1、宁夏省期末模拟试题分类汇编第 2 部分:函数(包含导数)一.选择题1 （宁夏 09）函数 21xxy的定义域为( )A 1|x或 B 1| C1 D-1,1答案:（D）2 （宁夏 09），则不等0)4(,)()(,0,)( fxffxxf 且时当上 的 偶 函 数是 定 义 在 R式 的解集为 （ ）0A B),4(,),0(4C D 答案:（D）3 （宁夏 09）若函数 )10)(12(log3aaxya且 的图象沿向量 )2,1(a平移后所得图象恒过定点 A，且点 A 在直线 nym上，则 nm2的最小值为( )A5+2 2 B9 C8 D16答案:（B ）4 （宁夏 09）若函数 )0(
2、cossin)(axxf 的最小正周期为 1，则它的图象的一条对称轴方程为( )A 8x B 8 C 81 D 8x答案:（ D ）5 （宁夏 09）已知函数 )(Rxfy满足 )1()3(xff且，时 |)(,1xfx则 与 y5log的图象的交点个数是( )A3 B4 C5 D6答案:（B ）6 （宁夏 09）对于集合 NM、 定义 )()(,| MNMNx且 ，xyO BACD 设 ,2|,3|2 RxyNRxyM ，则 NM( )A(- 49，0) B- 49，0) C(-,- 49)0,+) D(-,- 49(0,+)答案:（C ）7 （宁夏 09）如图，在平面直角坐标系中， 是一个
3、与 x 轴的正半轴、 y 轴的正半轴分别相切于点 C、 D的定圆所围成区域（含边界） ， A、 B、 C、 D 是该圆的四等分点，若点 P(x,y)、 P0(x0,y0)满足 x x0 且 y y0，则称 P 优于 P0，如果 中的点 Q 满足：不存在 中的其它点优于 Q，那么所有这样的点 Q 组成的集合是劣弧( )A弧 AB B弧 BC C弧 CD D弧 DA答案:（ D ）8 （宁夏 09）已知 Rba,，若关于 x的方程 02bax的实根 1x和 2满足-1 1x1,1 22，则在平面直角坐标系 o中，点( ,)所表示的区域内的点 P 到曲线 1)()3(2a上的点 Q 的距离|PQ|的
4、最小值为( )A3 -1 B2 -1 C3 2+1 D2 +1答案:（A ）9 （宁夏 09）关于函数 (x0)有下列命题：（1）函数图象关于 Y 轴对|lg)(2xf称；（2）当 x0 时，函数是增函数，当 x0，且 a1）的图像过一个定点，则这个定点坐1()4xfa标是（ ）A （5，1） B （1，5） C （1，4） D （4，1）答案:（B ）12 （宁夏 09）给出下列三个图像和三件事，图像与事件吻合最好的是（ ）（1）我离开家不久，发现自己的作业本忘在家里了，于是返回家里，找到了作业本再上学（2）我骑着自行车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间（3）我出发后，
5、心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速A(1)(a)，(2)(c)，(3)(b) B(1)(b)，(2)(c)，(3)(a) C(1)(c)，(2)(a)，(3)(b) D(1)(c)，(2)(b)，(3)(a)答案:（ C ）13 （宁夏 09）已知 *,2)(,02),()2(,)( Nnxfxffxf 若时当且为 偶 函 数 ，207),(anfa则（ ）A2007 B 1 C2 D2答案:（ B ）14 （宁夏 09）函数 3cossin2xxy的图象的一个对称中心是（）A. )23,( B. )3,65( C. )2,( D. )3,( 答案:（B ）15 （宁夏 09）设函数
6、f( x)的定义域为 R，若存在与 x无关的正常数 M，使|)(|xMf对一切实数 均成立，则称 f( )为“有界泛函” ，给出以下函数： f( ) = 2， f( )=2 x， 12x xfsin)(其中是“有界泛函”的个数为（ ）A0 B1 C2 D3答案:（C ）16 （宁夏 09）函数 在0，3上的最大值，最小值分别是（ ） 3215yxxA5，15 B5，4 C4，15 D5，16答案:（ A ）17 （宁夏 09）当 01 C10）上是单调函数，且 f（0） f（ a）0)（1）求 f(x)的最小值 h(t)；（2）若 h(t)0 时， ，且对于任意的)(xfy0f 1)(xf，有
7、 。 （1）证明： ；（2）证明：对任意的ba,(baf，恒有 。x)019、解：（1）在 中，令 a=b=0，得 ，)()(bfaf2(0)f因为 ，所以 。0)f1f（2）由已知，当 时， ；x()0x由（1） ，当 时， ；f当 时， ，由已知 ，在 中，0x()1x)()(bfaf令 ，则 ，所以 ，,ab0)ff 01(0,)()fxffx从而当 时， 。x(fx综上所述，对任意的 ，恒有 。R()0fx17（10 分）.求下列函数的定义域：（1） ; （2） .)42tan(xy 2341logxy17(1) 3 分k82x故定义域为 5 分Zkx,(2) 0 且 0 3 分1x2
