1、,二、 两个重要极限,一、极限存在准则:夹逼准则 及单调有界准则,第六节,极限存在准则及,两个重要极限,第一章,1. 夹逼准则 (准则1) (P50),证:,由条件 (2) ,当,时,当,时,令,则当,时, 有,由条件 (1),即,故,例. 证明,证: 利用夹逼准则 .,且,由,夹逼准则I(函数极限),且,( 利用数列的夹逼准则可证 ),准则I ,2. 单调有界数列必有极限 ( 准则II ) ( P52 ),( 证明略 ),*3. 柯西极限存在准则(柯西审敛原理) (P55),数列,收敛的充分必要条件是:,存在正整数 N ,使当,时,证: “必要性”.,设,则,时, 有,使当,因此,“充分性”
2、 证明从略 .,有,柯西,圆扇形AOB的面积,二、 两个重要极限,证: 当,即,亦即,时，,显然有,AOB 的面积,AOD的面积,故有,注,注,注,当,时,例2. 求,解:,例3. 求,解: 令,则,因此,原式,例4. 求,解: 原式 =,例5. 已知圆内接正 n 边形面积为,证明:,证:,说明: 计算中注意利用,证明数列,极限存在 . (P53P54),证: 利用二项式公式 , 有,大,大,正,又,比较可知,根据准则 2 可知数列,记此极限为 e ,e 为无理数 , 其值为,即,有极限 .,又,内容小结,2.,证: 当,时, 设,则,(P5354),当,则,从而有,故,说明: 此极限也可写为,时, 令,例6. 求,解: 令,则,说明 ：若利用,则,原式,例7. 求,解: 原式 =,的不同数列,内容小结,1. 函数极限与数列极限关系的应用,(1) 利用数列极限判别函数极限不存在,(2) 数列极限存在的夹逼准则,法1 找一个数列,且,使,法2 找两个趋于,及,使,不存在 .,函数极限存在的夹逼准则,2. 两个重要极限,或,思考与练习,填空题 ( 14 ),作业 P56 1 (4)，(5)，(6) ; 2 (2)，(3)，(4) ; 4 (4) , (5),第七节,
