1、怎样走最近同步练习1. 如下图，正四棱柱的底面边长为 5cm，侧棱长为 8cm，一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的 A点沿棱柱侧面到点 C处吃食物， 那么它需要爬行的最短路径的长是多少？思路分析：解这类题的思路是“空间图形平面化” ，把空间两点的距离转化为平面上两点间的距离，利用“两点之间线段最短”进行计算。解：如图 1，设蚂蚁爬行的路径是 AEC（在面 ADDA上爬行是一样的） 。将四棱柱剪开铺平，使矩形 AABB与 BBCC相连，连接 AC，使 E点在AC上。 （如图 2） )(412810)( 22cmCBAC。所以这只蚂蚁爬行的最短路径长为 。2. 如图，在平面直角坐标系 xOy中， ABC
2、三个顶点的坐标分别为 A( 6，0 )，B(6，0 )， C(0， 34)，延长 AC到点 D，使 CD 21AC，过 D点作 DE AB交 BC的延长线于点 E（1）求 D点的坐标；（2）作 C点关于直线 DE的对称点 F，分别连结DF、 EF，若过 B点的直线 ykxb将四边形 CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（ 3）设 G为 y轴上一点，点 P从直线 y kx b与 y轴的交点 出发，先沿 轴到达 G点，再沿 GA到达 A点，若 P点在 y轴上运动的速度是它在直线 GA上运动速度的 2倍，试确定 G点 的位置，使 P点按照上述要求到达 A点所用的时间最短 （要求：简
3、述确定 G点位置的方法，但不要求证明）思路分析：第(1)问，利用相似三角形的知识即可解决；第(2)问是平行四边形对角线交点的任意一条直线都可将它的周长和面积平分的问题，所以连结点11A ByxOCE DB、M 即可；第(3)问， 首先是利用路程、时间与速度的关系将 P点转化为相同的速度，然后根据“化折为直：的思路，利用“点到直线的距离，垂 线段最短”转化为求线段和最短问题。解：(1) A(6，0)， C(0，4 3)， OA6， OC4 3设 DE与 y轴交于点 M 由 DE AB可得 DMC AOC又 CD21， 21ADO CM2 3， MD3同理可得 EM3 OM6 D点的坐标为 (3，
4、6 )(2)由(1)可得点 M的坐标为(0，6 3)来源:学科网由 DE AB， EM MD，来源:Zxxk.Com可得 y轴所在直线是线段 ED的垂直平分线点 C关于直线 DE的对称点 F在 y轴上 ED与 CF互相垂直平分 CD DF FE EC四边形 CDFE为菱形，且点 M为其对称中心作直线BM设 BM与 CD、 EF分别交于点 S、点 T 可证 FTMCSM FT CS FE CD， TE SD EC DF， TE EC CS ST SD DF FT TS直线 BM将四边形 CDFE分成周长相等的两个四边形由点 B(6，0)，点 M(0，6 3)在直线 y kx b上，可得直线 BM
5、的解析式为 y x6 3(3)确定 G点位置的方法：过 A点作 AH BM于点 H，则 AH与 y轴的交点为所求的 G点由 OB6， OM6 3，可得 OBM60 BAH30在 Rt OAG中， OG AOtan BAH2 3 G点的坐标为(0，2 )(或 G点的位置为线段 OC的中点)3.如图，已知点 A(-4，8)和 点 B(2， n)在抛物线4 x22A 8-2O-2-4y6BCD-442yax上(1) 求 a的值及点 B关于 x轴对称点 P的坐标，并在 x轴上找一点 Q，使得AQ+QB最短，求出点 Q的坐标；(2) 平移抛物线 2ya，记平移后点 A的对应点为 A，点 B的对应点为B，
6、点 C(-2，0)和点 D(-4，0)是 x轴上的两个定点来源:学科网 ZXXK 当抛物线向左平移到某个位置时， A C+CB 最短，求此时抛物线的函数解析式； 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形 A B CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由思路分析：本题的思路是“化折为直” ，(1) 是直接利用“两点之间线段最短” ，而(2)则是先平移后再利用“两点之间线段最短”解决问题。解： (1) 将点 A(-4，8)的坐标代入 2yax，解得 12将点 B(2， n)的坐标代入 21yx，求得点 B的坐标为(2，2)，来源:Zxxk.Com则点 B
