1、3 解三角形的实际应用举例第 1课时 距离和高度问题知能目标解读1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法求解不可到达的两点之间的距离.2.学会处理测量距离、测量高度等解三角形的实际问题.3.深刻理解三角形的知识在实际中的应用，增强应用数学建模意识，培养自己分析问题和解决实际问题的能力. 重点难点点拨重点：分析测量的实际情景，找出解决测量距离的方法. 难点：分析如何运用学过的解三角形知识解决实际问题中距离测量和高度问题.学习方法指导1.解三角形应用题的基本思路解三角形应用题要注意两点：（1）读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，准确理解应用题中的有关术语、名称.理清量与量之间的关系.(
2、2)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、近似计算要求.2.常见应用题型正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.3.解三角形应用题常见的几种情况（1）测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题，从而得到运用正弦定理去解决的方法.（2）测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题.然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，然后运用正弦定理解决.知能自主梳理实际问题中的名词、术语1.方
3、位角：从指北方向 时针转到目标方向的水平角.如图(1)所示.2.方向角：相对于某一正方向（东、西、南、北）的水平角.北偏东 ，即由指北方向 旋转 到达目标方向，如图（2）.北偏西 ，即是由指北方向 旋转 到达目标方向.3.基线：在测量上，我们根据测量的需要适当确定的线段叫做基线.一般来说，基线越 ，测量的精确度越高.4.测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，这类问题不能直接用解三角形的方法解决，但常用 和 ，计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的 问题.5.仰角与俯角：目标方向线（视线）与水平线的夹角中，当目标（视线）在水平线时，称为仰角，在
4、水平线 时，称为俯角，如图.答案 1.顺2.顺时针 逆时针3.长4.正弦定理 余弦定理5.上方 下方思路方法技巧命题方向 测量高度问题例 1 如图，测量人员沿直线 MNP的方向测量，测得塔 AB的仰角分别是 AMB=30， ANB=45 APB=60，且 MN=PN=500m，求塔高.分析 解题的关键是读懂立体图形.解析 设 AB高为 x. AB垂直于地面， ABM, ABN, ABP均为直角三角形， BM=xcot30 x,BN=xcot45 x,3BP=xcot60= x.3在 MNB中,由余弦定理，得BM2=MN2+BN2-2MNBNcos MNB,在 PNB中，由余弦定理，得BP2=N
5、P2+BN2-2NPBNcos PNB,又 BNM与 PNB互补， MN=NP=500，3 x2=250000+x2-2500xcos MNB， x2=250000+x2-2500xcos PNB， 31+，得 x2=500000+2x2,0 x=250 .6答：塔高 250 m.说明 在测量高度时，要理解仰角和俯角的概念，区别在于视线在水平线的上方还是下方，一般步骤是：根据已知条件画出示意图；分析与问题有关的三角形；运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解；把解出答案还原到实际问题中.还要注意综合运用平面几何和立体几何知识以及方程的思想.变式应用 1如图，在塔底 B处测得山顶 C的仰
6、角为 60，在山顶 C测得塔顶 A的俯角为 45，已知塔高 AB=20m，求山高 DC（精确到 0.1m）.分析 如图， DC在 Rt BCD中， DBC=60，只需求出边 BC的长，即可求出DC，而 BC又在斜三角形 ABC中，依据条件由正弦定理可求出 BC.解析 由已知条件，得 DBC=60, ECA=45,则在 ABC中， ABC=90-60=30, ACB=60-45=15, CAB=180-（ ABC+ ACB）=135.在 ABC中， .15sin3siABC BC= .13206415sin3AB在 Rt CDB中， CD=BCsin CBD=20( +1) 47.3.2答：山高
7、约为 47.3m.命题方向 测量距离问题例 2 要测量河对岸两地 A、 B之间的距离，在岸边选取相距 100 米的 C、 D两3点，并测得 ACB=75, BCD=45, ADC=30, ADB=45（ A、 B、 C、 D在同一平面内） ，求 A、 B两地的距离.分析 此题是测量计算河对岸两点间的距离，给出的角度较多，涉及几个三角形，重点应注意依次解哪几个三角形才较为简便.解析 如图所示，在 ACD中， CAD=180-（120+30）=30, AC=CD=100 .3在 BCD中， CBD=180-（45+75）=60.由正弦定理,得BC= .75sin206sin7510在 ABC中，由
