC， 3B，以 AC为直径的O 交 AB于点 D，点 E是 的中点，OB ，DE 相交于点 F。（1）求证： 是O 的切线；（2）求 EF：FD 的值。22. 已知：如图，在 ABC中， D于点D， ABCE于点E， AE2，且 62D， 31sinE，求CE的长。解：四、解答题（本题共 22 分，第 23
8、 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分）23. 已知：如图，O 的内接ABC 中，BAC 45，ABC 15 ，ADOC 并交 BC 的延长线于 D，OC 交 AB 于 E。（1）求D 的度数；（2）求证： 2AC；（3）求 B的值。解：24. 已知O 过点 D（4，3） ，点 H 与点 D 关于 y轴对称，过 H 作O 切线交 y轴于点A（1）求O 半径；（2）求 sinA的值；（3）如图，设O 与 y轴正半轴交点 P，点 E、F 是线段 OP 上的动点（与 P 点不重合） ，联结并延长 DE、DF 交O 于点 B、C，直线 BC 交 y轴于点 G，若 DEF是以 EF为底
9、的等腰三角形，试探索 sinG的大小怎样变化？请说明理由。解：25. 已知直线 ykx-3 与 x 轴交于点 A（4，0） ，与 y 轴交于点 C，抛物线234yxmn经过点 A 和点 C,动点 P 在 x 轴上以每秒 1 个长度单位的速度由抛物线与 x 轴的另一个交点 B 向点 A 运动，点 Q 由点 C 沿线段 CA 向点 A 运动且速度是点 P 运动速度的 2 倍。（1）求此抛物线的解析式和直线的解析式；（2）如果点 P 和点 Q 同时出发，运动时间为 t（秒） ，试问当 t 为何值时， PQA 是直角三角形；（3）在直线 CA 上方的抛物线上是否存在一点 D，使得ACD 的面积最大，若
10、存在，求出点 D 坐标；若不存在，请说明理由。解：【试题答案】一、选择题（共 8 道小题，每小题 4 分，共 32 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 C B A C C D A B二、填空题（共 4 道小题，每小题 4 分，共 16 分）题号 9 10 11 12答案 49 20 60或 120（各 2 分） 16 或 25（各 2 分）三、解答题13. 解：因为 261abc， ， ， - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 分所以 24428bc（ ） 。- - - - - - - - - - - - - - 2 分代入公式，得 24bacx-
11、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3 分6287342.所以原方程的根为 123xx， 。 （每个根各 1 分）- - -5 分14. 解： 2cos60tan45sii3。21()- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4 分1.2- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -5 分15. 解：（1） 4)1(4)12(21 x
12、xy 图象的顶点坐标为（1，4） 。 -1 分（2）令 y0，则 032，解得：x 1-1, x23。图象与 x 轴的交点坐标分别为（-1,0） 、 （3,0） 。 -3 分（3） x 1。 -4 分（4） 21。 -5 分说明：（3）若写成“”不扣分。16. （1）解一：原方程可化为 2(1)4xk。- - - - - - - - - - - - 1 分 该方程有两个不相等的实数根， 40k。- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 分解得 1。 k 的取值范围是 。- - - - - - - -
13、- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -3 分解二：原方程可化为 2430xk。- - - - - - - - - - - - - - - 1 分24(3)()。以下同解法一。（2）解： k 为非负整数， 1， k 0 。 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4 分此时方程为 2x，它的根为 13x， 21。 - - - - - - - - - 5 分17. 解：（1）抛物线的对称轴为直线 x 2 ，抛物线与 x 轴的另一个交点 D
14、的坐标为 （3，0） ；- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 分（2） 抛物线经过点 103CD（ ， ） 、 （ ， ） ， 设抛物线的解析式为 ()yax。- - - - - - - - 3 分由抛物线经过点 3A（ ， ） ，得 a 1。 - - - - - - - - - - - - - - 4 分 抛物线的解析式为 243。- - - - - - - - - - - - - - - - - 5 分18. 因为每千克这种水果涨价 x 元时，市场每天销售这种水果所获利润为 y 元，y 关于 x的函数解析式为 (10
