1、1.2.2 同角的三角函数的基本关系重点：基本关系式及其应用.难点：基本关系式的特征及推导.一、求角的正弦值、余弦值、正切值这类问题是已知某角的某个函数值，求该角的其它函数值.例 1 已知 cos ，求 sin ，tan 的值35【分析】讨论 分别在第二、三象限求值.【解】 cos 0 且 cos 1， 是第二或第三象限角当 为第二象限角时，sin ，1 cos21 352 45tan .sin cos 43当 为第三象限角时，sin ，1 cos21 352 45tan .sin cos 43【点评】已知角 的某一三角函数值，求角 的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择；若角所在的象限已经
2、确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角所在的象限不确定，应分类讨论.二、三角函数式的化简与求值所谓化简，就是使表达式经过某种变形，使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少，次数尽可能的低，函数的种类尽可能的少，分母中尽量不含三角函数符号，能求值的要求值.例 2 (1)化简 ；1 2sin10cos10sin10 1 sin210(2)已知 tan2，求下列各式的值： ；4sin 2cos5cos 3sin sin2 cos2.14 25【分析】对（1）把被开方数变形为平方形式.（2）把弦化为“切”的形式.【解】 (1)1 2sin10cos10sin10 1 sin210|cos10
3、sin10|sin10 cos10 1.cos10 sin10sin10 cos10(2)法一：由 tan2，得 sin2cos. 10.4sin 2cos5cos 3sin 8cos 2cos5cos 6cos sin2 cos214 25 14sin2 25cos2sin2 cos2 .cos2 25cos24cos2 cos2 725法二：tan2，cos0. 10.4sin 2cos5cos 3sin 4tan 25 3tan 4 2 25 3 2 sin2 cos214 25 14sin2 25cos2sin2 cos2 .14tan2 25tan2 1 725【点评】法一利用已知条
4、件将 sin 全部化为 cos，从而得到各式的值，可以说是运用了“减少变量”的思想.而法二是将关于 sin,cos 的齐次式（所谓关于 sin、cos的齐次式就是式子中的每一项都是关于 sin、cos 的式子且它们的次数之和相同，设为n 次）分子分母同除以 cos 的 n 次幂，其式子可化为关于 tan 的式子，根据已知条件再解决所求问题就简单得多.同时，要注意“1”的代换，如“1=sin2+cos2”.三、证明三角关系式三角关系式的证明就是由三角关系的化简推导出等式是成立的.例 3 求证： .tan sintan sin tan sintan sin【分析】可由右向左证，也可由左向右证，也可
5、两边同时切化为弦来证明，或者可证明sin2tan2=tan2-sin2 成立.【证明】 法一：右边tan2 sin2tan sin tan sintan2 tan2 cos2tan sin tan sintan2 1 cos2 tan sin tan sin 左边，tan2 sin2tan sin tan sin tan sintan sin原等式成立法二：左边 ，tan sintan tan cos sin1 cos右边 tan tan costan sin 1 cossin ，1 cos2sin 1 cos sin2sin 1 cos sin1 cos左边右边，原等式成立法三：tansin0，tansin0，要证原等式成立，只要证 tan2sin2tan2sin2 成立而 tan2sin2tan2(1cos2)tan2(tancos)2tan2sin2，即 tan2sin2tan2sin2 成立，原等式成立【点评】证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，就是有目的的化简，根据不同题型，可采用恰当方法证明.利用同角三角函数的基本关系式主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法，特别要注意平方关系的应用.
