1、第七章 5 三角形内角和定理讲解与例题1三角形内角和定理三角形内角和定理：三角形的内角和等于 180.符号表示： ABC 中， A B C180.变式： A180 B C.谈重点 三角形内角和解读(1)三角形内角和等于 180是三角形的一个重要性质与三角形的具体形状或种类没有关系，即所有三角形的内角和都等于 180；(2)三角形内角和等于 180是三角形本身固有的一个隐含条件，在有关角的计算或日常生活中应用广泛；(3)利用定理在三角形中已知两角可求第三角，或已知各角的关系求各角；(4)三角形内角和的一个重要结论：直角三角形的两个锐角互余【例 11】 在一个三角形中，下列说法错误的是( )A可以
2、有一个锐角和一个钝角B可以有两个锐角C可以有一个锐角和一个直角D可以有两个钝角解析：如果一个三角形中有两个钝角，那么该三角形的内角和将大于 180，故 D 错误答案：D点技巧 三角形中，角知多少任何三角形中，至少有两个锐角，最多有三个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角【例 12】 已知一个三角形三个内角度数的比是 156，则其最大内角的度数为( )A60 B75 C90 D120解析：已知三角形三个内角的度数之比，可以设一份为 k，则三个内角的度数分别为 k，5 k，6 k.根据三角形的内角和等于 180，列方程 k5 k6 k180，解得k15.所以最大内角为 6k90，应选 C.答案：C
3、2三角形的外角(1)定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角如图所示， ACD 和 BCE 是 ABC 的两个外角，而 DCE 不是三角形的外角(2)三角形外角的特征三角形的外角特征：顶点是三角形的一个顶点；外角的一边是三角形的边；外角的另一条边是三角形某条边的延长线(3)三角形外角的实质是一个内角的邻补角，两个角的和等于 180.如上图中， ACB ACD180.【例 2】 如图所示，1 为三角形的外角的是( )解析：由三角形外角的定义知，只有 D 中的1 才是三角形的外角，故选 D.答案：D点评：判断一个角是否是三角形的外角，关键是看它是否满足三角形外角的特征3三角形
4、内角和定理的证法在解决几何问题时，当仅用已有条件解决问题比较困难时，常在图形中添加线，构造新的图形，形成新的关系，搭建已知与未知的桥梁，把较困难的问题转化为熟悉的、易解决的问题这些在原来的图形上添加的线叫辅助线辅助线通常画成虚线证明三角形内角和定理的基本思路：想办法把分散的三个角“拼凑”成一个“整体” ，即借助于辅助线，结合所学过的知识，达到证明的目的在证明三角形的内角和定理时，常用的辅助线主要有以下几种：(1)构造平角：利用平行线的性质进行转化(作平行线)，让三个内角组成一个平角如图和图.(2)构造同旁内角：如图，过 C 点作 CM AB，利用 ABC 与 BCM 是同旁内角可证4三角形内角
5、和定理的运用(1)利用定理求角的度数或证明生活中，三角形、四边形是常见的图形，在解决与角的度数有关的问题时，一般会用到三角形的内角和定理三角形的内角和定理的运用，主要是利用三角形内角和定理进行计算或证明常见于求三角形中相关角的度数及证明角的相等关系计算或证明时，往往与其他的知识相结合，如特殊三角形、余角、高线、角平分线等性质(2)利用定理判断三角形的形状根据一个三角形的内角情况判断三角形的形状，关键是利用三角形内角和定理求出各个角，再根据各类三角形的性质判断若有两个角相等，则可判定为等腰三角形；若有三个角相等，则可判定为等边三角形；若有特殊角 90和两个 45，则为等腰直角三角形若一个三角形根
6、据角来分类，可先求出最大的角若最大的内角是钝角，则三角形为钝角三角形；若最大的角为直角，则三角形为直角三角形；若最大的角为锐角，则三角形是锐角三角形【例 3】 如图所示的四边形是平行四边形，如何利用 ABCD 证明三角形内角和定理？分析：三角形内角和定理的证明思路是利用平行线的性质进行转化，让三个内角组成一个平角，或利用同旁内角互补来得以证明证明：连接 BD.四边形 ABCD 是平行四边形(已知)， AD BC(平行四边形的定义)， A ABC180(两直线平行，同旁内角互补)13(两直线平行，内错角相等) A12 A23180(等量代换)同理可证34 C180，即三角形的内角和为 180.点
7、技巧 辅助线的作用辅助线起着桥梁的作用，在画辅助线时，注意与原来的线的区别，要画成虚线【例 41】 若一个三角形三个内角度数的比为 234，那么这个三角形是( )A直角三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D等边三角形解析：三角形三个内角度数的比为 234，三个内角分别是 180 40，180 60，180 80.该三角形29 39 49是锐角三角形故选 B.答案：B【例 42】 ABC 中，若 B A C，则 ABC 是_三角形解析：根据三角形的内角和定理，得 A B C180，又 B A C，2 B180，即 B90.因此该三角形是直角三角形答案：直角【例 43】 如图，已知 ABC 中， B
8、65， C45， AD 是 BC 边上的高， AE 是 BAC 的平分线，求 DAE 的度数分析：由三角形的内角和定理，可求 BAC70.又 AE 是 BAC 的平分线，可知 BAE35，再由 AD 是 BC 边上的高，可知 ADB90，从而 BAD25，所以 DAE BAE BAD10.解：在 ABC 中， BAC180 B C70， AE 是 BAC 的平分线， BAE CAE35.又 AD 是 BC 边上的高， ADB90.在 ABD 中 BAD90 B25， DAE BAE BAD10.析规律 三角形内角和定理的运用本题考查三角形的内角和定理及角平分线的性质、高线的性质，解答的关键是三