15、)520)y（0x25） 。- - -2 分 2 ()35=0(7.5)61.yx x所以，当 x7.5 时（07.525） ，y 取得最大值，最大值为 6 125。 - - - - - 5 分答: 不考虑其它因素，单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价 7.5 元时，市场每天销售这种水果盈利最多，最多盈利 6 125 元。 19. （1）证明： AB2 ，BC4，BD1， ABDC。- - - - - - - - - - - - 1 分 ABD CBA ，- - - - - - - - 2 分 ABD CBA。- - - - - - -3 分（2）答：ABD CDE ；- - - - - -
16、- 4 分DE 1.5。 - - - - - - - - - - - - - -6 分20. 解：解：过点 B 作 BDAP 于点 D， -1 分在 RtABD 中，BDABsin45240 210， -2 分在 RtBDP 中，sin60 BP, -3 分806sinD-4 分196.0 -5 分答：距港口约为 196.0 千米。 21. （1）证明：连结 C（如图） ， 1 分AC 是O 的直径， 90ADB。 E是 的中点， C。 OA， D。 90BE，。即 O。点 D 在 O 上， E是 O 的切线 。 3 分（2）解：连结 OE。E 是 BC 的中点，O 是 AC 的中点，OEAB
17、，OE 12AB。OEFBDF。 在 RtABC 中，AC 4， 3BC，根据勾股定理，得 AB 8，OE 4，sinABC 12AB，ABC30 。A60。 OD 是边长为 2 的等边三角形。 2，BD AB-AD 6。EF：FDOE：BD 4：62：3 。 5 分22. BE 2AE，设 AE k，则 BE2k，AB3k。 -1 分ADBC 于 D，CE AB 于 E，BECADB90。又B B，ABDCBE。 -2 分 CEA -3 分sinBCE 13，BC kBCE6312sin。 -4 分 kE62， 64。 -5 分23. （1）解：如图 3，连结 OB。- - - - - -
18、- - - - - - - - - - - - 1 分 O 的内接 ABC 中， BAC45， BOC 2BAC 90。 OB OC ， OBC OCB 45。 ADOC ， D OCB 45。 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -2 分（2）证明： BAC 45， D 45， BAC D 。 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3 分 ADOC ， ACE DAC 。 - - - - - - - - - - - -
19、- - - - - - - - - - - - - - - - - - -4 分 ACE DAC 。 ACED 。 2。- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5 分（3）解法一：如图 4，延长 BO 交 DA 的延长线于 F，连结 OA 。 ADOC ， F BOC 90 。 ABC 15， OBA OBC ABC 30。 OA OB ， FOAOBA OAB 60，OAF 30。 12OFA。 ADOC ， BOC BFD 。 BCDF 。 2BCOADF，即 BCD的值
20、为 2。 - - - - - - - - - - - - -7 分解法二：作 OMBA 于 M，设O 的半径为 r，可得 BM 32r，OM 2r，30MOE， 3tan06r，BE 23， AE ，所以 BCEDA。24. （1）点 4,D在O 上， O 的半径 5r。1 分（2）如图 1，联结 HD 交 OA 于 Q，则 HDOA。联结 OH，则 OHAH。 HAOOHQ。 3sinsi5OHAH。3 分（3）如图 2，设点 D 关于 y轴的对称点为 H，联结 HD 交 OP 于 Q，则 HDOP。又 DEDF ， DH 平分 BDC。 ABHC。 联结 OH，则 OHBC。 AQH PO
21、 xyD(4,3)H QC FEPBGO xyD(4,3)图 1 图 2 CGOOHQ 。 3sinsi5OQCGH 7 分25. 解：（1） 直线 ykx-3 过点 A（4，0） ， 0 4k -3，解得 k 。 直线的解析式为 y 34x-3。 1 分由直线 y 34x-3 与 y 轴交于点 C，可知 C（0,-3） 。 抛物线 2xmn经过点 A（4,0）和点 C, 2340，解得 m 154。 抛物线解析式为 23.yx2 分（2）对于抛物线 4152，令 y0，则 03x432，解得 x11，x 24。 B（1，0） 。 AB3，AO 4，OC3，AC5，AP 3-t，AQ5-2t。
22、 若Q 1P1A90,则 P1Q1OC（如图 1） ， AP1Q1AOC。 APOC, 3t52t4。解得 t 53； 4 分 若P 2Q2A90, P 2AQ2 OAC， AP2Q2AOC。 , 3t5t4。解得 t 136； 6 分 若Q A P90,此种情况不存在。 5 分综上所述，当 t 的值为 3或 16时， PQA 是直角三角形。（3）答：存在。 过点 D 作 DFx 轴，垂足为 E，交 AC 于点 F（如图 2） 。 SADF 12DFAE，S CDF 12DFOE。 SACD SADF + SCDF DFAE + DFOE 12DF（AE+OE） （DE+DF）4 12（ 23153xx44）4 6。 7 分 SACD 23(x)（0x4） 。又 024 且二次项系数 03， 当 x2 时，S ACD 的面积最大而当 x2 时，y32。 满足条件的 D 点坐标为 D （2, 32） 。 8 分
