1、第 2 课时 数列的函数特性知能目标解读1.熟练掌握数列与函数之间的关系，了解数列是一种特殊的函数的含义.2.能够用函数的观点、方法研究数列的增减性、最值、图像等问题.3.能够通过探求数列的增减性或画出数列的图像来求数列中的最大项或最小项.重点难点点拨重点：1.了解数列是一种特殊的函数的含义.2.能够用函数的观点、方法研究数列的增减性、最值、图像等问题.难点：用函数的观点、方法研究数列的增减性、最值、图像等问题.学习方法指导1.数列的概念与函数概念的联系(1)数列是一种特殊的函数，特殊在定义域是正整数集或是它的有限子集1,2,3, n，它是一种自变量“等距离”地离散取值的函数.(2)数列与函数
2、不能画等号，数列是相应函数的一系列函数值.(3)利用函数与数列的关系，可以从函数的观点研究数列的表示方法及有关性质.2.数列的表示方法(1)数列的图像是无限个或有限个离散的孤立的点.(2)若数列是以解析式的形式给出的，则数列的图像是相应函数图像上的一系列孤立的点.(3)数列是一类离散函数，它是刻画离散过程的重要数学模型，有很广泛的应用.(4)列表法不必通过计算就能知道两个变量间的对应关系，比较直观，但是它只能表示有限个元素间的对应关系.3.数列的单调性（1）递增数列：一般地，一个数列 an，如果从第 2 项起，每一项都大于它前面的一项，即 an+1an(nN +)，那么这个数列叫做递增数列.（
3、2）递减数列：一般地，一个数列 an，如果从第 2 项起，每一项都小于它前面的项，即an+10还是 anan 递增 (3) an+10)上的无穷多个孤立的点.变式应用 1 已知数列 an的通项公式为 an=2n-1,作出该数列的图像.解析 分别取 n=1,2,3,得到点（1,1）,(2,3),(3,5),描点作出图像.如图，它的图像是直线 y=2x-1 上的一些等间隔的点.命题方向 数列单调性的判断例 2 已知函数 f(x)=2x-2-x，数列 an满足 f(log2an) =-2n.(1)求数列 an的通项公式；（2）求证数列 an是递减数列.分析 （1）已知函数关系式，由条件可得出 2lo
4、g2an-2-log2an=-2n,解这个关于 an的方程即可；（2）只需证明 an+1-an1(an0)即可.1解析 （1） f(x)=2x-2-x,f(log2an)=-2n,2 log2an-2-log2an=-2n,an- =-2n, an2+2nan-1=0,解得 an=-n .12 an0, an= -n.12（2） =n1)()(2= 0,则数列 an是递增数列；若 an+1-an1,则数列 an是递增数列；若 0, an+10,即 230-1001.05n-20 时，1.05 n-20,其实对非零实数 a 应分 a0 和 a0 时， an-an-10, anan-1,数列 an
5、是递增数列.课堂巩固训练一、选择题1.已知数列 an, a1=1,an-an-1 n-1(n2)，则 a6=（ ）A.7 B.11 C.16 D.17答案 C解析 a1=1,an-an-1=n-1(n2)， a2-a1=1, a2=a1+1=2, a3-a2=2, a3=a2+2=4, a4-a3=3, a4=a3+3=7, a5-a4=4, a5=a4+4=11, a6-a5=5, a6=a5+5=16.2.(2012济南高二检测)数列 an中， an=-n2+11n,则此数列最大项的值是（ ）A. B.30 C.31 D.3212答案 B解析 an=-n2+11n=-（ n- ） 2+ ,
6、14 nN +,当 n=5 或 6 时， an取最大值 30，故选 B.3.一给定函数 y=f(x)的图像在下列图中，并且对任意 a1(0,1),由关系式 an+1=f(an)得到数列 an满足 an+1an(nN +)，则该函数的图像是（ ）答案 A解析 由关系式 an+1=f(an)得到数列 an满足 an+1an,可得 f(an)an,即 f(x)x.故要使该函数 y=f(x)图像上任一点（ x,y）都满足 yx,图像必在直线 y=x 的上方，所以 A 正确.说明：借用函数的图像与性质来研究数列时，要注意函数的一般性及数列的特殊性之间的关系，不可不加区分，混为一谈，表达时要清楚明白，数列
7、问题有时用图像来处理，往往可以使问题巧妙、简捷地获得解决.二、填空题4.已知 f(1)=2,f(n+1)= (nN +),则 f(4)= .21)f答案 89解析 f(1)=2,f(n+1)= (nN ),)f f(2)= = ,21)(3f(3)= = = ,)(f54f(4)= = = .21)3(f895.已知数列 an中， an=an+m(a0 可知 an+1an，所以数列 an是递增数列.2.设 an=-n2+10n+11，则数列 an的最大项为（ ） A.5 B.11 C.10 或 11 D.36答案 D解析 an=-n2+10n+11=-(n-5) 2+36,当 n=5 时， a
