1、第 1 讲 平面向量的概念及其线性运算A 级 基础演练(时间：30 分钟 满分：55 分)一、选择题(每小题 5 分，共 20 分)1(2013合肥检测 )已知 O 是ABC 所在平面内一点，D 为 BC 边的中点，且 2 0，那么 ( OA OB OC )A. B. 2AO OD AO OD C. 3 D2 AO OD AO OD 解析 由 2 0 可知，O 是底边 BC 上的中线 AD 的中点，故OA OB OC .AO OD 答案 A2已知 a， b， c， d，且四边形 ABCD 为平行四边形，则 OA OB OC OD ( )Aabc d0 Babcd0Ca bcd0 Dabcd0解
2、析 依题意，得 ，故 0，即 0，即AB DC AB CD OB OA OD OC 有 0，则 abcd0.选 A.OA OB OC OD 答案 A3(2013长安一中质量检测)已知平面上不共线的四点 O，A ，B，C.若 2OA 3 ，则 的值为 ( OC OB |BC |AB |)A. B. C. D.12 13 14 16解析 由 2 3 ，得 2 2 ，即 2 ，所以OA OC OB OA OB OB OC BA CB .故选 A.|BC |AB | 12答案 A4(2011山东 )设 A1，A 2， A3，A 4 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若 (R)， (R)，且 2，则称
3、A3，A 4 调和A1A3 A1A2 A1A4 A1A2 1 1分割 A1，A 2.已知平面上的点 C，D 调和分割点 A，B，则下列说法正确的是( )AC 可能是线段 AB 的中点BD 可能是线段 AB 的中点CC、D 可能同时在线段 AB 上DC、D 不可能同时在线段 AB 的延长线上解析 若 A 成立，则 ，而 0，不可能；同理 B 也不可能；若 C 成立，12 1则 01，且 01， 2，与已知矛盾；若 C，D 同时在线段 AB1 1的延长线上时，1，且 1， 2，与已知矛盾，故 C，D 不可能同1 1时在线段 AB 的延长线上，故 D 正确答案 D二、填空题(每小题 5 分，共 10
4、 分)5(2013泰安模拟 )设 a，b 是两个不共线向量，2apb， ab， a2b，若 A，B，D 三点共线，则实数 p 的AB BC CD 值为_解析 2ab，又 A，B，D 三点共线，BD BC CD 存在实数 ，使 .AB BD 即Error!p1.答案 16.如图，在矩形 ABCD 中，| |1，| |2，设AB AD a， b， c ，则 |abc|_.AB BC BD 解析 根据向量的三角形法则有|abc| | | |2| |4.AB BC BD AB BD AD AD AD AD 答案 4三、解答题(共 25 分)7(12 分) 如图，在平行四边形 OADB 中，设a ， b
5、， ， .试用 a，b 表示OA OB BM 13BC CN 13CD ， 及 .OM ON MN 解 由题意知，在平行四边形 OADB 中， ( )BM 13BC 16BA 16OA OB (a b) a b，16 16 16则 b a b a b.OM OB BM 16 16 16 56 ( ) (ab) a b，ON 23OD 23OA OB 23 23 23 (ab) a b a b.MN ON OM 23 16 56 12 168(13 分)(1)设两个非零向量 e1，e 2 不共线，如果2e 13e 2， 6e 123e 2， 4e 18e 2，求证：A ，B，D 三点共AB BC
6、 CD 线(2)设 e1，e 2 是两个不共线的向量，已知2e 1ke 2， e 13e 2， 2e 1e 2，若 A，B，D 三点共线，求 k 的AB CB CD 值(1)证明 因为 6e 1 23e2， 4e 18e 2，BC CD 所以 10e 115e 2.BD BC CD 又因为 2e 13e 2，得 5 ，即 ，AB BD AB BD AB 又因为 ， 有公共点 B，所以 A，B，D 三点共线AB BD (2)解 D e 13e 22e 1e 24e 2e 1，B CB CD 2e 1ke 2，AB 若 A，B ，D 共线，则 D ，AB B 设 D ，所以Error!k8.B A
7、B B 级 能力突破( 时间：30 分钟 满分：45 分)一、选择题(每小题 5 分，共 10 分)1(2013济南一模 )已知 A，B，C 是平面上不共线的三点， O 是ABC 的重心，动点 P 满足 ，则点 P 一定为三角形 ABC 的 ( OP 13(12OA 12OB 2OC )AAB 边中线的中点BAB 边中线的三等分点(非重心)C重心DAB 边的中点解析 设 AB 的中点为 M，则 ， ( 2 )12OA 12OB OM OP 13OM OC ，即 3 2 ，也就是 2 ，P，M，C 三点共13OM 23OC OP OM OC MP PC 线，且 P 是 CM 上靠近 C 点的一个
8、三等分点答案 B2若点 M 是ABC 所在平面内的一点，且满足 5 3 ，则ABM 与AM AB AC ABC 的面积比为 ( )A. B. C. D.15 25 35 45解析 设 AB 的中点为 D，由 5 3 ，得 3AM AB AC 3 2 2 ，即 3 2 .如图所示，AM AC AD AM CM MD 故 C， M，D 三点共线，且 ，也就是MD 35CD ABM 与ABC 对于边 AB 的两高之比为 35，则ABM 与ABC 的面积比为 ，35选 C.答案 C二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)3若点 O 是ABC 所在平面内的一点，且满足| | 2 |，OB OC OB
9、OC OA 则ABC 的形状为_解析 2 ，OB OC OA OB OA OC OA AB AC ，| | |.OB OC CB AB AC AB AC AB AC 故 A，B ，C 为矩形的三个顶点，ABC 为直角三角形答案 直角三角形4.如图所示，在ABC 中，点 O 是 BC 的中点过点 O 的直线分别交直线 AB，AC 于不同的两点 M，N，若m ， n ，则 mn 的值为_AB AM AC AN 解析 O 是 BC 的中点， ( )AO 12AB AC 又 m ， n ， .AB AM AC AN AO m2AM n2AN M，O，N 三点共线， 1，则 mn2.m2 n2答案 2三
10、、解答题(共 25 分)5(12 分) 如图所示，在 ABC 中，在 AC 上取一点 N，使得 AN AC，在 AB 上取一点 M，使得13AM AB，在 BN 的延长线上取点 P，使得 NP BN，在 CM 的延长线上13 12取点 Q，使得 时， ，试确定 的值MQ CM AP QA 解 ( ) ( ) ， AP NP NA 12BN CN 12BN NC 12BC QA MA MQ 12 ，BM MC 又 ， ，AP QA 12BM MC 12BC 即 ， .MC 12MC 126(13 分) 已知点 G 是ABO 的重心，M 是 AB 边的中点(1)求 ；GA GB GO (2)若 P
11、Q 过ABO 的重心 G，且 a， b， m a， nb，求证：OA OB OP OQ 3.1m 1n(1)解 2 ，又 2 ，GA GB GM GM GO 0.GA GB GO GO GO (2)证明 显然 (ab)因为 G 是ABO 的重心，所以OM 12 (ab)由 P，G，Q 三点共线，得 ，所以，有且只有OG 23OM 13 PG GQ 一个实数 ，使 .PG GQ 而 (ab) ma a b，PG OG OP 13 (13 m) 13 nb (ab) a b，GQ OQ OG 13 13 (n 13)所以 a b .(13 m) 13 13a (n 13)b又因为 a，b 不共线，所以Error!消去 ，整理得 3mnm n，故 3.1m 1n特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.