8、余弦定理,得AB2=（100 ） 2+（200sin75) 2-2100 200sin75cos7533=1002(3+4 )=10025,150sin150cos AB=100 .答： A、 B两地间的距离为 100 米.说明 （1）求解三角形中的基本元素，应由确定三角形的条件个数，选择合适的三角形求解，如本题选择的是 BCD和 ABC.（2）本题是测量都不能到达的两点间的距离，它是测量学中应用非常广泛的三角网测量方法的原理，其中 AB可视为基线.（3）在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线，如本例的 CD.在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度.一
9、般来说，基线越长，测量的精确度越高.变式应用 2如图所示，货轮在海上以 40km/h的速度沿着方位角（指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为 140的方向航行，为了确定船位，船在 B点观测灯塔 A的方位角为110，航行半小时后船到达 C点，观测灯塔 A的方位角是 65.问货轮到达 C点时与灯塔A的距离是多少？分析 根据所给图形可以看出，在 ABC中，已知 BC是半小时路程，只要根据所给的方位角数据，求出 ABC及 A的大小，由正弦定理可得出 AC的长.解析 在 ABC中， BC=40 =20,21 ABC=140-110=30, ACB=(180-140)+65=105, A=180-
10、(30+105)=45,由正弦定理，得 AC= = (km).ABCsin 21045sin30答：货轮到达 C点时与灯塔 A的距离是 10 km.探索延拓创新命题方向 综合应用问题例 3 如下图所示，甲船以每小时 30 海里的速度向正北方向航行，乙船按固2定方向匀速直线航行，当甲船位于 A1处时，乙船位于甲船的北偏西 105的方向 B1处，此时两船相距 20海里.当甲船航行 20分钟到达 A2处时，乙船航行到甲船的北偏西 120方向的 B2处，此时两船相距 10 海里，问乙船每小时航行多少海里？2分析 甲、乙两船航行时间相同，要求得乙船的速度，只需求得乙船航行的距离B1B2即可.连结 A1B
11、2，转化为在 A1B1B2中已知两边及夹角求对边的问题.解析 如上图，连结 A1B2， A2B2=10 ， A1A2= 30 =10 .60 A1A2B2是等边三角形， B1A1B2=105-60=45.在 A1B2B1中，由余弦定理得B1B22=A1B12+A1B22-2A1B1A1B2cos45=202+(10 )2-22010 =200,则 B1B2=10 .因此乙船的速度的大小为 60=30 .2012即乙船每小时航行 30 海里.说明 仔细观察图形，充分利用图形的几何性质挖掘隐含条件，并通过添加适当的辅助线将问题纳入到三角形中去解决是解此类问题的关键.变式应用 3海中有小岛 A，已知
12、 A岛四周 8海里内有暗礁.今有一货轮由西向东航行，望见 A岛在北偏东 75，航行 20 海里后见此岛在北偏东 30.如货轮不改变航向继续前进，问有2无触礁的危险？ 分析 如图所示，要判断有无触焦危险，只要看 AD的长与 8的大小，若 AD8，则无触礁危险，否则有触礁危险.解析 如图所示，作 AD BC的延长线于 D，由已知 NBA=75, ACD=60,BC=20 .2由正弦定理，得 ，1058sin15iAC AC=10( - ),62 AD=ACsin60=15 -5 8.6无触礁危险.说明 本题中理解方位角是解题的关键.北偏东 75是指以正北方向为始边，顺时针方向转 75.名师辨误做答
13、例 4 某观测站 C在城 A的南偏西 20的方向，由城 A出发的一条公路，走向是南偏东 40，在 C处测得公路上 B处有一人，距 C为 31千米，正沿公路向 A城走去，走了 20千米后到达 D处，此时 CD间的距离为 21千米，问：这人还要走多少千米才能到达 A城？误解本题为解斜三角形的应用问题，要求这人走多少路才可到达 A城，即求 AD的长，在 ACD中，已知 CD=21千米， CAD=60，只需再求出一个量即可.如图，设 ACD= , CDB= ,在 CBD中，由余弦定理，得cos = ，7120322CDBsin = .734在 ACD中， A23160sin180sin AC= .24
14、732 CD2=AC2+AD2-2ACADcos60，即 21224 2+AD2-224 AD，1整理，得 AD2-24AD+135=0,解得 AD=15或 AD=9，答：这个人再走 15千米或 9千米就可到达 A城.辨析 本题在解 ACD时，利用余弦定理求 AD，产生了增解，应用正弦定理来求解.正解 如图，令 ACD=, CDB=,在 CBD中，由余弦定理得cos= ，CDB2271203sin= .734又 sin=sin(-60)sincos60-sin60cos= + ，211435在 ACD中， ,sin60iAD AD= =15(千米).sn1答：这个人再走 15千米就可以到达 A
15、城.课堂巩固训练一、选择题1.如图所示，在河岸 AC测量河的宽度 BC，测量下列四组数据，较适宜的是 ( )A.a和 c B. c和 bC.c和 D. b和 答案 D解析 在 ABC中，能够测量到的边和角分别为 b和 .2.如图所示， D、 C、 B在地平面同一直线上， DC10m，从 D、 C两地测得 A点的仰角分别为 30和 45，则 A点离地面的高 AB等于 ( )A.10m B.5 m3C.5( -1)m D.5（ +1）m3答案 D解析 在 ABC中，由正弦定理得AD= 13015sin在 Rt ABC中， AB=ADsin30=5( +1)(m).33.(2012福州高二质检)如图
