1、22.2 对数函数及其性质第 1 课时 对数函数的图象及性质学习目标 1.理解对数函数的概念.2.初步掌握对数函数的图象及性质.3.会类比指数函数，研究对数函数的性质知识链接1作函数图象的步骤为列表、描点、连线另外也可以采取图象变换法2指数函数 y ax(a0 且 a1)的图象与性质.a1 0 a1图象定义域 R值域 (0，)过定点 过点(0,1)，即 x0 时， y1函数值的变化当 x0 时， y1；当 x0 时，0 y1当 x0 时，0 y1；当 x0 时， y1性质单调性 是 R 上的增函数 是 R 上的减函数预习导引1对数函数的概念一般地，把函数 ylog ax(a0，且 a1)叫做对
2、数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是(0，)2对数函数的图象与性质a1 0 a1图象定义域 (0，)性质值域 R过定点 过定点(1,0)，即 x1 时， y0函数值的变化当 0 x1 时， y0当 x1 时， y0当 0 x1 时， y0当 x1 时， y0单调性 是(0，)上的增函数 是(0，)上的减函数3.反函数对数函数 ylog ax(a0，且 a1)与指数函数 y ax(a0，且 a1)互为反函数.要点一 对数函数的概念例 1 指出下列函数哪些是对数函数？(1)y3log 2x；(2) ylog 6x；(3)ylog x3；(4) ylog 2x1.解 (1)log 2x 的系数
3、是 3，不是 1，不是对数函数(2)符合对数函数的结构形式，是对数函数(3)自变量在底数位置上，不是对数函数(4)对数式 log2x 后又加 1，不是对数函数规律方法 判断一个函数是对数函数必须是形如 ylog ax(a0 且 a1)的形式，即必须满足以下条件(1)系数为 1.(2)底数为大于 0 且不等于 1 的常数(3)对数的真数仅有自变量 x.跟踪演练 1 若某对数函数的图象过点(4,2)，则该对数函数的解析式为( )A ylog 2x B y2log 4xC ylog 2x 或 y2log 4x D不确定答案 A解析 设对数函数的解析式为 ylog ax(a0，且 a1)，由题意可知
4、loga42， a24， a2，该对数函数的解析式为 ylog 2x.要点二 对数函数的图象例 2 如图所示，曲线是对数函数 ylog ax 的图象，已知 a 取 ， ， ， ，则相应于343 35 110c1， c2， c3， c4的 a 值依次为( )A. ， ， ， B. ， ， ，343 35 110 3 43 110 35C. ， ， ， D. ， ， ，43 3 35 110 43 3 110 35答案 A解析 方法一 先排 c1， c2底的顺序，底都大于 1，当 x1 时图低的底大， c1， c2对应的 a 分别为 ， .然后考虑 c3， c4底的顺序，底都小于 1，当 x1 时
5、底大的图高， c3， c4对应的 a 分343别为 ， .综合以上分析，可得 c1， c2， c3， c4的 a 值依次为 ， ， ， .故选 A.35 110 3 43 35 110方法二 作直线 y1 与四条曲线交于四点，由 ylog ax1，得 x a(即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以 c1， c2， c3， c4对应的 a 值分别为 ， ， ， ，故选 A.343 35 110规律方法 函数 ylog ax(a0，且 a1)的底数变化对图象位置的影响观察图象，注意变化规律：(1)上下比较：在直线 x1 的右侧， a1 时， a 越大，图象向右越靠近 x 轴，0 a1
6、 时 a 越小，图象向右越靠近 x 轴(2)左右比较：比较图象与 y1 的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大跟踪演练 2 (1)函数 ylog a(x2)1 的图象过定点( )A(1,2) B(2,1) C(2,1) D(1,1)(2)如图，若 C1， C2分别为函数 ylog ax 和 ylog bx 的图象，则( )A0 a b1B0 b a1C a b1D b a1答案 (1)D (2)B解析 (1)令 x21，即 x1，得 ylog a111，故函数 ylog a(x2)1 的图象过定点(1,1)(2)作直线 y1，则直线与 C1， C2的交点的横坐标分别为 a， b，易
7、知 0 b a1.要点三 对数函数的定义域例 3 (1)函数 f(x) lg(1 x)的定义域是( )11 xA(，1) B(1，)C(1,1)(1，) D(，)(2)若 f(x) ，则 f(x)的定义域为( )1log 2x 1A. B.(12， 0) ( 12， )C. (0，) D.(12， 0) ( 12， 2)答案 (1)C (2)C解析 (1)由题意知Error!解得 x1 且 x1.(2)由题意有Error!解得 x 且 x0.12规律方法 求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意
8、对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式跟踪演练 3 求下列函数的定义域(1)ylog 2(x24 x5)；(2) y .log0.5 4x 3解 (1)要使函数有意义，需 x24 x50，即( x5)( x1)0，所以Error! 或Error!所以 x5，故所求函数的定义域为(，1)(5，)(2)要使函数有意义，需 log0.5(4x3)0，即 log0.5(4x3)log 0.51，故 04x31，解得 x1，34故所求函数的定义域为 .(34， 11下列函数是对数函数的是( )A ylog a(2x) B ylog 22xC ylog 2x1 D ylg x答案 D解
