1、2 综合法与分析法(二)一、基础过关1 已知 a0，b0，且 ab2，则 ( )Aa Bab12 12Ca 2b 22 Da 2b 232 已知 a、b、c、d 正实数 ，且 b1，P ，Q (lg alg b) ，R lg( )，则 ( )lg alg b12 a b2AR0；| |5；| |2 ，|2 .以其2 2中的两个论断为条件，另一个论断为结论，你认为正确的命题是_10如果 a，b 都是正数，且 ab，求证： .ab ba a b11已知 a0，求证： a 2.a2 1a2 2 1a12已知 a、b、cR ，且 abc1，求证：( 1)( 1)( 1)8.1a 1b 1c13已知函数
2、 f(x)x 2 aln x(x0)，对任意两个不相等的正数 x1、x 2，证明：当 a0 时，2xf( )fx1 fx22 x1 x22三、探究与拓展14已知 a，b，c，dR ，求证：acbd .(你能用几种方法证明？)a2 b2c2 d2答案1C 2.A 3.C 4.C 5.abc 6EFSC AE平面 SBC AESB ABBC7C 8.B 9.10证明 方法一 用综合法 ab ba a baa bb ab baab 0，a ba bab a b2a bab .ab ba a b方法二 用分析法要证 ，ab ba a b只要证 2 ab2 ，a2b b2a ab ab即要证 a3b 3
3、a2bab 2，只需证(ab)(a 2abb 2)ab(ab)，即需证 a2abb 2ab，只需证(ab) 20，因为 ab，所以(ab) 20 恒成立，所以 成立ab ba a b11证明 要证 a 2，a2 1a2 2 1a只要证 2a .a2 1a2 1a 2a0，故只要证 2 2，(a2 1a2 2) (a 1a 2)即 a2 4 4a 22 2 2，1a2 a2 1a2 1a2 2(a 1a)从而只要证 2 ，a2 1a2 2(a 1a)只要证 4 2 ，(a2 1a2) (a2 2 1a2)即 a2 2，而该不等式显然成立，故原不等式成立1a212证明 方法一 (分析法 )要证(
4、1)( 1)( 1)8 成立，1a 1b 1c只需证 8 成立1 aa 1 bb 1 cc因为 abc1，所以只需证 8 成立，a b c aa a b c bb a b c cc即证 8 成立b ca a cb a bc而 8 成立b ca a cb a bc 2bca 2acb 2abc( 1)( 1)( 1)8 成立1a 1b 1c方法二 (综合法)( 1)( 1)( 1)1a 1b 1c( 1)( 1)( 1) a b ca a b cb a b cc b ca a cb a bcb ca ca babc 8，2bc2ac2ababc当且仅当 abc 时取等号，所以原不等式成立13证明
5、 由 f(x)x 2 aln x，2x得 (x21x22)( ) (ln x1ln x2)fx1 fx22 12 1x1 1x2 a2 (x21x22) aln .12 x1 x2x1x2 x1x2f( )( )2 aln ，x1 x22 x1 x22 4x1 x2 x1 x22x 1x 2且都为正数，有 (x21x22) (x21x 22)2x 1x2( )2.12 14 x1 x22又(x 1 x2)2(x21x22)2x 1x24x1x2， .x1 x2x1x2 4x1 x2 aln .x1x2x1 x22由、得 f( )fx1 fx22 x1 x2214证明 方法一 (用分析法 )当
6、acbd0 时，显然成立当 acbd0 时，欲证原不等式成立，只需证(acbd )2(a 2b 2)(c2d 2)即证 a2c22abcdb 2d2a 2c2a 2d2b 2c2b 2d2.即证 2abcdb 2c2a 2d2.即证 0(bcad) 2.因为 a，b，c，dR ，所以上式恒成立故原不等式成立，综合知，命题得证方法二 (用综合法)(a2b 2)(c2d 2)a 2c2a 2d2b 2c2b 2d2(a 2c2 2acbdb 2d2)( b2c22bcada 2d2)(ac bd)2(bc ad) 2(acbd) 2. |acbd| acbd.a2 b2c2 d2方法三 (用比较法)(a 2b 2)(c2d 2)( acbd) 2(bc ad)20，(a 2b 2)(c2d 2)( acbd) 2， |acbd| acbd.a2 b2c2 d2方法四 (用放缩法)为了避免讨论，由 acbd| acbd|，可以试证(acbd) 2 ( a2b 2)(c2d 2)由方法一知上式成立，从而方法四可行方法五 (构造向量法)设 m(a，b) ， n(c ，d)，mn acbd，|m| ，|n | .a2 b2 c2 d2mn |m|n| .a2 b2 c2 d2故 acbd .a2 b2c2 d2
