1、12.2.3 两条直线的位置关系5 分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.已知点 A(1,2),B(3,1),则线段 AB 垂直平分线的方程是( )A.4x+2y=5 B.4x-2y=5 C.x+2y=5 D.x-2y=5解析：可以先求出 AB 的中点坐标为(2， 23)，又直线 AB 的斜率 k= 213，垂直平分线斜率为 2.由点斜式方程，可得所求垂直平分线的方程为 y- =2(x-2)，即 4x-2y=5.答案：B2.已知直线 ax-y=0 与直线 ax+y=x+1 平行，则 a 的值为( )A.0 B.1 C. 21 D. 21解析：由题设可得两条直线的斜率分别为 a 和 1-a,由两
2、条直线平行，得 a=1-aa= .答案：C3.已知两直线 l1：(3+a)x+4y-5+3a=0 与 l2：2x+(5+a)y-8=0.(1)l1与 l2相交时，a_;(2)l 1与 l2平行时，a=_；(3)l1与 l2重合时，a=_；(4)l 1与 l2垂直时，a=_.解：由题意知 A1=3+a、B 1=4、C 1=-5+3a，A 2=2、B 2=5+a、C 2=-8.则 D1=(3+a).(5+a)-8=a2+8a+7，D 2=-32-(-5+3a).(5+a)=3a2+10a+7.当 D10,即 a-7 或-1 时，l 1与 l2相交；当 D1=0,D20，即 a=-7 时，l 1与
3、l2平行；当 D1=0,D2=0，即 a=-1 时，l 1与 l2重合；当A1A2+B1B2=0,即 a= 3时，l 1与 l2垂直.答案：(1)-7 或-1 (2)-7 (3)-1 (4) 310 分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.已知两条直线 y=ax-2 和 y=(a+2)x+1 互相垂直，则 a 等于( )A.2 B.1 C.0 D.-1解析：两条直线的斜率分别为 a 和 a+2 且相互垂直,即 a(a+2)=-1,解得 a=-1.答案：D2.以 A(-1,1)、B(2,-1)、C(1,4)为顶点的三角形是( )A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等边三角形解析：已知
4、三角形三顶点的坐标,可分别求出每条边所在直线的斜率分别为 kAB=21)(4,32)1(BCk=-5,kCA= 2314,可见 kABkCA=( 32) =-1,所以AB 边与 AC 边所在的直线垂直,即A=90,ABC 为直角三角形.答案：B3.直线 l1与 l2为两条不重合的直线,则下列命题:若 l1l 2,则斜率 k1=k2;若斜率 k1=k2,则 l1l 2;2若倾斜角 1= 2,则 l1l 2;若 l1l 2,则倾斜角 1= 2.其中正确命题的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4解析：对于,若 l1l 2,但它们都与 x 轴垂直时,斜率都不存在,则没有 k1=k2;对于,若斜率
5、 k1=k2,则这两条直线可能重合;对于,若倾斜角 1= 2,这两条直线也可能重合;对于,若l1l 2,则倾斜角 1= 2正确.故正确命题只有 1 个.答案：A4.和直线 4x+3y+5=0 平行且在 x 轴上截距为-3 的直线方程为_.解析：与直线 4x+3y+5=0 平行的直线方程可设为 4x+3y+c=0,令 y=0,得 x= 4c,由题意得4c=-3,故 c=12,所以所求的直线方程为 4x+3y+12=0.答案：4x+3y+12=05.在ABC 中，BC 边上的高所在的直线方程为 x-2y+1=0，A 的平分线所在的直线方程为y=0.若 B 的坐标为(1，2)，求 A 点及 C 点的
6、坐标.解:由 ,010,12yxyx解 得 即 A 点坐标为(-1，0).作 B(1，2)关于 y=0 的对称点 B(1，-2)，则 AB所在直线方程为 120xy,即x+y+1=0.BC 边上的高所在直线方程为 x-2y+1=0,BC 边所在直线方程为 2x+y-4=0.联立得 ,0421yx解得 ,65yx即 C(5，-6).30 分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.两条直线 x+3y+m=0 和 3x-y+n=0 的位置关系是( )A.平行 B.垂直C.不平行但不垂直 D.不能判断解析：先把两直线方程化成斜截式,可知这两直线的斜率分别是 31和 3，且 3=-1,由此可知这两直线垂直.
