1、1高考达标检测（三十二）空间角 3类型线线角、线面角、二面角1如图，在几何体 ABCDE中，四边形 ABCD是矩形， AB平面BEC， BE EC， AB BE EC2， G， F分别是线段 BE， DC的中点(1)求证： GF平面 ADE；(2)求平面 AEF与平面 BEC所成锐二面角的余弦值解：(1)如图，取 AE的中点 H，连接 HG， HD，又 G是 BE的中点，所以 GH AB，且 GH AB.12又 F是 CD的中点，所以 DF CD.12由四边形 ABCD是矩形，得 AB CD， AB CD，所以 GH DF，且 GH DF，从而四边形 HGFD是平行四边形，所以 GF DH.又
2、 GF平面 ADE， DH平面 ADE，所以 GF平面 ADE.(2)如图，在平面 BEC内，过点 B作 BQ EC.因为 BE CE，所以 BQ BE.又因为 AB平面 BEC，所以 AB BE， AB BQ.以 B为原点，分别以 ， ， 的方向为 x轴、 y轴、 z轴的正方向建立空间BE BQ BA 直角坐标系，则 A(0,0,2)， B(0,0,0)， E(2,0,0)， F(2,2,1)因为 AB平面 BEC，2所以 (0,0,2)为平面 BEC的法向量BA 设 n( x， y， z)为平面 AEF的法向量又 (2,0，2)， (2,2，1)，AE AF 由得Error!取 z2，得
3、n(2，1,2)从而 cos n， ，BA 432 23所以平面 AEF与平面 BEC所成锐二面角的余弦值为 .232(2016全国丙卷)如图，四棱锥 PABCD中， PA底面ABCD， AD BC， AB AD AC3， PA BC4， M为线段 AD上一点，AM2 MD， N为 PC的中点(1)证明 MN平面 PAB；(2)求直线 AN与平面 PMN所成角的正弦值解：(1)证明：由已知得 AM AD2.23取 BP的中点 T，连接 AT， TN，由 N为 PC的中点知 TN BC， TN BC2.12又 AD BC，故 TN綊 AM，所以四边形 AMNT为平行四边形，于是 MN AT.因为
4、 MN平面 PAB， AT平面 PAB，所以 MN平面 PAB.(2)取 BC的中点 E，连接 AE.由 AB AC得 AE BC，从而 AE AD，且 AE .AB2 BE2AB2 (BC2)2 5以 A为坐标原点， 的方向为 x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz.AE 由题意知 P(0,0,4)， M(0,2,0)， C( ，2,0)， N ，5 (52， 1， 2)(0,2，4)， ， .PM PN (52， 1， 2) AN (52， 1， 2)设 n( x， y， z)为平面 PMN的法向量，3则 即Error!可取 n(0,2,1)于是|cos n， | .AN 85
5、25所以直线 AN与平面 PMN所成角的正弦值为 .85253(2017潍坊统考)如图，在四棱锥 PABCD中， AD BC，平面APD平面 ABCD， PA PD， E在 AD上，且 AB BC CD DE EA2.(1)求证：平面 PEC平面 PBD；(2)设直线 PB与平面 PEC所成的角为 ，求平面6APB与平面 PEC所成的锐二面角的余弦值解：(1)证明：连接 BE.在 PAD中， PA PD， AE ED，所以 PE AD.又平面 APD平面 ABCD，平面 APD平面 ABCD AD，所以 PE平面 ABCD，故 PE BD.在四边形 ABCD中， BC DE，且 BC DE，所
6、以四边形 BCDE为平行四边形，又 BC CD，所以四边形 BCDE为菱形，故 BD CE，又 PE EC E，所以 BD平面 PEC，又 BD平面 PBD，所以平面 PEC平面 PBD.(2)取 BC的中点 F，连接 EF.由(1)可知， BCE是一个正三角形，所以 EF BC，又 BC AD，所以 EF AD.又 PE平面 ABCD，故以 E为坐标原点，分别以直线 EF、直线ED、直线 EP为 x轴、 y轴、 z轴，建立如图所示的空间直角坐标系设 PE t(t0)，则 D(0,2,0)， A(0，2,0)， P(0,0， t)， F( ，0,0)，3B( ， 1,0)34因为 BD平面 P
7、EC，所以 ( ，3,0)是平面 PEC的一个法向量，BD 3又 ( ，1， t)，PB 3所以 cos ， .PB BD 6234 t2 34 t2由已知可得 sin |cos ， | ，得 t2 .6 PB BD 34 t2 2故 P(0,0,2 )， ( ，1，2 )， ( ，1,0)2 PB 3 2 AB 3设平面 APB的法向量为 n( x， y， z)，则由可得取 y ，则 x ， z ，故 n( ， ， )为平面 APB的一个法向量，6 2 3 2 6 3所以 cos ， n .BD 462311 22211设平面 APB与平面 PEC所成的锐二面角为 ，则 cos |cos ，
8、 n| .BD 222114(2017郑州模拟)如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，四边形 AA1C1C是边长为 2的菱形，平面 ABC平面 AA1C1C， A1AC60， BCA90.(1)求证： A1B AC1；(2)已知点 E是 AB的中点， BC AC，求直线 EC1与平面 ABB1A1所成的角的正弦值解：(1)证明：取 AC的中点 O，连接 A1O，因为四边形 AA1C1C是菱形，且 A1AC60，所以 A1AC为等边三角形，所以 A1O AC.又平面 ABC平面 AA1C1C，平面 ABC平面 AA1C1C AC，所以 A1O平面 ABC，所以 A1O BC.又 BC AC， A
9、1O AC O，所以 BC平面 AA1C1C，所以 AC1 BC.5在菱形 AA1C1C中， AC1 A1C，所以 AC1平面 A1BC，所以 A1B AC1.(2)连接 OE，以点 O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz，则 A(0，1,0)， B(2,1,0)， C(0,1,0)， C1(0,2， )，3(2,2,0)， (0,1， )，设 m( x， y， z)是平面 ABB1A1的法向量，AB BB1 CC1 3则 m 0， m 0，AB BB1 即Error! 取 z1，可得 m( ， ，1)3 3又 E(1,0,0)，所以 (1,2， )，EC1 3设直线 EC1与平面 ABB1A1所成的角为 ，则 sin |cos ， m| .EC1 4214即直线 EC1与平面 ABB1A1所成角的正弦值为 .4214