16、所示，为了测量隧道口 AB的长度，给定下列四组数据，测量时应当用数据 ( )A.,a,b B. ,a C.a,b, D. ,b答案 C解析 根据实际情况， 、 都是不易测量的数据，而 a,b可以测得，角 也可以测得，根据余弦定理 AB2=a2+b2-2abcos 能直接求出 AB的长，故选 C.4.(2011上海理，6)在相距 2千米的 A、 B两点处测量目标点 C，若 CAB=75, CBA=60，则 A、 C两点之间的距离为 千米.答案 6解析 本题考查正弦定理等解三角形的知识，在三角形中，已知两角和一边可求第三个角以及利用正弦定理求其它两边. CAB=75, CBA=60, C=180-
17、75-60=45,由正弦定理： ,ABsinsi ,45n260siAC AC= .二、填空题5.某地电信局信号转播塔建在一山坡上，如图所示，施工人员欲在山坡上 A、 B两点处测量与地面垂直的塔 CD的高，由 A、 B两地测得塔顶 C的仰角分别为 60和 45，又知 AB的长为 40米，斜坡与水平面成 30角，则该转播塔的高度是 米.答案 340解析 如图所示，由题意，得 ABC=45-3015, DAC=60-30=30. BAC=150, ACB=15, AC=AB=40米， ADC=120, ACD=30,在 ACD中，由正弦定理，得CD= AC 40 .ADCsin120sin334三
18、、解答题6.如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点 A、 B，望对岸的标记物 C，测得 CAB=45, CBA=75,AB=120米，求河的宽度.解析 如图，在 ABC中， CAB=45， CBA=75， ACB=60.由正弦定理，得AC= 60sin7512sinACB20（3 ）.设 C到 AB的距离为 CD，则 CD=ACsin CAB= AC=20（3+ ）.23答：河的宽度为 20（ +3）米.课后强化作业一、选择题1.学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图，测得 AC的长度为 4m, A=30,则其跨度 AB的长为（ ）A.12m B.8mC.3 m D.4 m3 3答案 D解
19、析 在 ABC中，已知可得BC=AC=4, C=180-302120所以由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2ACBCcos120=42+42-244（- )=481 AB=4 (m).32.从塔顶处望地面 A处的俯角为 30,则从 A处望塔顶的仰角是 ( )A.-60 B.30C.60 D.150答案 B3.海上有 A、 B两个小岛相距 10海里，从 A岛望 C岛和 B岛成 60的视角，从 B岛望 C岛和 A岛成 75的视角，则 B、 C间的距离是 ( )A.10 海里 B.10 海里3 6C.5 海里 D.5 海里2答案 D解析 如图，由正弦定理得 ，45sin106iBC BC=5 .6
20、4.某人向正东方向走 x km后，他向右转 150，然后朝新方向走 3 km，结果他离出发点恰好 km，那么 x的值为（ ）3A. B.2C.2 或 D.3答案 C解析 由题意画出三角形如下图.则 ABC=30,由余弦定理得，cos30= ,x=2 或 .x639235.甲船在湖中 B岛的正南 A处， AB=3km，甲船以 8km/h的速度向正北方向航行，同时乙船从 B岛出发，以 12km/h的速度向北偏东 60方向驶去，则行驶 15分钟时，两船的距离是（ ）A. km B. km7 13C. km D. km19 0答案 B解析 由题意知 AM=8 ， MB=AB-AM=3-2=1，所以由余
21、弦定361526015BN理得 MN2=MB2+BN2-2MBBNcos120=1+9-213(- )=13，所以 MN= km.136.在 200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 30、60，则塔高为（ ）A. 米 B. 米340 340C.200 米 D.200 米答案 A解析 如图，设 AB为山高， CD为塔高，则 AB=200， ADM=30, ACB=60, BC=200cot60= ,AM=DMtan30=BCtan30= .320320 CD=AB-AM= .47.一货轮航行到 M处，测得灯塔 S在货轮的北偏东 15，与灯塔 S相距 20海里，随后货轮按北偏西 30
22、的方向航行 30分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（ ）A.20（ + ）海里/时 B.20（ - ）海里/时26 62C.20（ + ）海里/时 D.20（ - ）海里/时6363答案 解析 题意可知 NMS=45， MNS=105，则 MSN=180-105-4530.而 MS=20,在 MNS中，由正弦定理得 ，105sin3iMSN MN= 460sin115si320 3ico6in= 21042=10( - ).6货轮的速度为 10( - ) =20( - )(海里/时).621628.如图所示，在山底 A处测得山顶 B的仰角 CAB=45，沿倾斜角为 30的山坡向
23、山顶走1 000米到达 S点，又测得山顶仰角 DSB=75，则山高 BC为（ ） A.500 m B.200m2C.1000 m D.1000m答案 D解析 SAB=45-30=15, SBA= ABC- SBC=45-（90-75)=30,在 ABS中， AB= =30sin15AB2=1 000 ,2 BC=ABsin45=1 000 =1 000（m）.2二、填空题9.一船以 24 km/h的速度向正北方向航行，在点 A处望见灯塔 S在船的北偏东 30方向上，15 min后到点 B处望见灯塔在船的北偏东 75方向上，则船在点 B时与灯塔 S的距离是km.（精确到 0.1 km）答案 4.
