1、1.2.1 函数的概念其他版本的例题与习题1.（苏教版)判断下列对应是否为函数：（1) x- x,x R;12（2) x1, xR;(3)x y,其中 y=|x|,xR, yR;(4)t s,其中 ,tR, s R;=2(5)x y,其中 =x,x0,+, yR;2(6)x y,其中 y 为不大于 x 的最大整数， xR, yZ.解：根据函数定义可以判断，(1)(2)(3)(4)(6)是函数， （5)不是函数.2.（北师大版)某山海拔 7 500 m，海平面温度为 25 ,气温是海拔高度的函数，而且高度每升高 100 m,气温下降 0.6 .请你用解析表达式表示出气温T 随海拔高度 x 变化的
2、函数关系，并指出函数的定义域和值域.解：函数解析式为 T(x)=25- =25- x.0.6100 3500函数的定义域为0，7 500 ，值域为-20，25.3.如图，某 灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽 2 m，渠深 1.8 m，边坡的倾角是 45.(1)试用解析表达式将横断面中水面积 A(单位： )表示成水2深 h(单位：m)的函数；（2)确定函数的定义域和值域;(3)画出函数的图象.解：（1) A（ h+2)h;(2)定义域是0,1.8,值域是0,6.84;(3)图象如图 1.2-1-3.备选例题与练习1.求下列函数的定义域：（1) f（ x)= ；(+1)0 |（2) f（ x)= +
3、 . |2|+313+7思路分析：函数定义域是使解析式各部分有意义的 x 值的集合，所以应取各部分的交集.解：（1)要使式子有意义，则有 x0 且 x-1. +10，|0 函数的定义域为 x|x0 且 x-1.（2)要使式子有意义，则有 3x+70，即 x- .73 函数的定义域为 .| 且 732.已知 f（ x)的定义域为-1，3 ，求 f（ x+1)， 定义域；（ 2） 的解： f（ x)的定义域为-1，3 ， -1 x+13. -2 x2，即 f（ x+1)的定义域为-2，2.又 3，12 - x . 3 3 的定义域为- ， .（ 2） 3 33.已知函数 +1,xR.()=2(1)
4、分别计算 f(1)-f(-1),f(2)-f(-2),f(3)-f(-3)的值.(2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明.解： +1=2-2=0; -(1)(1)(1)=(12+1) (1)2 (2)(2)=(22+1) +1=5-5=0; - +1=10-10=0.(2)2 (3)(3)=(32+1) (3)2(2)由(1)可发现结论:对任意 xR,有 f(x)=f(-x).证明如下:由题意得 +1=f(x).()=()2+1=2 对任意 xR,总有 f(x)=f(-x).课外拓展求函数的值域函数值域就是所有函数值的集合.函数 y=f(x),x A 的值域是集合 . |=(),值域是由函数
5、的定义域和对应关系决定的，因而解题中要明确函数的定义域和对应关系.求函数的值域是一个比较复杂的问题，虽然在给定了函数的定义域及其对应关系后，值域就确定了，但求值域要注意方法，常用的方法有：1.观察法通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或者利用函数图象的“最高点”和“最低点” ，观察求得函数的值域，这就是观察法.例 1求下列函数的值域：(1)y= ；(2) y= . 2+51+1解：(1) 0, +55 ，2 2 y . 函数 的值域为 . 5 5,+)(2)由 0，得 y0. y= 的值域为 .1+1 1+1 |02.配方法对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量
6、取值范围的情况下，利用求二次函数型值域的方法求函数的值域，这就是配方法.例 2 求 -x+1 的值域.=2解： -x+1= ，=2 (12)2+34 34 -x+1 的值域为 .=2 34,+）点评：形如 (x)+bf(x)+c 的函数的值域问题，均可使用配方法，需注意定义域.()=23.判别式法将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数，无理函数等.使用此法要特别注意自变量的取值范围.形如 y= （ a， m 中2+2+至少有一个不为零)的函数求值域，可用判别式法.但要注意以下三个问题：一是检验二次项系数为零时，方程是否有解，若无解或使函数无意义，都应从
