1、3.2 均值不等式 (一)自主学习知识梳理1如果 a，bR，那么 a2 b2_2ab(当且仅当_ 时取“”号)2若 a，b 都为_数，那么 _ (当且仅当 a_b 时，等号成a b2 ab立)，称上述不等式为_ 不等式，其中_称为 a，b 的算术平均值，_称为 a，b 的几何平均值3均值不等式的常用推论(1)ab 2 (a，bR)；(a b2 ) a2 b22(2)当 x0 时，x _；1x当 x0 时， _ ；ba ab当 ab0，b0 时， 这是一条重要的均值不等式链，请你21a 1b ab a b2 a2 b22给出证明对点讲练知识点一 利用均值不等式比较大小例 1 已知正数 0 bc，
2、nM 且 ，求 n 的最大值1a b 1b c na c总结 解决恒成立问题时，常用分离参数的方法求出参数的取值范围变式训练 3 已知不等式(xy) 9 对任意正实数 x，y 恒成立，则正实数 a 的最(1x ay)小值为( )A8 B6 C4 D21设 a，b 是两个正实数，用 min(a，b) 表示 a，b 中的较小的数，用 max(a，b) 表示a，b 中的较大的数，则有 min(a，b) max(a，b)当且仅当21a 1b ab a b2 a2 b22ab 时，取到等号2两个不等式 a2b 22ab 与 都是带有等号的不等式，对于“当且仅当a b2 ab时，取号”这句话的含义要有正确
3、的理解一方面：当 ab 时， ；另一方面：当 时，也有 ab. a b2 ab a b2 ab课时作业一、选择题1已知 a0，b0 ，则 ， ， ， 中最小的是( )a b2 ab a2 b22 2aba bA. B. C. D.a b2 ab a2 b22 2aba b2已知 ma (a2)，n x22 ( x n Bmy0，xy1，求证： 2 .x2 y2x y 23.2 均值不等式( 一)知识梳理1 ab2正 均值 a b2 ab3(2)2 2 (3)2 2 (4)自主探究1. 重合 ababa b22证明 由于 成立，只须证明aba b2 和 成立即可ab21a 1b a2 b22 a
4、 b2 ab21a 1b ab 2aba b a bab 2aba b 0aba b 2aba b aba b2a b ，即 .ab21a 1b21a 1b ab 2 2 (a2 b22 ) (a b2 ) a2 b22 a b24 0.2a2 b2 a b24 a2 b2 2ab4 a b24 ，即 .a2 b22 a b2 a b2 a2 b22所以 .21a 1b ab a b2 a2 b22对点讲练例 1 D 因为 a、b(0,1)，ab，所以 ab2 ，a 2b 22ab，所以，最大的只ab能是 a2b 2与 ab 之一而 a2b 2(ab) a(a1) b( b1)，又 0 0，
5、，a 2b 2 .a2 b22 a b2 a2 b22 12 12b(a 2b 2)( bb 2)a 2b(1b)a 2aba 2a(ba)0，ba 2b 2，b 最大例 2 证明 a、b、c 都是正数， 、 、 也都是正数bca cab abc 2c， 2a， 2b，bca cab cab abc bca abc三式相加得 2 2(abc)，(bca cab abc)即 abc .bca cab abc变式训练 2 证明 2 2 ， 2 2 ， 2 21a 1b 1ab c 1b 1c 1bc a 1c 1a 1ac b2 2( )，(1a 1b 1c) a b c即 .1a 1b 1c a
6、 b ca，b，c 不全相等， bc.1a b 1b c na cn a ca b a cb c a c2a bb c对 a、b、c 上式都成立，n mina c2a bb c 4.a c2a bb c a c2a b b c2 2n4，n 的最大值为 4.方法二 a bc， 2 224.a ca b a cb c a b b ca b a b b cb c b ca b a bb cn4，n 的最大值为 4.变式训练 3 C 只需求(xy) 的最小值大于等于 9 即可，(1x ay)又(xy) 1a aa12 a2 1，等号成立仅当 a 即(1x ay) xy yx axyyx a xy y
7、x可，所以( )2 2 19，a a即( )2 2 80 求得 2 或 4(舍去) ，所以 a4，即 a 的最小值为 4.a a a a课时作业1D 方法一 特殊值法令 a4，b2，则 3， ，a b2 ab 8 ， . 最小a2 b22 10 2aba b 83 2aba b方法二 ，由 .可知 最小2aba b 21a 1b 21a 1b ab a b2 a2 b22 2aba b2A m (a2) 22 24，n22x 2n.1a 2 a 2 1a 23B ab 2，ab，ab 1， 1，ab1 .a2 b22 a b2 a2 b22 a2 b224B x 2ax10 在 x 上恒成立(
8、0，12axx 21a max (x 1x)x 2， 2，a2.1x (x 1x)5A ab2 ，ab 24，当且仅当 ab2 时取等号ab (a b2 )cd2 ，cdcd2 4，当且仅当 cd2 时取等号cd故 cdab，当且仅当 abcd2 时取等号62 解析 lg x lg y1，xy10， 2.2x 5y 2x x27大 1解析 a1，a10 ， (1 a) 2，(a 1 1a 1) 11 aa1 2，1a 1a 1.1a 18. 2解析 由已知 a max，(x yx y) 成立，x y2 x y2 x y 2 x y max ，a .(x yx y) 2 29证明 a 2b 22abb2c 22bcc2a 22aca2b 2c 2a 2b 2c 2由得：3(a2b 2c 2)a 2b 2c 22ab2bc2ac3(a2b 2c 2)(abc )2，即 a2b 2c 2 .a b c2310证明 xy1 x2 y2x y x y2 2xyx y x y2 2x y(xy) 2 2 .2x y x y 2x y 2当且仅当Error!，即Error! 时取等号
