1、2.2.3 直线与平面平行的性质一、教材分析上节课已学习了直线与平面平行的判定定理,这节课将通过例题让学生体会应用线面平行的性质定理的难度，进而明确告诉学生：线面平行的性质定理是高考考查的重点，也是最难应用的两个定理之一.本节重点是直线与平面平行的性质定理的应用.二、教学目标1知识与技能掌握直线与平面平行的性质定理及其应用.2过程与方法学生通过观察与类比，借助实物模型性质及其应用.3情感、态度与价值观（1）进一步提高学生空间想象能力、思维能力.（2）进一步体会类比的作用.（3）进一步渗透等价转化的思想.三、教学重点与难点教学重点：直线与平面平行的性质定理.教学难点：直线与平面平 行的性质定理的
2、应用.四、课时安排1 课时五、教学设计（一）复习回忆直线与平面平行的判定定理：（1）文字语言：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（2）符号语言为：（3）图形语言为：如图 1.图 1（二）导入新课思路 1.(情境导入)教室内日光灯管所在的直线与地面平行，是不是地面内的所有直线都与日光灯管所在的直线平行？思路 2.(事例导入)观察长方体（图 2） ，可以发现长方体 ABCDABCD中，线段 AB 所 在的直线与长方体 ABCDABCD的侧 面 CDDC 所在平面平行，你能在侧面 CDDC 所在平面内作一条直线与 AB 平行吗？图 2（三）推进新课、新知探究、提
3、出问题回忆空间两直线的位置关系.若一条直线与一个平面平行，探究这条直线与平面内直线的位置关系.用三种语言描述直线与平面平行的性质定理.试证明直线与平面平行的性质定理.应用线面平行的性质定理的关键是什么？总结应用线面平行性质定理的要诀.活动:问题引导学生回忆两直线的位置关系.问题借助模型锻炼学生的空间想象能力.问题引导学生进行语言转换.问题引导学生用排除法.问题引导学生找出应用的难点.问题鼓励学生总结，教师归纳.讨论结果：空间两条直线的位置关系：相交、平行、异面.若一条直线与一个平面平行，这条直线与平面内直线的位置关系不可能 是相交（可用反证法证明）,所以，该直线与平面内直线的位置关系还有两种，
4、即平行或异面.怎样在平面内作一条直线与该直线平行呢（排除异面的情况）？经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.直线与平面平行的性质定理用文字语言表示为：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.这个定理用符号语言可表示为：这个定理用图形语言可表示为：如图 3.图 3已知 a，a ，=b.求证：ab.证明：应用线面平行的性质定理的关键是：过这条直线作一个平面.应用线面平行性质定理的要诀：“见到线面平行，先过这条直线作一个平面找交线”.（四）应用示例思路 1例 1 如图 4 所示的一块木料中，棱 BC 平行于面 AC.图 4(1)要经过
5、面 AC内的一点 P 和棱 BC 将木料锯开，应怎样画线？(2)所画的线与面 AC 是什么位置关系？活动:先让学生思考、讨论再回答，然后教师加以引导.分析：经过木料表面 AC内的一点 P 和棱 BC 将木料锯开,实际上是经过 BC 及 BC 外一点 P 作截面,也就是找出平面与平面的交线.我们可以由线面平行的性质定理和公理 4、公理 2 作出.解：（1）如图 5，在平面 AC内，过点 P 作直线 EF,使 EFBC，图 5并分别交棱 AB、CD于点 E、F.连接 BE、CF.则 EF、BE、CF 就是应画的线.(2)因为棱 BC 平行于面 AC，平面 BC与平面 AC交于 BC，所以BCBC.
