1、1.2 函数的极值课时目标 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)1函数的极大值点和极大值在包含 x0的一个区间( a， b)内，函数 y f(x)在任何一点的函数值都小于 x0点的函数值，称点 x0为_，其函数值 f(x0)为函数的_2函数的极小值点和极小值在包含 x0的一个区间( a， b)内，函数 y f(x)在任何一点的函数值都_，称点x0为函数 y f(x)的极小值点，其函数值 f(x0)为函数的_3极值和极值点极大值与极小值统称为_，极大值点与极小值点统称为_极值是函数在一个适当区间内的局部性质 一、选择题
2、1.函数 f(x)的定义域为 R，导函数 f( x)的图像如图，则函数 f(x)( )A无极大值点，有四个极小值点B有三个极大值点，两个极小值点C有两个极大值点，两个极小值点D有四个极大值点，无极小值点2已知函数 f(x)， xR，且在 x1 处， f(x)存在极小值，则( )A当 x(，1)时， f( x)0；当 x(1，)时， f( x)0；当 x(1，)时， f( x)0C当 x(，1)时， f( x)0D当 x(，1)时， f( x)0 时有( )1xA极小值B极大值C既有极大值又有极小值D极值不存在4函数 f(x)的定义域为( a， b)，导函数 f( x)在( a， b)内的图像如
3、图所示，则函数f(x)在开区间( a， b)内有极小值点( )A 1 个 B2 个 C3 个 D4 个5函数 f(x) x33 bx3 b 在(0,1)内有且只有一个极小值，则( )A00 D b2 D a6题 号 1 2 3 4 5 6答 案二、填空题7若函数 f(x) 在 x1 处取极值，则 a_.x2 ax 18函数 f(x) ax3 bx 在 x1 处有极值2，则 a、 b 的值分别为_、_.9函数 f(x) x33 a2x a(a0)的极大值为正数，极小值为负数，则 a 的取值范围是_三、解答题10求下列函数的极值(1)f(x) x312 x；(2)f(x) xe x.11设函数 f
4、(x) x3 x26 x a.92(1)对于任意实数 x， f( x) m 恒成立，求 m 的最大值；(2)若方程 f(x)0 有且仅有一个实根，求 a 的取值范围能力提升12已知函数 f(x)( x a)2(x b)(a， bR， a0)， f( x)0 时得： xa 或 x .2210解 (1)函数 f(x)的定义域为 R.f( x)3 x2123( x2)( x2)令 f( x)0，得 x2 或 x2.当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表：从表中可以看出，当 x2 时，函数 f(x)有极大值，且 f(2)(2) 312(2)16；当 x2 时，函数 f(x)有极小值，
5、且 f(2)2 312216.(2)f( x)(1 x)e x.令 f( x)0，解得 x1.当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表：函数 f(x)在 x1 处取得极大值 f(1)，且 f(1) .1e11解 (1) f( x)3 x29 x6.因为 x(，)， f ( x) m，即 3x29 x(6 m)0 恒成立，所以 8112(6 m)0，解得 m ，34即 m 的最大值为 .34(2)因为当 x0；当 12 时， f( x)0.所以当 x1 时， f(x)取极大值 f(1) a；52当 x2 时， f(x)取极小值 f(2)2 a，故当 f(2)0 或 f(1) .5
6、212(1)解 当 a1， b2 时， f(x)( x1) 2(x2)，因为 f( x)( x1)(3 x5)，故 f(2)1，又 f(2)0，所以 f(x)在点(2,0)处的切线方程为 y x2.(2)证明 因为 f( x)3( x a)(x )，a 2b3由于 ab，故 a ，a 2b3所以 f(x)的两个极值点为 x a， x .a 2b3不妨设 x1 a， x2 ，a 2b3因为 x3 x1， x3 x2，且 x3是 f(x)的零点，故 x3 b.又因为 a2( b )，a 2b3 a 2b3x4 (a ) ，12 a 2b3 2a b3此时 a， ， ， b 依次成等差数列，2a b3 a 2b3所以存在实数 x4满足题意，且 x4 .2a b3