7、关于 x轴对称点 P的坐标为(2，-2) 直线 AP的解析式是 543yx 令 y=0，得 4x即所求点 Q的坐标是( 45，0) (2) 解法 1： CQ=-2- 45= 1， 故将抛物线 2yx向左平移 个单位时 ， A C+CB最短，此时抛物线的函数解析式为 214()5yx解法 2：设将抛物线 2向左平移 m个单位，则平移后A， B的坐标分别为 A( -4-m，8)和 B(2- m，2)，点 A关于 x轴对称点的坐 标为 A(-4- m，-8)直线 A B的解析式为 543yx 要使 A C+CB最短，点 C应在直线 A B上，将点 C(-2，0)代入直线A B的解析式，解得 15故将
8、抛物线 21yx向左平移 4个单位时 A C+CB最短，此时抛物线的函数解析式为 4()5(1)4 x22A 8-2O-2-4y6BCD-44QP(2)4 x22A 8-2O-2-4y6BCD-44A 左右平移抛物线 21yx，因为线段 A B和 CD的长是定值，所以要使四边形 A B CD的周长最短，只要使 A D+CB最短；第一种情况：如果将抛物线向右平移，显然有 A D+CB AD+CB，因此不存在某个位置，使四边形 A B CD的周长最短第二种情况：设抛物线向左平移了 b个单位，则点 A和点 B的坐标分别为 A(-4- b，8)和 B(2- b，2)因为 CD=2，因此将点 B向左平移
9、 2个单位得 B(- b，2)，要使 A D+CB最短，只要使 A D+DB最短 点 A 关于 x轴对称点的坐标为 A(-4- b，-8)，直线 A B的解析式为 52yb要使 A D+DB最短，点 D应在直线 A B上，将点D(-4，0)代入直线 A B的解析式，解得 165b故将抛物线向左平移时，存在某个位置，使四边形 A B CD的周长最短，此时抛物线的函数解析式为216()5yx【精选习题】1. 如下图所示，圆柱形玻璃容器高 18cm，底面周长为 60cm，在外侧距下底 1cm的点 S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处 1cm的点 F处有一苍蝇，则求蜘蛛捕获苍蝇充饥所
10、走的最短路线的长度为_2. 如下图，在圆柱形的桶外，有一只蚂蚁要从桶外的 A点爬到桶内的 B点去寻找食物，已知 A点沿母线到桶口 C点的距离是 12厘米， B点沿母线到桶口 D点的 距离是 8厘米，而 C、D 两点之间的（桶口）弧长是 15厘米那么蚂蚁爬行的是最短路程长是_3. 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于 5cm，3cm 和1cm，A 和 B是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到 B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从 A点出发，沿着台阶面爬到 B点，最短路程是_4. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点 A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点 C1处（三条
11、棱长如图所示） ，则最短路程是_ _ 5. 如图，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为 6m的正三角形 ABC，粮堆母线A BA1 B1D CD1 C1214(第 24 题(2)4 x22A 8-2O-2-4y6BCD-44ABAC的中点 P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在 B处，它要沿圆锥侧面到达 P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是_m。 （结果不取近似值）6. 如图，菱形 ABCD中，AB2，BAD60，E 是 AB的中点，P 是对角线 AC上的一个动点， 则 PEPB 的最小值是_。7. 如图，在ABC 中，点 A、B、C 的坐标分别为（ x，0） 、 （0，1）和（3，2） ，则当
