1、第 4 讲 椭 圆A 级 基础演练 (时间：30 分钟 满分：55 分)一、选择题(每小题 5 分，共 20 分)1椭圆 y21 的两个焦点为 F1，F 2，过 F1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交，x24一个交点为 P，则|PF 2| ( ) A. B. C. D472 32 3解析 a 24，b 21，所以 a2，b1，c ，不妨设 F1为左焦点，P 在 x3轴上方，则 F1( ，0) ，设 P( ，m )(m0)，则 m 21，解得3 3 324m ，所以|PF 1| ，根据椭圆定义：|PF 1| PF2|2a，所以12 12|PF2|2a|PF 1|22 .12 72答案 A2(20
2、12江西 )椭圆 1( ab0)的左、右顶点分别是 A，B，左、右焦点分x2a2 y2b2别是 F1，F 2.若| AF1|，| F1F2|，| F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为 ( )A. B. C. D. 214 55 12 5解析 因为 A，B 为左、右顶点，F 1，F 2为左、右焦点，所以|AF1|ac，|F 1F2|2c，|F 1B|ac .又因为|AF 1|， |F1F2|，|F 1B|成等比数列，所以(a c)(a c)4c 2，即 a25c 2.所以离心率 e ，故选 B.ca 55答案 B3(2013榆林模拟 )已知椭圆 x2my 21 的离心率 e ，则实数 m 的取
3、值(12，1)范围是 ( )A. B.(0，34) (43， )C. D. (0，34) (43， ) (34，1)解析 椭圆标准方程为 x2 1.当 m1 时，e 21 ，解得1mm ；当 0b0)的中心为 O，左焦点为 F，A 是椭x2a2 y2b2圆上的一点. 0 且 2，则该椭圆的离心率是 ( OA AF OA OF 12OF ) A. B.C3 D35 5解析 因为 0，且 ( )，所以 2，所以|OA AF OA AF OA OF OA OA OF OA | | | c，所以| | c，且 AOF45 ，设椭圆的右焦点OA OF AF 是 F，在 AOF中，由余弦定理可得 AF c
4、，由椭圆定义可得AFAF c c2a，即(1 )c2 a，故离心率5 2e .ca答案 A二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)5(2013青岛模拟 )设椭圆 1( m0，n0) 的右焦点与抛物线 y28x 的焦x2m2 y2n2点相同，离心率为 ，则此椭圆的方程为_12解析 抛物线 y28x 的焦点为 (2,0)， m2n 24，e ，m4，代12 2m入得，n 212，椭圆方程为 1.x216 y212答案 1x216 y2126(2013佛山模拟 )在等差数列a n中，a 2a 311，a 2a 3a 421，则椭圆C： 1 的离心率为_x2a6 y2a5解析 由题意，得 a410，
5、设公差为 d，则 a3a 2(10d)(102d)203d11，d3， a5a 4d13，a 6a 42d16a 5，e .答案 三、解答题(共 25 分)7(12 分) 已知 F1，F 2 分别是椭圆 1(ab0)的左、右焦点，A 是椭圆上x2a2 y2b2位于第一象限内的一点， 0，若椭圆的离心率等于 .AF2 F1F2 (1)求直线 AO 的方程(O 为坐标原点)；(2)直线 AO 交椭圆于点 B，若三角形 ABF2 的面积等于 4 ，求椭圆的方程2解 (1)由 0，知 AF2F 1F2，AF2 F1F2 椭圆的离心率等于 ，c a，可得 b2 a2.12设椭圆方程为 x22y 2a 2
6、.设 A(x0，y 0)，由 0，知 x0c，AF2 F1F2 A(c，y 0)，代入椭圆方程可得 y0 a，12A ，故直线 AO 的斜率 k ，直线 AO 的方程为 y x.(2)连接 AF1，BF 1，AF 2，BF 2，由椭圆的对称性可知，SABF 2SABF 1SAF 1F2， 2c a4 .12 12 2又由 c a，解得 a2 16，b 21688.故椭圆方程为 1.x216 y288(13 分) 设 F1，F 2 分别为椭圆 C： 1( ab0)的左、右焦点，过 F2 的直x2a2 y2b2线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，直线 l 的倾斜角为 60，F 1 到直线 l
7、 的距离为 2 .3(1)求椭圆 C 的焦距；(2)如果 2 ，求椭圆 C 的方程AF2 F2B 解 (1)设椭圆 C 的焦距为 2c，由已知可得 F1 到直线 l 的距离 c2 ，故3 3c2.所以椭圆 C 的焦距为 4.(2)设 A(x1，y 1)，B (x2，y 2)，由 2 及 l 的倾斜角为 60，知AF2 F2B y10，直线 l 的方程为 y (x2)3由 消去 x，整理得(3 a2b 2)y24 b2y3b 40.3解得 y1 ，y 2 .因为 2 ，所以y 12y 2，AF2 F2B 即 2 ，解得 a3.而 a2b 24，所以 b25.故椭圆 C 的方程为 1.x29 y2
8、5B 级 能力突破(时间：30 分钟 满分：45 分)一、选择题(每小题 5 分，共 10 分)1. (2013厦门质检)已知 F 是椭圆 C： 1(ab0)x2a2 y2b2的右焦点，点 P 在椭圆 C 上，线段 PF 与圆2y 2 相切于点 Q，且 2Q ，则椭圆 Cb29 PQ F 的离心率等于 ( ) A. B. C. D.23 12解析 记椭圆的左焦点为 F，圆 2y 2 的b29圆心为 E，连接 PF，QE.|EF|OF |OE |c ， 2Q ，c3 2c3 PQ F ， PFQE ，|EF|F F| 13 |QF|PF| ，且 PFPF.|QE|PF | 13又 |QE| (圆
