1、古典概型江苏省丹阳高级中学 杨松扣【要点扫描】1基本事件：在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件.2等可能性事件：若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性相同，则称这些基本事件为等可能基本事件3古典概型的特点：所有的基本事件只有有限个；每个基本事件发生的概率相等，不需要通过大量重复的试验，只要通过对一次试验可能出现的结果进行分析即可4古典概型的概率公：:如果一次试验的等可能基本事件共有 n 个，那么每个等可能基本事件发生的概率都是 n1，如果某个事件 A 包含了其中 m 个等可能基本事件，那么事1n件 A 发生的概率为 P(A)= mn5从集合的角度来理解古典概型的概率：把一次试验中
2、等可能出现的所有结果组成全集I，把事件 A 发生的结果组成集合 A，则 A 是 I 的一个子集，则有 P(A) =card(A)card(t)【典例分析】【例 1】判断下列命题的真假掷两枚硬币，可能出现“两个正面”、 “两个反面”、 “一正一反”3 种等可能的结果；某口袋中装有大小和形状完全一样的三个红球、两个黑球和一个白球，那么每一种颜色的球被模到的可能相同；从-3，-2，-1 ，0，1，2，3 中任取一个数，则此数小于 0 与不小于 0 的可能相同；分别从 3 名男生和 4 名女生中各选取一名代表，那么某个同学当选的可能性相同【解析】以上命题均不正确如果仅考虑这三种结果，则它们不是等可能的
3、，若要是等可能的，则有(正，正) ，(正，反)，( 反，正)和(反，反)4 种结果，故本小题总是错的；应是摸到每一个球的可能相同，而三种颜色的球的数量是不相同的；小于 0 的有 3 个，而不小于 0 的有 4 个；分别从男生和女生中各选取一个人，对男生或女生内部来说是等可能的，而对所有的同学来说男生是 3 选 1，而女生是 4 选 1，显然每个被选取的可能性不同【反思】对硬币的问题，我们不管抛掷是否有先后顺序，还是一起抛掷的，都必须看成有先后顺序，否则它们就不是等可能的若先后抛掷 n 次或一次抛掷 n 枚，基本事件总数都应是 2n 个【例 2】将骰子先后抛掷两次，求：向上的点数之和为几的概率最
4、大？最大值是多少？向上的点数之和是 5 的倍数的概率是多少？个向上的点数中至少有一个是 6 点的概率？两个点数中有 2 或 3 的的概率；第一次得到的点数比第二次的点数大的概率【解析】将骰子先后抛掷两次，得到的点数情况如下表：1 2 3 4 5 61 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5) (1，6)2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5) (2，6)3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5) (3，6)4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) (4，5) (4，6)5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) (5
5、，5) (5，6)6 (6，1) (6，2) (6，3) (6，4) (6，5) (6，6)统计向上点数和的情况如下：正面向上的点数和 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12基本事件数 m 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1相应概率P(A)136 236 336 436 536 636 536 436 336 236 136向上点数之和是 7 的概率最大，最大值是 ；636 = 16向上的点数之和是 5 的倍数的有(1，4) ，(2，3) ，(3，2)，(4，1)，(4 ，6)，(5，5) ，(6，4)7 个， 至少有一个是 6 点的共有 11 个，则其概率为 ；1136两个
6、点数之和是 2 的倍数或是 3 的倍数，按列计算，有 2+6+6+2+2+2=20 个，其概率为 ；2036 = 59去掉相等的共有 6 个，剩下的一半是前面的数字大，一半是后面的数字大，有 15个，其概率为 1536 = 512【反思】骰子问题与硬币问题一样，都要考虑先后顺序，且 n 个骰子的基本事件总数是 2n；当基本事件总数不大时，用枚举法较方便；若能用一个表格来表示这些问题，可使问题直观明了【例 3】从数字 1，2，3，4，5 中任取 2 个，组成没有重复数字的两位数试求：这个两位数是 5 的倍数的概率；这个两位数是偶数的概率；这个两位数大于 40 的概率【解析】 “从数字 1，2，3
7、，4，5 中任取 2 个，组成没有重复数字的两位数”，共有基本事件总数 54=20 个设事件 A 为“这个两位数是 5 的倍数”，则事件 A 包含的基本事件为：个位数字是5，共有 4 个， P(A)= ；420 =15设事件 B 为“ 这个两位数是偶数” 则事件 B 包含的基本事件为：个位数字是 2 或4，共有 8 个， P(A)= ；820 =25设事件 C 为“ 这个两位数大于 40” 则事件 C 包含的基本事件为：个十位数字是 4或 5，也有 8 个， P(A)= 820 =25【反思】数字问题要考虑先后顺序；常把问题转换成个位数或首位数的问题，学会用到分类讨论的思想；若含有 0，还要考
8、虑 0 不能在首位的特殊要求，这是最容易出错的地方【例 4】一只口袋内装有大小相同的 5 只球，其中 3 只白球，2 只黑球，从中一次摸出两只球摸出的两只球都是白球的概率是多少?摸出的两只球是一白一黑的概率是多少?【解析】从中摸出两球，可分有先后顺序(有序) 和无先后顺序 (无序)两种情况设摸出的2 只球都是白球的事件为 A，一白一黑的事件为 B有序：从 5 只球中摸出 2 只球，其基本事件总数为 54=20摸到 2 只白球的基本事件数是 32=6， ；P(A)=620 =310摸到 1 只白球和一只黑球的基本事件数是(先白后黑)32 +(先黑后白)23 =12， P(A)=1220 =35无