6、由（1）知，EFBC，所以 EFBC.因此BE、CF 显然都与平面 AC 相交.变式训练如图 6，a,A 是 另一侧的点，B、C、Da，线段 AB、AC、AD 交 于 E、F、G点，若 BD=4，CF=4，AF=5，求 EG.图 6解：A a，A、a 确定一个平面，设为 .Ba，B.又 A，AB .同理 AC ，AD .点 A 与直线 a 在 的异侧, 与 相交.面 ABD 与面 相交，交线为 EG.BD，BD 面 BAD，面 BAD=EG,BDEG.AEGABD. ACFBDEG.(相似三角形对应线段成比例)EG= 92045.点评：见到线面平行，先过这条直线作一个平面找交线，直线与交线平行
7、，如果再需要过已知点，这个平面是确定的.例 2 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证另一条也平行于这个平面.如图 7.图 7已知直线 a,b,平面 ,且 ab,a,a,b 都在平面 外.求证：b.证明：过 a 作平面 ,使它与平面 相交,交线为 c.a,a ,=c,ac.ab,bc.c ,b ,b.变式训练如图 8,E、H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB、AD 的中点，平面 过 EH 分别交BC、CD 于 F、G.求证：EHFG.图 8证明：连接 EH.E、H 分别是 AB、AD 的中点,EHBD.又 BD面 BCD，EH 面 BCD,EH面 BCD.又 EH 、面 B
8、CD=FG,EHFG.点评： 见到线面平行，先过这条直线作一个平面找交线，则直线与交线平行.思路 2例 1 求证：如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条，那么它们的交线和这条直线平行.如图 9.图 9已知 ab,a ，b ， =c.求证：cab.证明：变式训练求证：一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个相交平面的交线平行.图 10已知：如图 10,a,a,=b，求证： ab.证明：如图 10，过 a 作平面 、，使得 =c，=d，那么有点评：本题证明过程，实际上就是不断交替使用线面平行的判定定理、性 质定理及公理 4 的过程.这是证明线线平行的一种典型的思路.例 2 如图 11
9、，平行四边形 EFGH 的四个顶点分别在空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA上，求证：BD面 EFGH，AC面 EFGH.图 11证明：EFGH 是平行四边形变式训练如图 12，平面 EFGH 分别平行于 CD、AB，E、F、G、H 分别在 BD、BC、AC、AD 上，且CD=a，AB=b，CDAB.图 12（1）求证：EFGH 是矩形；（2）设 DE=m,EB=n,求矩形 EFGH 的面积.(1)证明：CD平面 EFGH，而平面 EFGH平面 BCD=EF,CDEF.同理 HGCD,EFHG.同理 HEGF，四边形 EFGH 为平行四边形.由 CDEF，HEAB，HEF 为 C
10、D 和 AB 所成的角.又CDAB，HEEF.四边形 EFGH 为矩形.（2）解：由（1）可知在BCD 中 EFCD，DE=m，EB=n, DBECF.又 CD=a,EF= anm.由 HEAB, AH.又AB=b,HE= b.又四边形 EFGH 为矩形,S 矩形 EFGH=HEEF= abnmnm2)(.点评：线面平行问题是平行问题的重点，有着广泛应用.（五）知能训练求证：经过两条异面直线中的一条有且只有一个平面和另一条直线平行.已知：a、b 是异面直线.求证：过 b 有且只有一个平面与 a 平行.证明：(1)存在性.如图 13，图 13在直线 b 上任取一点 A，显然 Aa.过 A 与 a
11、 作平面 ,在平面 内过点 A 作直线 aa,则 a与 b 是相交直线，它们确定一个平面，设为 ,b ，a 与 b 异面，a .又aa，a ，a.过 b 有一个平面 与 a 平行.(2)唯一性.假设平面 是过 b 且与 a 平行的另一个平面,则 b .Ab，A.又A， 与 相交，设交线为 a，则 Aa.a，a ，=a,aa.又 aa，aa.这与 aa=A 矛盾.假设错误，故过 b 且与 a 平行的平面只有一个.综上所述，过 b 有且只有一个平面与 a 平行.变式训练已知：a，A，Ab，且 ba.求证：b .证明：假设 b，如图 14，图 14设经过点 A 和直线 a 的平面为 ，=b, a，a
12、b(线面平行则线线平行).又ab，bb,这与 bb=A 矛盾.假设错误.故 b.（六）拓展提升已知：a,b 为异面直线,a ,b ,a,b,求证:.证明：如图 15，在 b 上任取一点 P，由点 P 和直线 a 确定的平面 与平面 交于直线 c，则 c 与 b 相交于点 P.图 15变式训练已知 AB、CD 为异面线段，E、F 分别为 AC、BD 中点，过 E、F 作平面 AB.（1）求证：CD;（2）若 AB=4，EF= 5，CD=2，求 AB 与 CD 所成角的大小.（1）证明：如图 16，连接 AD 交 于 G，连接 GF,图 16AB，面 ADB=GF ABGF.又F 为 BD 中点,G 为 AD 中点.又AC、AD 相交，确定的平面 ACD=EG,E 为 AC 中点，G 为 AD 中点, EGCD.（2）解：由（1）证明可知：AB=4,GF=2,CD=2,EG=1, EF= 5.在EGF 中，由勾股定理,得EGF=90,即 AB 与 CD 所成角的大小为 90.（七）课堂小结知识总结:利用线面平行的性质定理将直线与平面平行转化为直线与直线平行.方法总结:应用直线与平面平行的性质定理需要过已知直线作一个平面,是最难应用的定理之一;应让学生熟记:“过直线作平面，把线面平行转化为线线平行”.（八）作业课本习题 2.2 A 组 5、6.
