1、等腰三角形等腰三角形（一）教学目标（一）教学知识点1等腰三角形的概念2等腰三角形的性质3等腰三角形的概念及性质的应用（二）能力训练要求1经历作（画）出等腰三角形的过程， 从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点2探索并掌握等腰三角形的性质（三）情感与价值观要求通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯教学重点1等腰三角形的概念及性质2等腰三角形性质的应用教学难点来源:学科网 ZXXK等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用教学方法探究归纳法教具准备师：多媒体课件、投影仪；生：硬纸、剪刀教学过程提出问题，创设情境来源:学科网 ZXXK师
2、在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形， 还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形来研究：三角形是轴对称图形吗？什么样的三角形是轴对称图形？生 有的三角形是轴对称图形，有的三角形不 是师 那什么样的三角形是轴对称图形？生 满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形， 也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形师 很好，我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形等腰三角形导入新课师同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形AB ICAB I作一条直线 L
3、，在 L 上取点 A，在 L 外取点 B，作出点 B 关于直线 L 的对称点 C，连结 AB、BC、CA，则可得到一个等腰三角形生乙 在甲同学的做法中，A 点可以取直线 L 上的任意一点师 对，按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀，按自己设计的方法，也可以用课本 P138 探究中的方法， 剪出一个等腰三角形师 按照我们的做法，可以得到等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角师 有了上述概念，同学们来想一想（演示
4、课件）1等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴2等腰三角形的两底角有什么关系？3顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？4底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？ 底边上的高所在的直线呢？生甲 等腰三角形是轴对称图形它的对称轴是顶角的平分线所在的直线因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线师 同学们把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系生乙 我把自己做的等腰三角形折叠后，发现等腰三角形的两个底角相等生丙 我把等腰三角形折叠，使两腰重合，这样顶角平分线两旁的部分就可以重
5、合，所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线生丁 我把等腰三角形沿底边上的中线对折，可以看到它两旁的部分互相重合，说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴生戊 老师，我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴师 你们说的是同一条直线吗？大家来动手折叠、观察生齐声 它们是同一条直线师 很好现在同学们来归纳等腰三角形的性质生 我沿 等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等， 而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高师 很好，大家看屏幕（演示课件）等腰三角形的性质：1等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边
6、对等角” ） 2等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、 底边上的高互相重合（通常称作“三线合一” ） 师 由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质同学们现在就动手来写出这些证明过程） （投影仪演示学 生证明过程）生甲 如右图，在 ABC 中，AB=AC，作底边 BC 的中线 AD，因为,ABCD所以BADCAD（SSS） 所以B= C生乙 如右图，在 ABC 中，AB=AC，作顶角BA C 的角平分线 AD，因为,ABDC所以BADCAD所以 BD=CD，BDA=CDA= 12BDC=90师 很好，甲、乙两同学给出了
7、等腰 三角形两个性质的证明，过程也写得很条理、很规范下面我们来看大屏幕D CABD CAB DCAB（演示课件）例 1如图，在 ABC 中，AB=AC，点 D 在 AC 上，且 BD=BC=AD，求：ABC 各角的度数师 同学们先思考一下，我们再来分析这个题生根据等边对等角的性质，我们可以得到A=ABD，ABC=C=BDC ，再由BDC=A+ABD，就可得到ABC=C=BDC=2A 再由三角形内角和为 180， 就可求出ABC 的三个内角师 这位同学分析得很好，对我们以前学过的定理也很熟悉如果我们在解的过程中把A 设为 x 的话，那么ABC、C 都可以用 x 来表示，这样过程就更简捷（课件演示
