1、第四章 圆与方程本章教材分析上一章,学生已经学习了直线与方程,知道在直角坐标系中,直线可以用方程表示,通过方程,可以研究直线间的位置关系、直线与直线的交点坐标、点到直线的距离等问题,对数形结合的思想方法有了初步体验.本章将在上章学习了直线与方程的基础上,学习在平面直角坐标系中建立圆的代数方程,运用代数方法研究点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系,了解空间直角坐标系,以便为今后的坐标法研究空间的几何对象奠定基础,这些知识是进一步学习圆锥曲线方程、导数和微积分的基础,在这个过程中进一步体会数形结合的思想,形成用代数方法解决几何问题的能力.通过方程,研究直线与圆、圆与圆的位置关系是本章的重点内容之一,
2、坐标法不仅是研究几何问题的重要方法,而且是一种广泛应用于其他领域的重要数学方法,通过坐标系把点和坐标、曲线和方程联系起来,实现了形和数的统一,因此在教学过程中,要始终贯穿坐标法这一重要思想,不怕反复.用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何元素:点、直线、圆;然后对坐标和方程进行代数运算 ;最后把运算结果 “翻译”成相应的几何结论.这就是坐标法解决几何问题的三步曲.坐标法还可以与平面几何中的综合方法、向量方法建立联系,同时可以推广到空间,解决立体几何问题.本章教学时间约需 9 课时,具体分配如下 (仅供参考):4.1.1 圆的标准方程 1 课时4.1.2 圆的一般方程 1 课时4.
3、2.1 直线与圆的位置关系 2 课时4.2.2 圆与圆的位置关系 2 课时4.3.1 空间直角坐标系 1 课时4.3.2 空间两点间的距离公式 1 课时本章复习 1 课时4.1 圆的方程4.1.1 圆的标准方程一、教材分析在初中曾经学习过圆的有关知识,本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上,进一步运用解析法研究圆的方程,它与其他图形的位置关系及其应用.同时,由于圆也是特殊的圆锥曲线,因此,学习了圆的方程,就为后面学习其他圆锥曲线的方程奠定了基础.也就是说,本节内容在教材体系中起到承上启下的作用,具有重要的地位,在许多实际问题中也有着广泛的应用.由于“圆的方程” 一节内容的基础性和应用的广
4、泛性,对圆的标准方程要求层次是“掌握”,为了激发学生的主体意识,教学生学会学习和学会创造,同时培养学生的应用意识,本节内容可采用“引导探究” 型教学模式进行教学设计,所谓“ 引导探究 ”是教师把教学内容设计为若干问题,从而引导学生进行探究的课堂教学模式,教师在教学过程中,主要着眼于“引”,启发学生“探”,把“引”和“探” 有机的结合起来 .教师的每项教学措施, 都是给学生创造一种思维情境,一种动脑、动手、动口并主动参与的学习机会,激发学生的求知欲,促使学生解决问题.二、教学目标1知识与技能（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程.（2）会用待定系数法求圆的标准方程.2过程与方法
5、进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题发现问题和解决问题的能力.3情感态度与价值观通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣.三、教学重点与难点教学重点：圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特点的明确.教学难点:会根据不同的已知条件 ,利用待定系数法求圆的标准方程.四、课时安排1 课时五、教学设计（一）导入新课思路 1.课前准备：(用淀粉在一张白纸上画上海和山 )说明:在白纸上要表演的是一个小魔术 ,名称是日出,所以还缺少一个太阳,请学生帮助在白纸上画出太阳.要求其他学生在自己的脑海里也构
6、画出自己的太阳.课堂估计：一种是非尺规作图(指出数学作图的严谨性) ；一种作出后有同学觉得不够美(点评 :其实每个人心中都有一个自己的太阳,每个人都有自己的审美观点).然后上升到数学层次：不同的圆心和半径对应着不同的圆,进而对应着不同的圆的方程.从用圆规作图复习初中所学圆的定义：到定点的距离等于定长的点的轨迹.那么在给定圆心和半径的基础上,结合我们前面所学的直线方程的求解,应该如何建立圆的方程？教师板书本节课题: 圆的标准方程.思路 2.同学们,我们知道直线可以用一个方程表示,那么,圆可以用一个方程表示吗？圆的方程怎样来求呢?这就是本堂课的主要内容,教师板书本节课题:圆的标准方程.（二）推进新
7、课、新知探究、提出问题已知两点 A(2,-5),B(6,9),如何求它们之间的距离?若已知 C(3,-8),D(x,y),又如何求它们之间的距离?具有什么性质的点的轨迹称为圆？图 1 中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？图 1我们知道 ,在平面直角坐标系中,确定一条直线的条件是两点或一点和倾斜角,那么,决定圆的条件是什么?如果已知圆心坐标为 C(a,b),圆的半径为 r,我们如何写出圆的方程?圆的方程形式有什么特点？当圆心在原点时,圆的方程是什么？讨论结果：根据两点之间的距离公式 ,得2121)()(yx|AB|= ,2)59()62(|CD|= .