12、ABC 的周长最小时， x的值为_。8. 如图所示，正方形 D的面积为 12， ABE 是等边三角形，点 E在正方形 ABC内，在对角线 上有一点 P，使 D的和最小，则这个最小值为_来源:学.科.网 Z.X.X.K9. 已知直角梯形 ABCD中， AD BC， AB BC， AD=2， BC=DC=5，点 P在 BC上移动，则当 PA+PD取最小值时， APD中边 AP上的高为_10. 如图，在锐角ABC 中，AB4 2，BAC45，BAC 的平分线交 BC于点 D，M、N 分别是 AD和 AB上的动点，则 BM+MN的最小值是_11.如图, C为线段 BD上一动点,分别过点 B、 D作 A
13、B BD,ED BD,连接 AC、 EC.已知 AB=5,DE=1,BD=8,设 CD=x.(1)用含 x的代数式表示 AC CE的长；(2)请问点 C满足什么条件时, AC CE的值最小?来源:Z,xx,k.Com(3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式 9)12(42xx的最小值.12.已知：抛物线的对称轴为 x=-1，它与 x轴交于 AB， 两点，与 y轴 交于点C，其中 30A， 、 2C， （1）求这条抛物线的函数表达式（2）已知在对称轴上存在一点 P，使得 C 的周长最小请求出点 P的坐标来源:学科网 ZXXK（3）若 点 D是线段 O上的一个动点（不与点 O、点 C重合）
14、 过点 D作EP交 x轴于点 E 连接 D、 设 的长为 m， E 的面积为 S求 与 m之间的函数关系式试说明 S是否存在最大值，若存在，请求A DEPB CEDCBAyO xPDB(40)A，(02)C，出最大值；若不存在，请说明理由13.如图，已知抛物线 y=x2+bx+c经过点（1，-5）和（-2，4）（1）求这条抛物 线的解析式（2）设此抛物线与直线 yx相交于点 A， B（点 B在点 A的右侧） ，平行于y轴的直线 05xm与抛物线交于点 M，与直线 yx交于点N，交 轴于点 P，求线段 MN的长（用含 m的代数式表示） （3）在条件（2）的情况下，连接 OM、 BM， 是否存在
15、的 值，使 BOM的面积S最大？若存在，请求出 的值，若不存在，请说明理由来源:学科网 ZXXK14.如图，在矩形 OABC中，已知 、C两点的坐标分别为 (40)(2)AC， 、 ， ， D为 的中点设点 P是 平分线上的一个动点（不与点 O重合） （1）试证明：无论点 P运动到何处， P总与 相等；（2）当点 运动到与点 B的距离最小时，试确定过 、 、 三点的抛物线的解析式；（3）设点 E是（2）中所确定抛物线的顶点，当点 运动到何处时， PDE 的周长最小？求出此时点 的坐标和 DE 的周长；（4）设点 N是矩形 OAC的对称中心，是否存在点 ，使 90N？若存在，请直接写出点 P的坐
16、标xO PNMBAyy=xx=mACxyBO15.如图，已知平面直角坐标系，A，B 两点的坐标分别为 A（2，3） ，B（4，1） 。（1）若 P（ p，0）是 x轴上的一个动点，则当 p_时，PAB 的周长最短；（2）若 C（ a，0） ，D（ 3，0）是 x轴上的两个动点，则当 a_时，四边形 ABDC的周长最短；（3）设 M，N 分别为 x轴和 y轴上的动点，请问：是否存在这样的点 M（ m，0） ，N（0， n） ，使四边形 ABMN的周长最短？若存在，请写出 和 n的值；若不存在，请说明理由。最短路线问题参考答案：1. 34；2. 25cm；3. 13cm；来源:学|科|网来源:学*
17、科*网 Z*X*X*K4. 5；5. 3 ; 6. ;7. 1;ABxyO（1）ABxyO（2）ABxyO（3）8. 23;9. 178;10.4;11. (1) 125)8(2xx;(2)当 A、 C、 E三 点共线时, AC+CE的 值最小;(3)13.12.即 9)(422的最小值为 13.（1） y 32x 2 4x2 ;（2）点P的坐标为（1， 34）;（3） S 43m 2 m， 当 m1 时， S最大 43.13.（1） y x 2-2x4 ， （2）MN= - m 2+3m+4;（3）当 m1.5 时， S最大 5.14.(1) 略；(2) y x 2-2x；( 3) P（ 3， 0）时，三角形的最小周长为10；(4) 存在 P(2,2)或 P( 21， ).15.(1) 5-n,2m(3)452;7； .