8、4-2x-1 或 1x2故定义域为 5 分21xx或20（12 分）. （1）已知奇函数 在定义域 内递减，求满足)(xf2,0 的实数 m 的取值范围;)1()(2fmf(2)设 0x2,求函数 的最大值和最小值.5234xxy20、(12 分)(1) 为奇函数，且 0(xf)1()(2ff 2 分)1m2m则 得-1 1 5 分12m故 6 分1的 取 值 范 围 是(2) 1 分4)23(523)( xxxy2 分014 分1log,2min2yxx时 ，即当6 分94ax时 ，即当22（12 分）.已知 函数 .xf)21()(1) 求函数的定义域;(2) 判断函数 的奇偶性;)(xf
9、(3) 求证: 0.22、(12 分)(1) 2 分Rxx ,0,012定 义 域 为(2)设 R且xxxf xxx )12()1(2)(21()21()= )()()(2fxx 为偶函数 7 分f(3)当 x0 时， 1， -1 0x212xx又 x0,则 0xfx)21()由 为偶函数知，当 x0 时， 0(f (f综上可知当 0 12 分)Rx时 ，且 答案:X2. 21在边长为 60cm 的正方形铁皮的四角上切去相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？21、解：设方底箱子箱底的边长为 xcm，则高为 cm，箱子的
10、容积为302x，由 ，得 。2321()30)0xvxx30x60x。26(4)当 时， ；04x)0vx当 时， ；(当 时， 。6x)vx因此当 时， 。40323max1(40160()2cm所以箱底的边长是 40cm 时，箱子的容积最大,最大容积是 16000cm3。22已知函数 （a、c、dR）满足 且dxf234)( 0)1(,)(ff在 R 上恒成立。 （1）求 a、c、d 的值；（2）若 ，0xf 4242bxxh解不等式 ；0)(xhf（3）是否存在实数 m，使函数 在区间m，m+2上有最小值5？若mxfg)(存在，请求出实数 m 的值，若不存在，请说明理由。22、解：（1）
11、 ， ， ，即21()fxaxc(0),(1)0ff102dac，02dca从而 。 在 R 上恒成立， ，21()fxaxa()0fx014()02aa即 ，解得 。20()41,4cd（2）由（1）知， ， ，2()fxx231()44bhxx不等式 化为 ，0)(xhf 22104即 ，21(2bx()0xb（a）若 ，则不等式 解为 ；)(xhf12xb（b）若 ，则不等式 解为空集；120)(f（c）若 ，则不等式 解为 。)(xhf 12bx（3） 。21()44gxfmx该抛物线开口向上，对称轴为 。若 ，即 时， 在m，m+2上为增函数。12121()()gxmx当 时， 。x
12、m2in()()44gx由已知得 ，解得 。21()53m若 ，即 时，当 时， 。1m112x2min()gx由已知得 ，无解。215m若 ，即 时， 在m，m+2上为减函数。121211()()44gxmx当 时， 。xm2min()()()2314m由已知得 ，解得 。2135421综上所述，存在实数 或 ，使函数 在区间m，m+2上3mmxfxg)(有最小值5。17、 （10 分）设 是实数，定义在 上的函数 。aR2()1xfa（1）若 为奇函数，求 的值；（2）证明：对于任意实数 ， 是增函数。()fx )(f17、 （10 分）解：（1） 为奇函数 2 分()f )()(xff又
13、 ， 12xxfa21xfa ，即 ， .11xx()201xa当 时，此时 为奇函数 4 分a()xf（另解：利用 定义域为 且为奇函数，则有 ，易得 ）xR0)(f1a(2)设 ,则 6 分21x 212121 2)()( (xxxaaff 为增函数,且 , , , 8 分xy0x21021)0x ,即 .21()ff21()ffx故对任何实数 , 在 上均为增函数. 10 分a)xR20 （12 分）某投资公司计划投资 、 两种AB金融产品，根据市场调查与预测， 产品的利润与投资量成正比例，其关系如图 1，产品的利润与投资量的算术平方根成正B比例，其关系如图 2， （注：利润与投资量单位
14、：万元） 。（1）分别将 、 两产品的利润表示为投A资量的函数关系式；（2）该公司已有 10 万元资金，并全部投入、 两种产品中，问：怎样分配这B10 万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？20 （12 分）解：（）设投资为 万元， 产品的利润为 万元， 产品的利润为 万元由xA)(xfB)(xg题意设 ， kf1)(kg2)(由图可知 ， 2 分515又 ， 4 分6.)4(g24k从而 ， 5 分)0(1xf )0(xg（）设 产品投入 万元，则 产品投入 万元，设企业利润为 万元AB1y， 7 分xxgfy54)1() )(令 ，则 t0ty02542t )10(t当