8、83yx平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆,定点是圆心,定长是半径(教师在黑板上画一个圆).圆心 C 是定点,圆周上的点 M 是动点,它们到圆心距离等于定长 |MC|=r,圆心和半径分别确定了圆的位置和大小.确定圆的条件是圆心和半径,只要圆心和半径确定了,那么圆的位置和大小就确定了.确定圆的基本条件是圆心和半径,设圆的圆心坐标为 C(a,b),半径为 r(其中 a、b、r 都是常数,r 0). 设 M(x,y)为这个圆上任意一点,那么点 M 满足的条件是(引导学生自己列出)P=M|MA|=r,由两点间的距离公式让学生写出点 M 适合的条件=r.22)()(byax将上式两边平方得(x-
9、a) 2+(y-b)2=r2.化简可得(x-a) 2+(y-b)2=r2.若点 M(x,y)在圆上 ,由上述讨论可知 ,点 M 的坐标满足方程 ,反之若点 M 的坐标满足方程 ,这就说明点 M 与圆心 C 的距离为 r,即点 M 在圆心为 C 的圆上.方程就是圆心为C(a,b),半径长为 r 的圆的方程 ,我们把它叫做圆的标准方程 .这是二元二次方程,展开后没有 xy 项,括号内变数 x,y 的系数都是 1.点(a,b)、r 分别表示圆心的坐标和圆的半径.当圆心在原点即 C(0,0)时,方程为 x2+y2=r2.提出问题根据圆的标准方程说明确定圆的方程的条件是什么?确定圆的方程的方法和步骤是什
10、么?坐标平面内的点与圆有什么位置关系?如何判断?讨论结果：圆的标准方程(x a) 2(yb) 2=r2 中,有三个参数 a、b、r, 只要求出a、b、r 且 r0,这时圆的方程就被确定 ,因此确定圆的标准方程,需三个独立条件,其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定形条件.确定圆的方程主要方法是待定系数法,即列出关于 a、b、r 的方程组,求 a、b、r 或直接求出圆心(a,b)和半径 r,一般步骤为：1根据题意,设所求的圆的标准方程(xa) 2(y b) 2=r2；2根据已知条件,建立关于 a、 b、r 的方程组；3解方程组,求出 a、b、r 的值,并把它们代入所设的方程中去 ,就得到所求圆的方
11、程.点 M(x0,y0)与圆(x-a) 2+(y-b)2=r2 的关系的判断方法：当点 M(x0,y0)在圆(x-a) 2+(y-b)2=r2 上时,点 M 的坐标满足方程 (x-a)2+(y-b)2=r2.当点 M(x0,y0)不在圆(x-a) 2+(y-b)2=r2 上时,点 M 的坐标不满足方程 (x-a)2+(y-b)2=r2.用点到圆心的距离和半径的大小来说明应为:1点到圆心的距离大于半径,点在圆外 (x0-a)2+(y0-b)2r 2,点在圆外;2点到圆心的距离等于半径,点在圆上 (x0-a)2+(y0-b)2=r2,点在圆上;3点到圆心的距离小于半径,点在圆内 (x0-a)2+(
12、y0-b)2r 2,点在圆内.（三）应用示例思路 1例 1 写出下列各圆的标准方程：(1)圆心在原点,半径是 3；圆心在点 C(3,4),半径是 ;5(3)经过点 P(5,1),圆心在点 C(8,-3)；(4)圆心在点 C(1, 3),并且和直线 3x-4y-7=0 相切.解:(1)由于圆心在原点,半径是 3,所以圆的标准方程为(x-0) 2+(y-0)2=32,即 x2+y2=9.(2)由于圆心在点 C(3,4),半径是 5,所以圆的标准方程是(x-3) 2+(y-4)2=(5)2,即(x-3) 2+(y-4)2=5.(3)方法一:圆的半径 r=|CP|= =5,因此所求圆的标准方程为(x-
13、5)31()85(228)2+(y+3)2=25.方法二:设圆的标准方程为(x-8) 2+(y+3)2=r2,因为圆经过点 P(5,1),所以(5-8) 2+(1+3)2=r2,r2=25,因此所求圆的标准方程为(x-8) 2+(y+3)2=25.这里方法一是直接法,方法二是间接法,它需要确定有关参数来确定圆的标准方程,两种方法都可,要视问题的方便而定.(4)设圆的标准方程为(x-1) 2+(y-3)2=r2,由圆心到直线的距离等于圆的半径,所以 r=.因此所求圆的标准方程为(x-1) 2+(y-3)2= .5|162|73| 56点评：要求能够用圆心坐标、半径长熟练地写出圆的标准方程.例 2
