1、第三章 3.4 函数的应用（） 一、选择题1某工厂第三年的产量比第一年的产量增长 44%，若每年的平均增长率相同(设为 x)，则下列结论中正确的是( )A x22% B x0 且 a1)由图可知 2 a1. a2，即底数为 2，说法正确；2 53230，说法正确；指数函数增加速度越来越快，说法不正确； t11， t2log 23， t3log 26， t1 t2 t3.说法正确；指数函数增加速度越来越快，说法不正确故正确的有.三、解答题9某乡镇目前人均一年占有粮食 360 kg，如果该乡镇人口平均每年增长 1.2%，粮食总产量平均每年增长 4%，那么 x 年后人均一年占有 y kg 粮食，求函
2、数 y 关于 x 的解析式解析 设该乡镇目前人口量为 M，则该乡镇目前一年的粮食总产量为 360M.经过 1 年后，该乡镇粮食总产量为 360M(14%)，人口总量为 M(11.2%)，则人均占有粮食为 ；360M 1 4%M 1 1.2%经过 2 年后，人均占有粮食为 ；360M 1 4% 2M 1 1.2% 2经过 x 年后，人均占有粮食为 y360M 1 4% xM 1 1.2% x360( )x360( )x.1.041.012 260253即所求函数解析式为 y360( )x.26025310对于 5 年可成材的树木，在此期间的年生长率为 18%，以后的年生长率为 10%.树木成材后
3、，即可出售，然后重新栽树木；也可以让其继续生长问：哪一种方案可获得较大的木材量(注：只需考虑 10 年的情形)?解析 设新树苗的木材量为 Q，则 10 年后有两种结果：连续生长 10 年，木材量 N Q(118%) 5(110%) 5；生长 5 年后重新栽树木，木材量 M2 Q(118%) 5.则 .MN 2 1 10% 5(110%) 51.611，即 MN.MN因此，生长 5 年后重新栽树木可获得较大的木材量.一、选择题1据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近 50 年内减少了 5%，如果按此速度，设 2010 年的冬季冰雪覆盖面积为 m，从 2010 年起，经过 x 年后，北冰洋
4、冬季冰雪覆盖面积 y 与 x 的函数关系式是 ( )A y0.95 m B y(10.05 )mx50x50C y0.95 50 xm D y(10.05 50 x)m答案 A解析 设每年减少的百分比为 a，由在 50 年内减少 5%，得(1 a)5015%95%，即 a1(95%) .150所以，经过 x 年后， y 与 x 的函数关系式为y m(1 a)x m(95%) (0.95) m.x50x502某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物已知该动物繁殖数量 y(只)与引入时间 x(年)的关系为 y alog2(x1)，若该动物在引入一年后的数量为 100，则到
5、第 7 年它们的数量为( )A300 B400 C600 D700答案 A解析 将 x1， y100 代入 y alog2(x1)中，得 100 alog2(11)，解得a100，则 y100log 2(x1)，所以当 x7 时， y100log 2(71)300，故选 A3某种型号的手机自投放市场以来，经过两次降价，单价由原来的 2 000 元降到 1 280 元，则这种手机平均每次降价的百分率是( )A10% B15% C18% D20%答案 D解析 设平均每次降价的百分率为 x，则 2 000(1 x)21 280，所以 x20%，故选 D读懂题意正确建立函数模型，求解可得4抽气机每次可
6、抽出容器内空气的 60%，要使容器内的空气少于原来的 0.1%，则至少要抽(参考数据：lg20.301 0)( )A6 次 B7 次 C8 次 D9 次答案 C解析 本题考查对数函数的应用设至少抽 x 次可使容器内的空气少于原来的0.1%，则(160%) x 7.5，故 3lg0.4 32lg2 1选 C二、填空题5如图，由桶 1 向桶 2 输水，开始时，桶 1 有 a L 水， t min 后，剩余水 y L 满足函数关系 y ae nt，那么桶 2 的水就是 y a ae nt.假设经过 5 min，桶 1 和桶 2 的水相等，则再过_min，桶 1 中的水只有 L.a8答案 10解析 由
7、题意可得，经过 5 min 时， ae5 n ， n ln2，那么 ae tln2 ，所以a2 15 15 a8t15，从而再经过 10 min 后，桶 1 中的水只有 La86一种产品的成本原来是 a 元，在今后 m 年内，计划使成本平均每年比上一年降低 p%，则成本 y 随经过的年数 x 变化的函数关系为_答案 y a(1 p%)x(xN *，且 x m)解析 成本经过 x 年降低到 y 元，则y a(1 p%)x(xN *，且 x m)三、解答题7地震的震级 R 与地震释放的能量 E 的关系为 R (lg E11.4)据报道中国青海23玉树 2010 年 4 月 14 日发生地震的震级为
8、 7.1 级而 2011 年 3 月 11 日，日本发生 9.0 级地震，那么 9.0 级地震释放的能量是 7.1 级地震的多少倍(精确到 1)?解析 9.0 级地震所释放的能量为 E1,7.1 级地震所释放的能量为 E2，由 9.0 (lg E111.4)，得 lg E1 9.011.424.9.23 32同理可得 lg E2 7.111.422.05，从而 lg E1lg E224.922.052.85，故32lg E1lg E2lg 2.85，则 10 2.85708，E1E2 E1E2即 9.0 级地震释放的能量是 7.1 级地震的 708 倍8某个体经营者把开始六个月试销 A， B
9、两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：投资 A 商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6获纯利润(万元) 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40投资 B 商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6获纯利润(万元) 0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51该经营者准备下月投入 12 万元经营这两种产品，但不知投入 A， B 两种商品各多少万元才合算请你帮助确定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)解析 以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图所示：观察散点图可以看出
10、： A 种商品的所获纯利润 y 与投资额 x 之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟，如图所示：取(4,2)为最高点，则 y a(x4) 22.把点(1,0.65)代入，得 0.65 a(14) 22，解得 a0.15.所以 y0.15( x4) 22.B 种商品所获纯利润 y 与投资额 x 之间的变化规律是线性的，可用一次函数模型模拟，如图所示：设 y kx b，取点(1,0.25)和(4,1)代入，得Error! ，解得Error! .所以 y0.25 x.即前 6 个月所获纯利润 y 关于月投资 A 种商品的金额 x 的函数关系式是y0.15( x4) 22；前 6 个月所获纯利润 y 关于月投资 B 种商品的金额 x 的函数关系式是 y0.25 x.设下月投入 A， B 两种商品的资金分别为 xA， xB(万元)，总利润为 W(万元)，则Error! ，所以 W0.15( xA )20.15( )22.6，196 196当 xA 3.2(万元)时， W 取最大值，约为 4.1 万元此时 xB8.8(万元)196即该经营者下月把 12 万元中的 3.2 万元投资 A 种商品，8.8 万元投资 B 种商品，可获得最大利润约为 4.1 万元