8、）例 因为 AB=AC，BD=BC=AD，所以ABC=C= BDCA=ABD（等边对等角） 设A=x，则BDC=A+ABD=2x，从而ABC=C= BDC=2x 于是在ABC 中，有A+ABC+C=x+2x+2x=180，解得 x=36在ABC 中，A=35 ，ABC= C=72师 下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识随堂练习（一）课本 P51 练习 1、2、3练习1如下图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数(2)12036(1)答案：（1）72 （2）302如右图，ABC 是等腰直角三角形（ AB=AC，BAC=90 ） ，AD 是底边 BC 上的高，标出B、C 、BAD、DAC
9、 的度数，图中有哪些相等线段？D CAB答案：B= C=BAD= DAC=45；AB=AC，BD=DC=AD3如右图，在ABC 中， AB=AD=DC，BAD=26，求B 和C 的度数D CAB答：B=77 ，C=38.5（二）阅读课本 P138P140 ，然后小结课时小结这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简 单的应用等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角） ，等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们课后作业 来源:Z,xx,k.Com（一）课本
10、P561、 3、4、8 题（二）1预习课本 P51P53 2预习提纲：等腰三角形的判定活动与探究如右图，在ABC 中，过 C 作BAC 的平分线 AD 的垂线，垂足为D，DE AB 交 AC 于 E求证：AE=CEEDCAB过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质结果：证明：延长 CD 交 AB 的延长线于 P，如右图，在ADP 和A DC 中12,ADPCADPADC P=ACD又DE AP，EDCABP4= P4= ACDDE=EC同理可证：AE=DE AE=CE板书设计1231 等腰三角形（一）一、设计方案作出一个等腰三角形二、等腰三角形性质1等边对
11、等角2三线合一三、例题分析四、随堂练习五、课时小结六、课后作业备课资料参考练习一、选 择题1如果ABC 是轴对称图形，则它的对称轴一定是（ ）A某一条边上的高; B某一条边上的中线C平分一角和 这个角对边的直线 ; D某一个角的平分线2等腰三角形的一个外角是 100，它的顶角的度数是（ ）A80 B20 C80和 20 D80或 50答案：1C 2C二、已知等腰三角形的腰长比底边多 2cm，并且它的周长为 16cm求这个等腰三角形的边长解：设三角形的底边长为 xcm，则其腰长为（x+2）cm，根据题意，得2（x+2）+x=16解得 x=4所以，等腰三角形的三边长为 4cm、6cm 和 6cm1
12、231 等腰三角形（二）教学目标（一）教学知识点探索等腰三角形的判定定理（二）能力训练要求探索等腰三角形的判定定理，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念（三）情感与价值观要求通过对等腰三角形的判定定理的探索，让学生体会探索学习的乐趣，并通过等腰三角形的判定定理的简单应用，加深对定理的理解从而培养学生利用已有知识解决实际问题的能力教学重点等腰三角形的判定定理及其应用教学难点探索等腰三角形的判定定理教学方法讲练结合法来源:Z*xx*k.Com教具准备多媒体课件、投影仪教学过程提出问题，创设情境师 上节课我们学习了等腰三角形的性质，现在大家来回忆一下，等腰三角形有些什么性质呢？生甲 等腰三角形的两底
13、角相等生乙等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合师 同学们回答 得很好，我们已经知道了等腰三角形的性质，那么满足了什么样的条件就能说一个三角形是等腰三角形呢？这就是我们这节课要研究的问题导入新课师 同学们看下面的问题并讨论：思考：如图，位于在海上 A、B 两处的两艘救生船接到 O 处遇险船只的报警，当时测得A=B 如果这两艘救生船以同样的速度同时出发， 能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？A B0在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？生甲应该能同时赶到出事地点因为两艘救生船的速度相同，同时出发，在相同的时间内走过的路程应该相同，也就是 O
14、A=OB，所以两船能同时赶到出事地点生乙 我认为能同时赶到 O 点的位置很重要，也就是 A 如果不等于B， 那么同时以同样的速度就不一定能同时赶到出事地点师 现在我们把这个问题一般化，在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？来源:Z_xx_k.Com生丙 我想它们所对的边应该相等师 为什么它们所对的边相等呢？同学们思考一下，给出一个简单的证明生丁 我是运用三角形全等来证明的（投影仪演示了同学证明过程）例 1已知：在 ABC 中，B=C（如图） 21D CAB求证：AB=AC 证明：作BAC 的平分线 AD在BAD 和CAD 中12,BCADBADCAD（AAS） AB=
15、AC 师 太好了从丁同学的证明结论来看，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也是相等，也就说这个三角形就是等腰三角形这个结论也回答了我们一开始提出的问题也就是如何来判定一个三角形是等腰三角形（演示课件）等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边” ） 来源:学科网师 下面我们通过几个例题来初步学习等腰三角形判定定理的简单运用（演示课件）例 2求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形师 这个题是文字叙述的证明题， 我们首先得将文字语言转化成相应的数学语言，再根据题意画出相应的几何图形已知：C