14、 写出圆心为 A(2,-3),半径长等于 5 的圆的方程,并判断点 M1(5,-7),M2(- ,-1)是否在这5个圆上.解:圆心为 A(2,-3),半径长等于 5 的圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25,把点 M1(5,-7),M2(- ,-1)分别代入方程 (x-2)2+(y+3)2=25,则 M1 的坐标满足方程,M 1 在圆上.M 2 的坐标不满足方程,M 2 不在圆上.点评:本题要求首先根据坐标与半径大小写出圆的标准方程,然后给一个点,判断该点与圆的关系,这里体现了坐标法的思想,根据圆的坐标及半径写方程从几何到代数；根据坐标满足方程来看在不在圆上从代数到几何.例 3 ABC
15、 的三个顶点的坐标是 A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.活动：教师引导学生从圆的标准方程(x-a) 2+(y-b)2=r2 入手,要确定圆的标准方程,可用待定系数法确定 a、b、r 三个参数.另外可利用直线 AB 与 AC 的交点确定圆心,从而得半径,圆的方程可求,师生总结、归纳、提炼方法.解法一:设所求的圆的标准方程为 (x-a)2+(y-b)2=r2,因为 A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)都在圆上,它们的坐标都满足方程(x-a) 2+(y-b)2=r2,于是)3(.)8()2(371,15222rba解此方程组得 所以ABC 的外接圆的方程为(x
16、-2) 2+(y+3)2=25.5,r解法二:线段 AB 的中点坐标为 (6,-1),斜率为-2, 所以线段 AB 的垂直平分线的方程为y+1= (x-6). 21同理线段 AC 的中点坐标为(3.5,-3.5),斜率为 3,所以线段 AC 的垂直平分线的方程为y+3.5=3(x-3.5). 解由组成的方程组得 x=2,y=-3,所以圆心坐标为(2,-3),半径r= =5,所以 ABC 的外接圆的方程为 (x-2)2+(y+3)2=25.22)31()5(点评:ABC 外接圆的圆心是ABC 的外心,它是 ABC 三边的垂直平分线的交点,它到三顶点的距离相等,就是圆的半径,利用这些几何知识,可丰
17、富解题思路.思路 2例 1 图 2 是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图,该圆拱跨度 AB=20 m,拱高 OP=4 m,在建造时每隔 4 m 需用一个支柱支撑,求支柱 A2P2 的长度( 精确到 0.01 m).图 2解:建立坐标系如图,圆心在 y 轴上,由题意得 P(0,4),B(10, 0).设圆的方程为 x2+(y-b)2=r2,因为点 P(0,4)和 B(10,0)在圆上,所以 解得.)0(1422rb,5.14022b所以这个圆的方程是 x2+(y+10.5)2=14.52.设点 P2(-2,y0),由题意 y00,代入圆方程得(-2) 2+(y0+10.5)2=14.52,解得 y0=
18、-10.514.36-10.5=3.86(m).25.4答：支柱 A2P2 的长度约为 3.86 m.例 2 求与圆 x2+y2-2x=0 外切,且与直线 x+ y=0 相切于点 (3,- )的圆的方程.33活动:学生审题,注意题目的特点 ,教师引导学生利用本节知识和初中学过的几何知识解题.首先利用配方法,把已知圆的方程写成标准方程,再利用两圆外切及直线与圆相切建立方程组,求出参数,得到所求的圆的方程.解:设所求圆的方程为(x-a) 2+(y-b)2=r2.圆 x2+y2-2x=0 的圆心为 (1,0),半径为 1.因为两圆外切,所以圆心距等于两圆半径之和,即 =r+1, )0()1(ba由圆