9、序：从 5 只球中摸出 2 只球，其基本事件总数为 542 =10摸到 2 只白球的基本事件数是 ；322 =3 P(A)= 310摸到 1 只白球和一只黑球的基本事件数是 32 =6， P(A)=610 =35【反思】某些摸球问题是否考虑先后顺序，对问题的答案没有区别，但必须正确理解题意【同步演练】1将一枚均匀的硬币连掷两次，出现“两次都是正面”的概率为 ( )A B C D114 13 122从甲，乙，丙三人中任意选两名代表，甲被选中的概率为 ( )A B C D113 12 233在 100 瓶饮料中,有 4 瓶已过保质期，从中任取一瓶，则取到的是未过保质期的概率是 ( )A0.4 B0
10、.04 C0.96 D0.096 4从 1，2，20 中任取一个数，它恰好是 3 的倍数的概率是 ( )A B C D320 310 15 145从 3 台甲型电脑和 2 台乙型电脑中任选 2 台，其中两种品牌电脑都齐全的概率是 ( )A B C D35 25 15 456从标有 1，2，3，9 的 9 张纸片中任取 2 张，那么这两张纸片上数字之积为偶数的概率是 ( )A B C D12 718 1118 13187掷两颗骰子，所得的两个点数中，一个恰是另一个的两倍的概率为 ( )A B C D 14 16 18 1128有 5 根细木棍，长度分别为 1、3、5、7、9(cm)，从中任取三根
11、，能搭成三角形的概率为 ( )A B C D320 25 15 3109袋中有白球 5 只，黑球 6 只，连续取出 3 只球，则顺序为“黑白黑”的概率为 ( )A B C D 111 233 433 53310某小组有成员 3 人，每人在一个星期中参加一天劳动，如果劳动日期可随机安排，则 3 人在不同的 3 天参加劳动的概率为 ( )A B C D37 335 3049 17011100 张卡片上分别写有 1，2，3，100，则任取其中一张，这张卡片上写的数是6 的倍数的结果有_种，概率为_ 12甲，乙，丙三人在 3 天节日中值班，每人值班 1 天，那么甲排在乙前面值班的概率为_ _ 13已知
12、 A，B 两地共有三条不交叉道路连接，甲乙二人分别从 A，B 两地相向而行，则两人恰好相遇的概率为_ _ 14某国科研会合作项目成员有 2 个美国人，2 个法国人和 3 个中国人组成，现在从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人中一个为中国人，一个为外国人的概率为_ 15同时抛掷两枚骰子，则点数和为 5 点的概率为 16从 3 名男生和 2 名女生中任选 2 人参加演讲比赛，试求： 所选 2 人都是男生的概率；所选 2 人中恰有 1 名女生的概率；所选 2 人中至少有 1 名女生的概率 17用不同的颜色给右图中的 3 个矩形随机的涂色，每个矩形只涂 一种颜色，求：3 个矩形颜色都相同的概率；3
13、 个矩形颜色都不同的概率 18 同时抛掷三枚骰子，求出现的点数的和是 11 的概率 19一个各面都涂有色彩的正方体，被锯成 1000 个同样大小的小正方体，将这些正方体混合后，从中任取一个小正方体，求：有一面涂有色彩的概率；有两面涂有色彩的概率；有三面涂有色彩的概率20袋中有红、黄、白球各 2 只且各有不同编号，从袋中有放回地摸出一球，共摸 3 次，求：三次颜色各不相同的概率；三次颜色不全相同的概率；三次取出的球无红球或无白球的概率【演练答案】1A2C3C4B 5A 6C 要分仅有一个是偶数和两个都是偶数两种情况7B8C 用枚举法9D 从 11 只球中连续取 3 只，有 11109 种，顺序为
14、“黑白黑”的为 65510C用模仿骰子，基本事件总数是 777，符合条件的有 7651116 个，0.16120.51314 15 13 47 1916基本事件总数有 10 种，设“所选 2 人都是男生”的事件为 A，则 A 包含 3 个基本事件， ；P(A)=310=0.3设“所选 2 人中恰有 1 名女生”的事件为 B，则 B 包含 32 个基本事件，；设“所选 2 人中至少有 1 名女生”的事件为 C，分两种情况：2P(B)=610=0.6名女生，基本事件有 1 个；恰有 1 名女生，基本事件有 6 个 P(C)=1 +610 =0.717基本事件共有 27 个；记事件 A=“3 个矩形
15、涂同一种颜色 ”，则 A 包含的基本事件有 3 个，故；P(A) =327 = 19记事件 B=“3 个矩形颜色都不同 ”，则 B 包含的基本事件有 32=6 个，故P(B)=627=2918符合条件的基本事件情况： 1，5，5（3 个） ； 1，4，6（6 个） ； 2，3，6（6 个） ；2，4，5（6 个） ；3，3，5（3 个） ；3，4，4（3 个） ；合计有 27 个，基本事件总数63P =2763 = 1819在 1000 个小正方体中，一面涂有色彩的有 826 个，两面涂有色彩的有 812 个，三面涂有色彩的有 8 个， 一面涂有色彩的概率为 =0.384；P1=3841000
16、两面涂有色彩的概率为 =0.096；P2= 961000有三面涂有色彩的概率 =0.008P2= 8100020注意是有放回：基本事件总数有 63 种设“三次颜色各不相同”的事件为 A，则 A 包含 642 个基本事件，；P(A) =64263 = 29设“三次颜色不全相同” 的事件为 B，全相同的基本事件数有 622 种，则 B 包含 63-622=192 个基本事件，；P(B) =19263 = 16设“三次取出的球无红球或无白球”的事件为 C，C 有下列情况：白白白，白白黄，白黄黄，黄黄黄，红红红，红红黄，红黄黄；分别有222， 2223，2223，222，222，2223，2223；合计有120 个基本事件，P(C) =12063 = 59