24、2解析 作出示意图如图.由题意知，AB=24 =6，6015 ASB=45,由正弦定理得， = ，45sin630iBS可得 BS =3 4.2（km）.210.从观测点 A看湖泊两岸的建筑物 B、 C的视角为 60,AB=100m,AC=200m,则 B、 C相距 .答案 100 m3解析 在 ABC中，由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2ABACcosA=1002+2002-2100200 =3000021所以 BC100 m.311.甲、乙两楼相距 20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为 60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则甲、乙两楼的高分别是 .答案 20 米， 米340解析 如图，依题
25、意有甲楼的高度 AB=20tan60=20 (米)，又 CM=DB=20米，3 CAM=60，所以 AM=CMcot60= 米，320故乙楼的高度为 CD=20 - = （米）.3412.如图，一辆汽车在一条水平的公路上从 C处向正东行驶，到 A处时，测量公路南侧远处一山顶 D在东南 15的方向上，行驶 15km后到达 B处，测得此山顶在东偏南 30的方向上，仰角为 15，则此山的高度 CD等于 km.答案 5（2- ）3解析 在 ABC中， A=15, C=30-15=15, 由正弦定理，得 BC=.51sinsiCAB又 CD=BCtan DBC=5tan15=5tan(45-30)= 5
26、(2- ).3三、解答题13.（2012厦门高二检测）海面上相距 10海里的 A、 B两船， B船在 A船的北偏东 45方向上，两船同时接到指令同时驶向 C岛， C岛在 B船的南偏东 75方向上，行驶了 80分钟后两船同时到达 C岛，经测算， A船行驶了 10 海里，求 B船的速度.7解析 如图所示，在 ABC中， AB10， AC=10 , ABC=120由余弦定理，得AC2=BA2+BC2-2BABCcos120即 700100 BC2+10BC, BC=20,设 B船速度为 v,则有 v= =15(海里/小时).340即 B船的速度为 15海里/小时.14.在上海世博会期间，小明在中国馆
27、门口 A处看到正前方上空一红灯笼，测得此时的仰角为 45，前进 200米到达 B处，测得此时的仰角为 60，小明身高 1.8米，试计算红灯笼的高度（精确到 1m）.解析 由题意画出示意图（ AA表示小明的身高）. AB=200, CA B=45, CB D=60,在 A B C中， 45sinsinCBA B C= = .15si413206在 Rt CD B中， CD= B Csin60=100(3+ ), CD=1.8+100(3+ )475(米).3答：红灯笼高约 475米.15.山上有一纪念塔，不能到达底部，你有哪些方法测量塔的高度 PO?解析 如图(1)，在地面上引一条基线 AB，使
28、其延长线通过塔底点 O，测出 A、 B分别对塔顶 P的仰角 、 及 AB的长度就可以求出塔高 PO.计算方法：在 PAB中，由正弦定理得PA sin ,sinAB在 Rt PAO中， PO=PAsin PO= .si16.在大海上， “蓝天号”渔轮在 A处进行海上作业， “白云号”货轮在“蓝天号”正南方向距“蓝天号”20 海里的 B处.现在“白云号”以每小时 10海里的速度向正北方向行驶，而“蓝天号”同时以每小时 8海里的速度由 A处向南偏西 60方向行驶，经过多少小时后，“蓝天号”和“白云号”两船相距最近.解析 如右图，设经过 t小时， “蓝天号”渔轮行驶到 C处， “白云号”货轮行驶到 D处，此时“蓝天号”和“白云号”两船的距离为 CD.则根据题意，知在 ABC中，AC=8t， AD=20-10t, CAD=60.由余弦定理，知CD2=AC2+AD2-2ACADcos60（8t） 2+(20-10t) 2-28t（20-10t）cos60244t 2-560t+400=244(t- )2+400-244（ ） 2，61706170当 t= 时， CD2取得最小值，即“蓝天号”和“白云号”两船相距最近.6170