7、值域中去掉该值；二是闭区间的边界值也要考查达到该值的 x 是否存在；三是分子、分母必须为既约分式.例 3 求函数 y= 的值域.22+32+2+3解：原函数可变形为 +2(y+1)x+3(y-1)=0.(1)2当 y1 时，关于 x 的方程有解的条件是 0，=4(+1)212(1)2解得 2- y2+ (y1). 3 3当 y=1 时，解得 x=0，方程有解. 原函数的值域为2- ,2+ . 3 3点评：使用判别式法求函数值域，关键是“关于 x 的二次方程有解”.本题将函数变形为+2(y+1)x+3(y-1)=0 的形式，问题转化为关于 x 的方程 +2(y+1)x+3(y-1)(1)2 (1
8、)2=0 有解.例 4 已知函数 f(x)= 的值域为1,3 ，求 a， b 的值.22+2+1思路分析：给出函数的值域求解参数时，通常将函数化成以 x 为未知数的方程形式，首先考虑二次项系数为 0 时，是否满足条件；其次，二次项系数不为 0 时，二次方程恒有解，此时利用 0 求解.解： y= ，22+2+1 xR， -ax+y-b=0.(2)2当 y-2=0 时，满足题意；当 y-20 时， x R， 0，即 -4(y-2)(y-b)0，2整理得 0.424(+2)+82 1 y3， 1，3 是方程 =0 的两根，424(+2)+82由此可解得 a=2， b=2.4.换元法通过对函数解析式进
9、行适当换元，可将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围求函数的值域.形如 y=ax+b 的形式，可用换元法，即设 t= +，转化成二次函数再求值域（注意 t0). +例 5 求函数 y=2x+ 的值域. 1思路分析：将 整体换元，问题转化为熟知的求二次函数值域问题 .注意判断换元后 1“新元”的取值范围.解：令 =t(t0)， 1则 +t+2=- + ，=222(14)2178 178所以函数的值域为 .(,178点评：换元的目的是将含有较复杂成分的函数表达式化简为常见、简单的表达式.换元多用于处理可化简为二次函数的问题.需要注意的是，在换元后，新变量的定义范围.例 6 已
10、知函数 f(x)的值域是 ，求 g(x)=f(x)-2 的值域.14,4） ()解：因为 f(x) ，所以 ，设 =t ，14,4） () 12,2） () 12,2）所以 -1-1,0 ，()=22=(1)2所以函数 g(x)的值域为-1,0.点评：（1)换元法是一种常用的数学变换方法，换元后一定要先求出新变元的取值范围；（2)求二次函数在给定区间上的值域时，宜采用数形结合的方法，即画出二次函数在给定区间上的图象，结合图象观察值域.5.分离常数法形如 y= (ac0, ad bc)的函数，一般先分离常数，再利用反比例函数求值域 .+变形过程为 = = + ，再结合 x 的取值范围确定 的取值
11、范+(+)+ + +围，从而确定函数值域.例 7 求 y= 的值域.22+1解： y= =1- ，2+112+1 12+1而 -x+1= + ，2(12)2 34 34即 0 ， - y1.12+1 43 13即 y= 的值域为22+1 13,1） .点评：分离常数仅仅是一个步骤，有时分离常数后结论就很明显，而有时分离常数后，还需要用其他方法才能求出.反馈练习 求下列函数的值域：（1) y= ；（2) y= ；514+2 24+3221（3) y= ；（4) y=2x- .22+472+2+3 1思路分析：根据各个式子不同的结构特点，选择不同的方法.解：（1)分离常数，借助反比例函数的特征求解
12、.y= =514+254(4+2)11044+2= = - .54(4+2)1444+2 54 72(4+2) 0， y .72(4+2) 54 函数的值域为 .| 54（2) y= = = (x1)，24+3221 (1)(3)(1)(2+1) 32+1又 = = - .32+112(2+1)722+1 12 72(2+1)当 x=1 时， = =- .32+1 1321+1 23 函数的值域为 yR y 且 y . |12 23（3)该函数的分子、分母分别是关于 x 的二次式，因而可考虑转化为关于 x 的二次方程，然后利用判别式求值域.已知函数式可变形为+4x-7，2+2+3=22即 +2(y-2)x+3y+7=0.(2)2当 y2 时，将上式视为关于 x 的一元二次方程. xR， 0，即 -4(y-2)(3y+7)0 ，解 得- y2. 2(2) 292当 y=2 时，32+70， y2. 函数的值域为 .92,2）（4)函数关系式中有根式，去掉根号的常用方法就是换元法.令 =t，则 t0， +1. 1 =2 -t+2= + .=2(2+1)=222(14)2158 t0， y .158 函数 y=2x- 的值域是 . 1 158,+）