8、n取最大值 36.3.数列 an中， a1=0，以后各项由公式 a1a2a3an n2给出，则 a3+a5等于（ ）A. B. C. D. 925625611答案 C解析 a1a2a3an=n2, a1a2a3=9,a1a2=4, a3 .49同理 a5= , a3+a5= + = .6614.已知数列 an的通项公式 an=lg1536-(n-1)lg2，则使得 an1536,代入验证得答案为 D.5.已知数列 an中， a1=1,a2=3， an=an-1+ (n3)，则 a5=（ ）21A. B. C.4 D.51253答案 A解析 a3=a2+ =3+1=4.1a4=a3+ =4+ =
9、 .2a5=a4+ = + = .3156.在数列 an中， a1=1,anan-1=an-1+(-1) n(n2)，则 的值是（ ）53aA. B. C. D. 21324354答案 C解析 a1=1, a2=1+1=2,a3a2=a2+(-1) 3=2+(-1)=1, a3= ,21又 a3a4=a3+(-1) 4, a4=3, a4a5=a4+(-1) 5=2, a5= , = = .53217.已知 Sk表示数列的前 k 项和，且 Sk+Sk+1=ak+1 (kN +)，那么此数列是（ ）A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列答案 C解析 ak+1=Sk+1-Sk=Sk+
10、Sk+1， Sk=0(kN +).可知此数列每一项均为 0，即 an=0 是常数列.8.已知数列 an的通项公式为 an=（ ） n-1（ ） n-1-1 ，则关于 an的最大项，最小项叙43述正确的是（ ） A.最大项为 a1,最小项为 a3B.最大项为 a1,最小项不存在C.最大项不存在，最小项为 a3D.最大项为 a1，最小项为 a4答案 A解析 令 t=（ ） n-1，则它在 N+上递减且 0a3，故选 A.二、填空题9.已知数列 an的通项公式 an=n2-4n-12（ nN +） ，则（1）这个数列的第四项是 ；（2）65 是这个数列的第 项；（3）这个数列从第 项起以后各项为正数
11、.答案 12 11 7解析 (1) a4=42-44-12-12.(2)令 65 n2-4n-12, n2-4n-77=0, n=11 或 n=-7(舍去).故 65 是这个数列的第 11 项.（3）令 n2-4n-120,得 n6 或 nan解析 a,b,c 均为实数， f(x)= = 在(0,+)上是增函数，故数列 an=x在 nN +时为递增数列， an-3解析 由 an为递增数列，得 an+1-an=(n+1) 2+( n+1)-n2- n=2n+1+0 恒成立，即 -2 n-1 在 n1 时恒成立，令 f(n)=-2n-1,f(n) max=-3.只需 f(n) max=-3 即可.
12、12.若数列 an的通项公式为 an=-2n2+13n，关于该数列，有以下四种说法：(1)该数列有无限多个正数项；(2)该数列有无限多个负数项；(3)该数列的最大项就是函数f(x)=-2x2+13x 的最大值；(4)-70 是该数列中的一项.其中正确的说法有 .（把所有正确的序号都填上）答案 (2)(4)解析 令-2 n2+13n0，得 00, an+1an.故数列 an为递增数列.2n12)(n14.根据数列的通项公式，写出数列的前 5 项，并用图像表示出来.(1)an=(-1) n+2;(2)an= .1解析 (1) a1=1,a2=3,a3=1,a4=3,a5=1.图像如图 1.(2)a
13、1=2,a2= ,a3= ,a4= ,a5= .图像如图 2.615.已知数列 an, a1=2,an+1=2an，写出数列的前 4 项，猜想 an,并加以证明.证明 由 a1=2,an+1=2an,得a2=2a1=4=22,a3=2a2=222=23,a4=2a3=223=24.猜想 an=2n(nN +).证明如下：由 a1=2,an+1=2an,得 = = = =2.1n2231 an= a1=22222 n.12n316.已知函数 f(x)= ,设 f(n)=an(nN +).求证： an0，即 an+1an,所以数列 an是递增数列.所以 an的最小值为 a1= ,即 an .2所以 an1.21