9、析 选项 A、B、C 中的函数都不具有“ ylog ax(a0 且 a1)”的形式，只有 D 选项符合2函数 f(x) lg(3 x1)的定义域是( )11 xA( ，) B(， )13 13C( ， ) D( ，1)13 13 13答案 D解析 由Error!可得 x1.133函数 y ax与 ylog ax(a0，且 a1)在同一坐标系中的图象形状可能是( )答案 A解析 函数 ylog ax 恒过定点(1,0)，排除 B 项；当 a1 时， y ax是增函数， ylog ax是减函数，当 0a1 时， y ax是减函数， ylog ax 是增函数，排除 C 项和 D 项，A 项正确4若
10、a0 且 a1，则函数 ylog a(x1)1 的图象恒过定点_答案 (2,1)解析 函数图象过定点，则与 a 无关，故 loga(x1)0， x11， x2， y1，所以 ylog a(x1)1 过定点(2,1)5函数 yln x 的反函数是_答案 ye x解析 由反函数的定义知 xe y，故反函数为 ye x.1.判断一个函数是不是对数函数关键是分析所给函数是否具有 ylog ax(a0，且 a1)这种形式2在对数函数 ylog ax 中，底数 a 对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质3涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析一、基础达标1函数
11、ylog ax 的图象如图所示，则 a 的值可以是( )A0.5 B2Ce D答案 A解析 函数 ylog ax 的图象单调递减，0 a1，只有选项 A 符合题意2函数 f(x)lg( x1) 的定义域为( )4 xA(1,4 B(1,4) C1,4 D1,4)答案 A解析 由Error!解得 1 x4.3在同一坐标系中，函数 ylog 3x 与 ylog x 的图象之间的关系是( )31A关于 y 轴对称 B关于 x 轴对称C关于原点对称 D关于直线 y x 对称答案 B解析 ylog xlog 3x，函数 ylog 3x 与 ylog x 的图象关于 x 轴对称31 314如图是三个对数函
12、数的图象，则 a、 b、 c 的大小关系是( )A a b c B c b aC c a b D a c b答案 D解析 ylog ax 的图象在(0，)上是上升的，所以底数 a1，函数 ylog bx， ylog cx 的图象在(0，)上都是下降的，因此 b， c(0,1)，又易知 c b，故 a c b.5已知函数 f(x)Error!那么 f(f( )的值为( )18A27 B. C27 D127 127答案 B解析 f( )log 2 log 223 3， f(f( ) f(3)3 3 .18 18 18 1276已知对数函数 f(x)的图象过点(8，3)，则 f(2 )_.2答案 3
13、2解析 设 f(x)log ax(a0，且 a1)，则3log a8， a . f(x)log x，12 21f(2 )log (2 )log 2(2 ) .2 212 2327求下列函数的定义域：(1)f(x)lg( x2) ；1x 3(2)f(x)log (x1) (164 x)解 (1)要使函数有意义，需满足Error!解得 x2 且 x3.函数的定义域为(2,3)(3，)(2)要使函数有意义，需满足Error!解得1 x0 或 0 x4.函数的定义域为(1,0)(0,4)二、能力提升8设函数 f(x)log 2x 的反函数为 y g(x)，且 g(a) ，则 a 等于( )14A2 B
14、2 C. D12 12答案 B解析 函数 f(x)log 2x 的反函数为 y2 x，即 g(x)2 x.又 g(a) ，2 a ， a2.14 149若函数 f(x)log a(x b)的图象如图，其中 a， b 为常数，则函数 g(x) ax b 的图象大致是( )答案 D解析 由函数 f(x)log a(x b)的图象可知，函数 f(x)log a(x b)在( b，)上是减函数0 a1 且 0 b1.所以 g(x) ax b 在 R 上是减函数，故排除 A，B.由 g(x)的值域为(b，)所以 g(x) ax b 的图象应在直线 y b 的上方，故排除 C.10设函数 f(x)log
15、ax(a0 且 a1)，若 f(x1x2x2 013)8，则 f(x ) f(x ) f(x21 2)的值等于_22 013答案 16解析 f(x ) f(x ) f(x ) f(x )21 2 23 22 013log ax log ax log ax log ax21 2 23 22 013log a(x1x2x3x2 013)22log a(x1x2x3x2 013)2 f(x1x2x3x2 013)，原式2816.11已知 f(x)log 3x.(1)作出这个函数的图象；(2)若 f(a) f(2)，利用图象求 a 的取值范围解 (1)作出函数 ylog 3x 的图象如图所示(2)令
16、f(x) f(2)，即 log3xlog 32，解得 x2.由图象知：函数 f(x)为单调增函数，当 0 a2 时，恒有 f(a) f(2)所求 a 的取值范围为(0,2)三、探究与创新12求 y(log x)2 log x5 在区间2,4上的最大值和最小值112解 因为 2 x4，所以 log 2log xlog 4，212121即1log x2.21设 tlog x，则2 t1，所以 y t2 t5，其图象的对称轴为直线 t ，12 14所以当 t2 时， ymax10；当 t1 时， ymin .13213若函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数，且 x(0，)时， f(x)lg( x1)，求 f(x)的表达式，并画出大致图象解 f(x)为 R 上的奇函数， f(0)0.又当 x(，0)时， x(0，)， f( x)lg(1 x)又 f( x) f(x)， f(x)lg(1 x)， f(x)的解析式为f(x)Error!f(x)的大致图象如图所示
