1、2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义难易度及题号考查知识点及角度基础 中档 稍难向量的数量积的基本运算 3、5向量的夹角与垂直问题 1、2、6 8、11 12向量的模 4 7、9、101若 ab0，则 a 与 b 的夹角 的取值范围是( )A. B.0， 2) 2， )C. D.( 2， ( 2， )解析： ab| a|b|cos 0，cos 0.又 0， .( 2， 答案：C2已知| a|9，| b|6 ， ab54，则 a 与 b 的夹角 为( )2A45 B135C120 D150解析：cos ，又 0，180，所以 135.ab|a|b| 54962 22答案：B3已知两个不共
2、线的单位向量 e1， e2的夹角为 ，则下列结论不正确的是( )A e1在 e2方向上的投影为 cos B e1e21C e e21 2D( e1 e2)( e1 e2)解析：由于 e1e2| e1|e2|cos cos ，当 0 时，有 e1e21，否则e1e21.故 B 不正确答案：B4若向量 a 与 b 的夹角为 60，| b|4，( a2 b)(a3 b)72，则向量 a 的模为( )A2 B4 C6 D12解析： ab| a|4cos 602| a|，( a2 b)(a3 b)72，即|a|2 ab6| b|272，故| a|22| a|9672，解得| a|6.答案：C5已知| a
3、|3，| b|5，且 ab12，则向量 a 在向量 b 的方向上的投影为_解析： ab| a|b|cos 12，又| b|5，| a|cos ，即 a 在 b 方向上的投影为 .125 125答案：1256若| a|1，| b|2， c a b 且 c a，则向量 a 与 b 的夹角为_解析：由 c a 得， a c0，所以 ac a(a b)0，即 a2 ab0.设向量 a与 b 的夹角为 ，则 cos ，所以向量 a 与 b 的夹角 120.ab|a|b| a2|a|b| 12答案：1207若向量| a|1，| b|2，| a b|2，则| a b|_.解析：| a|1，| b|2，| a
4、 b|2， a22 ab b24.即| a|22 ab| b|24，得 12 ab44，2 ab1.于是| a b| a b 2 .a2 2ab b2 1 1 4 6答案： 68已知| a|2，| b|1， a 与 b 的夹角为 ，若向量 2a kb 与 a b 垂直，求 k. 3解： ab| a|b|cos 21 1. 3 12因为 2a kb 与 a b 垂直，所以(2 a kb)(a b)0.所以 2a22 ab kab kb20.所以 2222 k k0.所以 k5.9已知非零向量 a， b，满足 a b，且 a2 b 与 a2 b 的夹角为 120，则_.|a|b|解析：( a2 b
5、)(a2 b) a24 b2， a b，| a2 b| ，| a2 b| .a2 4b2 a2 4b2cos 120 . a 2b a 2b|a 2b|a 2b| a2 4b2 a2 4b2 2 a2 4b2a2 4b2 12 .a2b2 43 .|a|b| 233答案：23310若向量 a 与向量 b 的夹角为 60，| b|4，( a2 b)(a3 b)72.求：(1)|a|；(2)|a b|.解：(1)( a2 b)(a3 b)| a|2| a|b|cos 606| b|2| a|22| a|9672，即| a|22| a|240，得| a|6.(2)|a b|2 a22 ab b236
6、264 1676.12| a b|2 .1911设向量 a， b 满足| a|1，| b|1，且 a 与 b 具有关系|ka b| |a kb|(k0)3(1)a 与 b 能垂直吗？(2)若 a 与 b 夹角为 60，求 k 的值解：(1)| ka b| |a kb|，3( ka b)23( a kb)2，且| a| b|1.即 k212 kab3(1 k22 kab)， ab .k2 14k k210， ab0，即 a 与 b 不垂直(2) a 与 b 夹角为 60，且| a| b|1， ab| a|b|cos 60 .12 . k1.k2 14k 1212.如图，扇形 AOB 的弧的中点为
7、 M，动点 C， D 分别在 OA， OB 上，且OC BD， OA1， AOB120.(1)若点 D 是线段 OB 靠近点 O 的四分之一分点，用 ， 表示向量 .OA OB MC (2)求 的取值范围MC MD 解：(1)由已知可得 ， ，OC 34OA MC OC OM 易得 OAMB 是菱形，则 ，所以 ( ) .OM OA OB MC OC OM 34OA OA OB 14OA OB (2)易知 DMC60，且| | |，MC MD 那么只需求 MC 的最大值与最小值即可，当 MC OA 时， MC 最小，此时 MC ，则 32 MC cos 60 .MD 32 32 38当 MC
8、与 MO 重合时， MC 最大，此时 MC1，则 cos 60 ，MC MD 12所以 的取值范围为 .MC MD 38， 121两向量 a 与 b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a0， b0,0 90时)，也可以为负(当 a0， b0,90 180时)，还可以为 0(当 a0 或 b0 或 90时)2数量积对结合律一般不成立，因为( ab)c| a|b|cos a， b c 是一个与c 共线的向量，而( ac)b| a|c|cos a， c b 是一个与 b 共线的向量，两者一般不同3求平面向量数量积的步骤是：求 a 与 b 的夹角 ， 0，180；分别求| a|和| b|；求数量积，即 ab| a|b|cos ，要特别注意书写时 a 与 b 之间用实心圆点“” ，而不能用“” ，也不能省去