7、答案：B2.过点(-1,3)且垂直于直线 x-2y+3=0 的直线方程为( )A.2x+y-1=0 B.2x+y-5=0C.x+2y-5=0 D.x-2y+7=0解析：由两直线垂直知所求的直线斜率为直线 x-2y+3=0 的斜率的负倒数,因为 x-2y+3=0 的斜率为 21,所以所求直线的斜率为-2,由直线的点斜式方程得 y-3=-2(x+1),化成一般式得2x+y-1=0.3答案：A3.过 A(1,2)和 B(-3,2)的直线与直线 y=0 的位置关系是( )A.相交 B.平行 C.重合 D.以上都不对解析：考查直线间位置关系的判定,由斜率公式,知 kAB= 312=0,所以直线 AB 的
8、方程可写为 y=2.而 x 轴的方程为 y=0,过 AB 的直线与 y=0 平行.答案：B4.已知过点 A(-2，m)和 B(m，4)的直线与直线 2x+y-1=0 平行，则 m 的值为( )A.0 B.-8 C.2 D.10解析：由两条直线平行，得 AB 的斜率等于直线 2x+y-1=0 的斜率,又 kAB= 24,即m24=-2,解得 m=-8.答案：B5.一束光线自 A(-2，1)入射到 x 轴上，经反射后，反射光线与 y=x 平行，则入射线与 x 轴的交点是( )A.(1，0) B.(-1，0) C.(-3，0) D.(2，0)解析：由入射角等于反射角，易得入射光线斜率为-1，所以选
9、B.答案：B6.已知 l 平行于直线 3x+4y-5=0，且 l 和两坐标轴在第一象限内所围成的三角形的面积是24，则直线 l 的方程是( )A.3x+4y- 21=0 B.3x+4y+ 21=0C.3x+4y-24=0 D.3x+4y+24=0解析：设 l:3x+4y-c=0,c0,由 S= 21 43c=24,可得 c=24.答案：C7.已知两条直线 l1：ax+3y-3=0，l 2：4x+6y-1=0，若 l1l 2，则 a=_.解析：由题设可得两条直线的斜率分别为 a和 ,由两条直线的平行可得3a= 2a=2.答案：28.已知定点 A(-1，3)、B(4，2)，在 x 轴上求点 C，使
10、 ACCB.解：设 C(x,0)为所求的点，则 kAC= 13,kCB= 42.ACBC,k ACkBC=-1,即 )4(16x=-1,去分母解得 x1=1,x2=2,故所求点为 C(1，0)或 C(2，0).9.已知ABC 的三个顶点 A(1,3),B(-1,-1),C(2,1),求 BC 边上的高所在的直线方程.解：三角形 BC 边上的高所在的直线与 BC 边垂直,因为 kBC= 321,所以 BC 边上高的4斜率为 23,由直线的点斜式方程得 y-3= 23(x-1),化成一般式得 3x+2y-9=0.10.已知 A(4,3),B(3,4),C(1,2),D(-1,-2),求证：四边形
11、ABCD 为直角梯形.证明：由斜率公式:k AB= 143,kBC= 14，k CD= 2=2，k AD= 413=1,因为 kBC=kAD,所以 AD 与 BC 平行.又 kABkBC=-1,所以 AB 与 BC 垂直.又 kABk CD,故四边形 ABCD为直角梯形.11.光线沿着直线 x-2y+1=0 射入，遇到直线 l:3x-2y+7=0 即发生反射，求反射光线所在的直线方程.解：设直线 x-2y+1=0 上任一点 P(x0,y0)关于直线 l 的对称点为 P(x,y),PPl,k PP = lk1. 320xy. 又 PP的中点 M( 2,00yx)在 l 上，3( 20x)-2( 0y)+7=0. 由方程，可得 P 点坐标为( 13285,13425yxyx).x-2y+1=0 关于直线 l 的对称直线的方程为 1)3285(yx=0.整理得 29x-2y+85=0.反射光线方程为 29x-2y+85=0.