15、时， ，此时 11 分2t 8.514max 610x答：当 产品投入 6 万元，则 产品投入 4 万元时，该企业获得最大利润，利润为 2.8AB万元21、 （12 分）已知 ， 是二次函数，当 时，2()3gx()fx1,2x的最小值为 1，且 为奇函数，求函数 的表达式。()fxg()f6.1942yox图 22.05.13yox图 121、 （12 分）解：设 则 2 分,02acbxf 312cbxaxgf又 为奇函数， 4 分gx3,1对称轴 ,32f 2bx当 时， 在 上为减函数b()fx 的最小值为 又 此时无解。 6 分()fx142b34b当 时，1b22minfxf 2
16、，此时 8 分24,32xxf当 时， 在 上为增函数 的最小值为1b()fx,1()f14bf，又满足 10 分3,32xf综上所述， 或 12 分,2xf 32f22、 （12 分）设函数 。2()1(0)txttR，（）求 的最小值 ；fh（）若 对 恒成立，求实数 的取值范围。2htm(0)t， m22、 （12 分）解：（） ，23()1(0)fxttxtR，当 时， 取最小值 ，f 3)1ft即 4 分3()1htt（）令 ，3()2)gtmt由 得 ， （不合题意，舍去） 6 分()30t1当 变化时 ， 的变化情况如下表：()t()， 1(2)，()gt0()gt递增 极大值
17、1m递减 在 内有最大值 10 分()gt02， 1在 内恒成立等价于 在 内恒成立，hm()， ()0gt(2)，即等价于 ，1所以 的取值范围为 12 分121 （本小题满分 12 分）已知 是不全为 0 的实数，函数 ，集合cba, cxbf2)(,0|,)()(|2 RfRxcfxffx （）若 ，求 c 的取值范围；,（）若 ，求 c 的取值范围.0)1(fa21 （本小题满分 12 分）解：由 知，方程,0)(|,0)()(|2 RxfxRxbffxf 和方程 都有实根，且实数根相同.()0fca（）因为 ，所以 ,即)(xf 0)()(22cbxcx若 ， 时， 的根为 0，bc
18、2cb而 的根也是 0，)()(2xbxf方程 和 都只有一个实根 0,适合题意.0)(cxfaff若 ， 时， 的根为 0，而 的根bc 0)()(2cxbfafxf也是 0，当 时， 的根为 0 和 ，而 的根不可能为 0 和 ，fxcb0fcb所以 必无实数根，所以bfc24,所以 ，从而 ,所以当 时， .240,4c4c（） ，所以 ，若 ,则 的根为 0 和 1，1()af0bfx所以 必无实数根,2cxbf即 =0 必无实数根，22cxcxc（a）当 时， = = ，即函数 在0t2214cx2htct， 恒成立，又 ，4ctht222 4htttc所以 ，即 所以 ；min04
19、ct20,164c163（b）当 时， = = ，即函数 在t2x24cx2htct， 恒成立，又 ，4ct0ht222htttc所以 ，min4ct，而 ，所以 ，所以 不可能小于 0，01632c01632cc若 则 这时 的根为一切实数，而 ，,bfx 0)()(2cxbfafxf的根也为一切实数,符合要求.所以 .03c21 （本小题满分 12 分）已知 是不全为 0 的实数，函数 ，方程cba, cxbf2)(恰有两个不同的实数根.)()(2cxffxf（）若 a=0，b0，求 c 的取值范围；（）若 a=1, ，求正实数 c 的取值范围.0)1(f21 （本小题满分 12 分）解（
20、）因为 ，所以 ,即a0)(xbf 0)()(22cbxcx若 ，0b 时， 的根为 0，而 的根也是 0，方程只有一个c2cx)(2根 0,不合题意.当 时， 的根为 0 和 ，而 的根不可能为 0 和 ，0cfxcb0fxccb所以 必无实数根，所以bf24,所以 ，所以当 时， .24,4ccc（） ，所以 ，即 的根为 0 和 1，1()0af0bfx所以 =0 必无实数根，22cxcxc当 时，令 = = ，即函数 在0t2214c2htct， 恒成立，又 ，所以4ctht222 4httt，即 所以 ；min0t20,164c163c19 （本小题满分 12 分）已知函数 baxx
21、f2)(（1）若 a,b 都是从 0,1，2,3,4 五个数中任取的一个数，求上述函数有零点的概率（2）若 a,b 都是从区间0,4任取的一个数，求 f（1）0 成立时的概率19 （1）19.解：(1)a,b 都从 0,1,2,3,4 五个数中任取的一个数的基本事件总数为N=55=25 个函数有零点的条件为 因为事件“ ”包含baba4,0422即 ba42所以事件“),(3),(1,)(3)1(,),(02),(,”的概率为 ；6 分ba425p（2）a,b 都是从区间 任取的一个数， 所以事件“4, 1,0)( baf”的概率为 12 分0)1(f 3291p20 （本小题满分 12 分）设函数 .xef21)(（1）求 f（ x） 的单调区间；（2）若当 x2，2时，不等式 f（ x） m 恒成立，求实数 m 的取值范围.20解：（1） 2 分)2(21)( xexexf设 的增区间，)(,0(),(,0,)(2 xfex 为和或 的减区间.6 分)(,2(2,)( xfxx为（2）令： 0)(1)(2 eef xxx=0 和 x=2 为极值点，8 分112,)(,)0(,)(,)(2 exfffefx 分m012 分