9、角形的内角和定理的运用5.运用三角形内角和定理的推论进行计算或证明(1)三角形内角和定理的推论 1推论 1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和如图，符号表示： ACD A B.谈重点 三角形的外角推论是由三角形内角和定理推理得到的，可作为定理使用；该推论反映的是三角形的外角与和它不相邻内角的关系(2)三角形内角和定理的推论 2推论 2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角符号表示： ACD A 或 ACD B.析规律 灵活使用三角形的外角三角形的一个外角大于和它“不相邻”的任意一个内角，而不是大于任何一个内角；利用该推论证明角之间的不等关系时，先找到一个适当的三角形，使要证明
10、的那个大角处于外角的位置上，小角处于内角的位置上 【例 51】 如图， ABC 中， A70， B60，点 D 在 BC 的延长线上，则 ACD 等于( )A100 B120C130 D150解析：所求的角恰好是 ABC 的外角，根据外角推论 1 可求得 ABC 中， A70， B60， ACD A B7060130.故选 C.答案：C点评：本题考查的是三角形内角与外角的关系，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和【例 52】 如图，1，2，3 的大小关系为( )A213 B132C321 D123解析：由于2 是 ABF 的外角，1 是 AEF 的外角，所以23，14；又由于4 和2 是对
11、顶角，故42，所以12.1，2，3 的大小关系为123.故选 D.答案：D【例 53】 如图，将一副三角板按图示的方法叠在一起，则图中 等于_解析：此题主要考查外角的性质和直角三角形的性质由外角的性质可得， 453015.答案：156三角形内角和定理的实际应用三角形的内角和在生活中的应用非常广泛，如方位角与折叠问题，零件的合格判定等用三角形的内角和定理解决生活中的实际问题时，要注意几何图形中与问题中的对应条件析规律 灵活运用三角形的内角和“三角形的内角和为 180”是隐含条件，在实际应用中必不可少；在方位角的计算中需要构造三角形，在三角形中计算其度数；折叠问题中，被折叠部分折叠后的图形与原图形
12、对应角相等，再根据内角和、平角等知识列出方程计算【例 61】 如图，是一块三角形木板的残余部分，量得 A100， B40，则这块三角形木板另外一个角的度数为_解析：根据木板的形状，将其“复原”为一个三角形，依据三角形的内角和定理解答所以 C180 A B1801004040.答案：40【例 62】 如图， D 是 AB 边上的中点，将 ABC 沿过 D 的直线折叠，使点 A 落在 BC上的点 F 处，若 B50，则 BDF_.解析：要求 BDF 的度数，可通过 DBF，利用三角形的内角和等于 180来求由折叠可知 ADE FDE，所以 DF DA DB.所以 DFB B50.所以 BDF180
13、 DFB B80.答案：807.辅助线与角的转化应用(1)辅助线与角的转化有关三角形角度的计算与比较，常常利用添加不同辅助线的方法，把大角转化为小角，或者把不规则图形转化为规则图形等，从而利用相关性质进行解题在证明角度不等的问题中，常用“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”这一性质，当角不在同一个三角形中时，可作辅助线使之转化到同一个三角形中再解析规律 辅助线的作法辅助线的添加有很多种方法，基本方法是延长法和连接法在本节中主要是构造三角形，利用“三角形内角和定理及其推论”解决角的问题(2)等腰三角形中内、外角的转换对于等腰三角形，当不知道所给的角为顶角还是底角时，要分情况讨论，不能漏
14、解当等腰三角形的外角是钝角时，其相邻的内角一定是锐角该锐角可能是等腰三角形的顶角，也可能是底角，要分情况讨论当等腰三角形的外角是锐角或直角时，其相邻的内角是钝角或直角，所以该内角一定是等腰三角形的顶角，则这个外角一定是顶角的邻补角【例 71】 如图 1，直线 a b，则 ACB_.解析：利用辅助线构造三角形即可如图 2，延长 BC 与 a 相交，由 a b 先求出内错角1 B50，再根据三角形外角性质即可求出 ACB128502878.答案：78【例 72】 等腰三角形的一个外角为 110，则这个等腰三角形的三个内角分别为_解析：等腰三角形的一个外角为 110，则相邻的内角为 18011070，而70的内角可能是顶角，也可能是底角，故分两种情况：当底角为 70时，则顶角为18070240；当顶角为 70时，则底角为(18070) 55.12答案：70，70，40或者 70，55，55点评：先将外角转化为内角，再分情况讨论是解决问题的基本思路【例 73】 已知：如图，在 ABC 中， D 为 BC 上一点，12，34， BAC120，求 DAC 的度数分析：根据三角形的内角和定理和三角形的外角性质即可解决解： BAC120，2360.12，431222.把代入，得 3260，220. DAC12020100.点评：注意三角形的内角和定理以及推论的运用，还要注意角之间的等量代换