19、与直线 x+ y=0 相切于点(3,- ),得33)3(.)3(1| 2,1)(2rba解得 a=4,b=0,r=2 或 a=0,b=-4 ,r=6.故所求圆的方程为(x-4) 2+y2=4 或 x2+(y+4 )2=36.3点评:一般情况下,如果已知圆心 (或易于求出)或圆心到某一直线的距离(或易于求出), 可用圆的标准方程来求解,用待定系数法,求出圆心坐标和半径.变式训练一圆过原点 O 和点 P(1,3),圆心在直线 y=x+2 上,求此圆的方程.解法一：因为圆心在直线 y=x+2 上,所以设圆心坐标为(a,a+2).则圆的方程为(x-a) 2+(y-a-2)2=r2.因为点 O(0,0)
20、和 P(1,3)在圆上,所以 解得,)23()1(022ra.825,41a所以所求的圆的方程为(x+ )2+(y- )2= .41785解法二：由题意：圆的弦 OP 的斜率为 3,中点坐标为( , ),123所以弦 OP 的垂直平分线方程为 y- =- (x- ),即 x+3y-5=0.23因为圆心在直线 y=x+2 上,且圆心在弦 OP 的垂直平分线上,所以由 解得 ,即圆心坐标为 C(- , ).,0532yx471yx417又因为圆的半径 r=|OC|= ,825)(12所以所求的圆的方程为(x+ )2+(y- )2= .47点评:(1) 圆的标准方程中有 a、b、r 三个量,要求圆的
21、标准方程即要求 a、b、r 三个量,有时可用待定系数法.(2)要重视平面几何中的有关知识在解题中的运用.例 3 求下列圆的方程:(1)圆心在直线 y=-2x 上且与直线 y=1-x 相切于点(2,-1).(2)圆心在点(2,-1),且截直线 y=x-1 所得弦长为 22.解:(1)设圆心坐标为(a,-2a), 由题意知圆与直线 y=1-x 相切于点(2,-1), 所以,解得 a=1.所以所求圆心坐标为(1,-2),半径 r=222 )1()(1| aa= .所以所求圆的标准方程为(x-1) 2+(y+2)2=2.2)(2)设圆的方程为(x-2) 2+(y+1)2=r2(r0), 由题意知圆心到
22、直线 y=x-1 的距离为 d= .又直线 y=x-1 被圆截得弦长为 2 ,所以由弦长公式得 r2-d2=2,即 r=2.所以21|所求圆的标准方程为(x-2) 2+(y+1)2=4.点评:本题的两个题目所给条件均与圆心和半径有关,故都利用了圆的标准方程求解,此外平面几何的性质的应用,使得解法简便了许多,所以类似问题一定要注意圆的相关几何性质的应用,从确定圆的圆心和半径入手来解决.（四）知能训练课本本节练习 1、2.（一）拓展提升1.求圆心在直线 y=2x 上且与两直线 3x+4y-7=0 和 3x+4y+3=0 都相切的圆的方程.活动:学生思考交流,教师提示引导 ,求圆的方程,无非就是确定
23、圆的圆心和半径,师生共同探讨解题方法.解:首先两平行线的距离 d= =2,所以半径为 r= =1.21BAC2d方法一：设与两直线 3x+4y-7=0 和 3x+4y+3=0 的距离相等的直线方程为 3x+4y+k=0,由平行线间的距离公式 d= ,得 ,即 k=-2,所以直线方程为21| 2234|3|7|kk3x+4y-2=0.解 3x+4y-2=0 与 y=2x 组成的方程组 得 ,因此圆心坐,2,0xy14yx标为( , ).又半径为 r=1,所以所求圆的方程为(x- )2+(y- )2=1.1241方法二：解方程组 因 .13,67,4,2,034,2,0743 xyxyxy 和得与此圆心坐标为( , ).又半径 r=1,所以所求圆的方程为(x- )2+(y- )2=1.1 14点评:要充分考虑各几何元素间的位置关系,把它转化为代数问题来处理.（六）课堂小结圆的标准方程.点与圆的位置关系的判断方法.根据已知条件求圆的标准方程的方法.利用圆的平面几何的知识构建方程.直径端点是 A(x1,y1)、B(x 2,y2)的圆的方程是(x-x 1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.（七）作业1.复习初中有关点与圆的位置关系,直线与圆的位置关系,圆与圆的位置关系有关内容.2.预习有关圆的切线方程的求法.3.课本习题 4.1 A 组第 2、3 题.