16、AE 是ABC 的外角，1= 2，AD BC（如图） 求证：AB=AC 师 同学们先思考，再分析21EDCAB生 要证明 AB=AC，可先证明B=C师 这位同学首先想到我们这节课的重点内容，很好! 来源:Z_xx_k.Com生 接下来，可以找 B、C 与1 、2 的关系师 我们共同证明，注意每一步证明的理论根据（演示课件，括号内部分由学生来填）证明：ADBC，1= B（两直线平行，同位角相等） ，2= C（两直线平行，内错角相等） 又1=2，B= C，AB=AC （等角对等边） 师 看大屏幕，同学们试着完成这个题（课件演示）已知：如图，ADBC，BD 平分ABC求证：AB=AD （投影仪演示学
17、生证明过程）证明：ADBC，ADB= DBC（两直线平行，内错角相等） 又BD 平分ABC，ABD= DBC，来源:Zxxk.ComABD= ADB ，AB=AD （等角对等边） DCAB师 下面来看另一个例题（演示课件）例 3如图（ 1） ，标杆 AB 的高为 5 米，为了将它固定，需要由它的中点C向地面上与点 B 距离相等的 D、E 两点拉两条绳子，使得 D、B、E 在一条直线上，量得 DE=4 米， 绳子 CD 和 CE 要多长？(1) EDCAB(2)EDCBMN师 这是一个与实际生活相关的问题，解决这类型问题，需要将实际问题抽象为数学模型本题是在等腰三角形中已知等腰三角形的底边和底边
18、上的高，求腰长的问题解：选取比例尺为 1：100（即为 1cm 代表 1m） （1）作线段 DE=4cm；（2）作线段 DE 的垂直平分线 MN，与 DE 交于点 B；（3）在 MN 上截取 BC=2.5cm；（4）连接 CD、CE，CDE 就是所求的等腰三角形，量出 CD 的长，就可以算出要求的绳长师 同学们按以上步骤来做一做，看结果是多少随堂练习（一）课本 P53 1、 2、31如图，A=36， DBC=36，C=72，分别计算1、2 的度数， 并说明图中有哪些等腰三角形21DCAB答案：1=72，2=36 等腰三角形有：ABC、ABD、BCD 2如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠 重合部分
19、是一个等腰三角形吗？为什么？21答案：是等腰三角形因为，如图可证1=23如图，AC 和 BD 相交于点 O，且 ABD C，O A=OB，求证：OC=OD答案：证明：OA=OB ，A=B 又ABD C，A=C ，B=DC= DOC=OD （等角对等边） D CA B0（二）补充练习：来源:学#科#网如图，在ABD 中，C 是 BD 上的一点，且 ACBD，AC=BC=CD来源:学+ 科+网（1）求证：ABD 是等腰三角形（2）求BAD 的度数答案：（1）证明：ACBD，ACB=ACD=90又AC=AC ，BC=CD，ACB ACD（ SAS） AB=AD （全等三角形的对应边相等） ABD 是
20、等腰三角形（2）解：由（1）可知 AB=AD，B= D又AC=BC，B= BAC，AC=CDD=DAC（等边对等角） 在A BD 中，B+D+ BAC+ DAC=180，2（BAC+DAC ）=180BAC+DAC=90，即BAD=90 （鼓励学生思考其他解法）课时小结DCAB本节课我们主要探究了等腰三角形判定定理， 并对判定定理的简单应用作了一定的了解在利用定理的过程中体会定理的重要性在直观的探索和抽象的证明中发现和养成一定的逻辑推理能力课后作业（一）课本 P562、 4、5、9、13 题（二）预习 P53P54活动与探究探究 1等腰三角形两底角的平分线相等过程：利用等腰三角形的性质即等 边
21、对等角，全等三角形的判定及性质结果：已知 ：如图，在ABC 中，AB=AC ，BD、CE 是ABC 的平分线求证：BD=C E证明：AB=AC ，ABC=ACB （等边对等角） 1= 12ABC，2= 12ACB，1= 2在BDC 和CEB 中，ACB=ABC ， BC=CB，1=2，BDC CEB（ASA ） BD=CE （全等三角形的对应边相等） 探究 2等腰三角形两腰上的高相等过程：同探究 1结果：4231E DCAB已知：如图，在ABC 中，AB=AC ，BE、CF分别是ABC 的高求证：BE=CF证明：AB=AC ，ABC=ACB （等边对等角） 又BE、CF 分别是ABC 的高，B
22、FC=CEB=90在BFC 和CEB 中，ABC=ACB ， BFC= CEB，BC=CB，BFCCEB（ AAS） BE=CF探究 3等腰三角形两腰上的中线相等过程：同探究 1结果：已知：如图，在ABC 中，AB=AC ，BD、CE 分别是两腰上的中线求证：BD=CE 证明：AB=AC，ABC=ACB （等边对等角） 又CD= 12AC，BE= AB，CD=BE 在BEC 和CDB 中，BE=CD ，ABC=ACB，BC=CB，BECCDB （SAS） E DCABE DCABBD=CE 板书设计1231 等腰三角形（一）一、等腰三角形的判定定理等角对等边二、等腰三角形判定定理的应用三、随堂作业四、课时小结五、课后作业备课资料墙上钉了一根木条，小明想检验这根木条是否水平他拿来一个如下图所示的测平仪，在这个测平仪中，AB=AC，BC 边的中点 D 处挂了一个重锤小明将 BC边与木条重合，观察此时重锤是否通过 A 点如果重锤过 A点，那么这根木条就是水平的你能说明其中的道理吗？D CAB答案：根据等腰三角形“三线合一”的性质，等腰三角形 ABC底边 BC上的中线 DA 应垂直于底边 BC（即木条） ，如果重锤过点 A，说明直线 AD 垂直于水平线，那么木条就是水平的根据是平面内过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直