9、的半径长)，| PF| b.b3据椭圆的定义知：|PF| |PF|2a， |PF|2ab.PFPF， |PF| 2|PF| 2|FF| 2，b2(2ab) 2(2c )2，2(a 2c 2)b 22ab，3b2 2ab， b ，c a， ，2a3 a2 b2 ca椭圆的离心率为 .答案 A2(2012山东 )已知椭圆 C： 1(ab0) 的离心率为 .双曲线x2a2 y2b2x2y 21 的渐近线与椭圆 C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16，则椭圆 C 的方程为 ( )A. 1 B. 1x28 y22 x212 y26C. 1 D. 1x216 y24 x220 y25解析
10、 因为椭圆的离心率为 ，所以e ， c2 a2，c 2 a2a 2b 2，所以 b2 a2，即 a24b 2.双曲线的ca 34 34 14渐近线方程为 y x，代入椭圆方程得 1，即 1，所以x2a2 x2b2 x24b2 x2b2 5x24b2x2 b2，x b，y 2 b2，y b，则在第一象限双曲线的渐近线与45 45椭圆 C 的交点坐标为 ，所以四边形的面积为4 b b b216，所以 b25，所以椭圆方程为 1.165 x220 y25答案 D二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)3(2012泰安一模 )F1，F 2 为双曲线 C： 1(a0，b0)的焦点，A ，B 分x2a2
11、 y2b2别为双曲线的左、右顶点，以 F1F2 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为 M，且满足MAB 30 ，则该双曲线的离心率为_解析 如图，以 F1F2为直径的圆为 x2y 2c 2，双曲线的渐近线为 y x.ba由 得 M(a，b)，MAB 为直角三角形在 RtMAB 中，tan 30 .|MB|AB| b2a .e .ba答案 4.如图，OFB ，ABF 的面积为 2 ，则以 OA 为长6 3半轴，OB 为短半轴，F 为一个焦点的椭圆方程为_解析 设标准方程为 1(ab0) ，x2a2 y2b2由题可知，|OF|c ，|OB|b， |BF|a，OFB ， ，a2b.6 bcS
12、ABF |AF|BO| (a c)b12 12 (2b b)b2 ，12 3 3b22 ， b ， a2 ， 椭圆的方程为 1.2 2x28 y22答案 1x28 y22三、解答题(共 25 分)5(12 分)(2012 南京二模 ) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： 1( ab0)x2a2 y2b2的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆 C的短半轴长为半径的圆与直线 xy 20 相切(1)求椭圆 C 的方程；(2)已知点 P(0,1)，Q(0,2)设 M，N 是椭圆 C 上关于 y 轴对称的不同两点，直线 PM 与 QN 相交于点 T.求证：点 T 在椭圆 C 上(1)解 由题意知，
13、 b .2因为离心率 e ，所以 .ca ba 12所以 a2 .2所以椭圆 C 的方程为 1.x28 y22(2)证明 由题意可设 M，N 的坐标分别为(x 0，y 0)，(x 0，y 0)，则直线 PM 的方程为 y x1， y0 1x0直线 QN 的方程为 y x2. y0 2 x0法一 联立解得 x ，y ，x02y0 3 3y0 42y0 3即 T .由 1，可得 x 84y .20 20因为 2 218 12 1，82y0 3282y0 32所以点 T 的坐标满足椭圆 C 的方程，即点 T 在椭圆 C 上法二 设 T(x，y )，联立解得 x0 ，y 0 .x2y 3 3y 42y
14、 3因为 1，所以 2 21.18 12整理得 (2y3) 2，x28 3y 422所以 12y84y 212y9，即 1.x28 9y22 x28 y22所以点 T 坐标满足椭圆 C 的方程，即点 T 在椭圆 C 上6(13 分)(2012 重庆) 如图，设椭圆的中心为原点 O，长轴在 x 轴上，上顶点为 A，左、右焦点分别为 F1，F 2，线段 OF1，OF 2 的中点分别为 B1，B 2，且AB 1B2 是面积为 4的直角三角形(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过 B1 作直线 l 交椭圆于 P，Q 两点，使 PB2QB 2，求直线 l 的方程解 (1) 如图，设所求椭圆的标准方程
15、为 1( ab0) ，右焦点为 F2(c,0)x2a2 y2b2因AB 1B2 是直角三角形，又|AB 1|AB 2|，故B 1AB2 为直角，因此|OA |OB 2|，得 b .c2结合 c2a 2 b2 得 4b2a 2b 2，故 a25b 2，c 24b 2，所以离心率 e .ca 255在 Rt AB1B2 中，OA B 1B2，故 SAB 1B2 |B1B2|OA| OB2|OA| bb 2.由题设条件 SAB 1B24 得12 c2b24，从而 a25b 220.因此所求椭圆的标准方程为： 1.x220 y24(2)由(1)知 B1(2,0)，B 2(2,0)由题意知直线 l 的倾
16、斜角不为 0，故可设直线 l的方程为 x my2.代入椭圆方程得(m 25)y 24my160.设 P(x1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则 y1，y 2 是上面方程的两根，因此 y1y 2 ，y 1y2 ，4mm2 5 16m2 5又 (x 1 2，y 1)， (x 22，y 2)，B2P B2Q 所以 (x 12)( x22) y 1y2B2P B2Q (my 14)(my 24)y 1y2(m 21)y 1y24m(y 1y 2)16 16 ，16m2 1m2 5 16m2m2 5 16m2 64m2 5由 PB2QB 2，得 0，B2P B2Q 即 16m2640，解得 m2.所以满足条件的直线有两条，其方程分别为 x2y20 和 x2y20.特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.
