1、课题：2.1.2 指数函数及其性质（2）精讲部分学 习 目 标 展 示（1）掌握指数函数的图象及性质（2）掌握指数函数的性质比较大小（3）掌握指数形式的函数定义域、值域的求法衔 接 性 知 识1. 请 画 出 指 数 函 数 且 的 图 象 并 ， 说 明 这 些 图 象 过 哪 个 定 点 。()0xfa1)2. 当 时 ， ； 当 时 ， ；0x21x2x 当 时 ， ； 当 时 ， .()()基 础 知 识 工 具 箱指 数 函 数 的 图 象 和 性 质函 数 名 称 指 数 函 数解 析 式 且()0xfa1)定 义 域 R值 域 ， 即(,)x1a01a图 象奇 偶 性 指 数 函
2、 数 是 非 奇 非 偶 函 数单 调 性 在 上 是 增 函 数R在 上 是 减 函 数R性 质 函 数 值 分布1(0)0xa1(0)0xa典 例 精 讲 剖 析例 1. 比较大小：（1） 与 （2） 与 （3） 与2.573.610.1280.260.173.19（4） 、 与 （5） 、 与2.06.30.4.4解：（1） ， 在 是增函数， ，.71.7xy(,)2.5362.53.617（2） ， 在 是减函数0808，.2.6.12.6（ 3） ， ，0.3173.090.3.179（4） ， ， ， 最小2.0.242.062.3，.1.1.1.06(4)2.13064（5）
3、，而 、 ，2.2.2.443737()()62.3702.462.42.4736又 ，所以2162.4.2.16例 2求下列式中的实数 的值：x（1） （2）14x3124(0,)xaa解：（2）不等式可化为： ， ，即 ，故实数 的范围为(,2)（2）当 时， ， ，故实数 的范围为1a324x3xx3,)当 时， ， ，故实数 的范围为0(例 3求下列函数的定义域和值域：（1） （2） （3）14xy|()xy142xy解：（1）使解析式有意义，得 ， 定义域为0(,4)(,)设 ，则 ， 又 ，4tx2ty14txt是 的增函数 且 ，即 且2tytty1所以函数 的值域为14x(0,
4、1),)（2）定义域为为 R设 ，则 ， ， ，|t23ty|x0t是 的减函数，()3ty()1t所以函数 的值域为|x,(3) 定义域为为 R，设 ，则1242()xxxy2xt22(1)ytt， ，所以 时，t0ttmin1y故 的 值 域 为 1xy,)例 4. 已知 f(x) a 是奇函数，求 a 的值及函数值域12x 1分析 本题是函数奇偶性与指数函数的 结合，利用 f( x) f(x)恒成立，可求得 a值其值域可借助基本函数值 域求得解析 f(x)是奇函数， f( x) f(x)对定义域内的每一个 x 都成立即 a a，2a 1， a .12x 1 12 x 1 12 x 1 1
5、2x 1 122x10 x0定义域为(， 0)(0， )u 2x 11 且 u0， 0， 1u 1u 12x 1 12 12 12x 1 1212 f(x)的值域为(， )( ，)12 12（ 选 讲 ） 例 5 已 知 方 程 有 两 个 实 数 解 ， 试 求 实 数 的 取 值 范930xkk围 错解 令 ，则原方程可化为 ，3xt21t要使原方程有两个实数解，则 ，解得()43)0k23k所以实 数 的 取 值 范 围 为 .k,辨 析 换 元 后 ， 原 方 程 有 两 个 实 数 解 ， 则 关 于 “新 元 ” 的 方 程 应 有 两30xt t个 正 数 解 ， 而 ， 只 能
6、 保 证 方 程 有 两 个 实 数 解 ， 不 能 保 证 原 方 程 有 两 个 实 数解 事 实 上 ， 当 方 程 有 两 个 负 根 时 ， 原 方 程 无 解 正解法 1 令 ，则 .原方程有两个实数解，即方程 有两xtt 2310tk个正实数解，则，解得212()431)0kx 23x所以实 数 的 取 值 范 围 为k(,3法 2由已知，得 ， 令 ，则211(3)3xxkxt， ， ，213ktt0在 上 递 增 ， 在 上 递 减 ,2()3(0,11,)max2(1)3k由 方 程 有 两 个 实 数 解 ， 可 知9xk与 在 时有两个交点或者相切（如图）yk2()tt
7、而 ， 所 以 ， 即 所以实 数 的 取 值 范 围 为1(0)3k23kk2(,3精 练 部 分A 类试题（普通班用）1. 已知 a0.8 0.7，b0.8 0.9，c1.2 0.8，则 a，b，c 的大小关系是( )Aa b c Bb a c Cc b a Dc a b答案D 解析考察函数 y0.8 x，0.80.90.8 0.71.又 1.20.81， c a b.2下列函数中，值域是(0，)的函数是( )A By Cy D1xy2x 1 2x 1 2()xy答案 D解析 在 A 中， 0， ，所以函数 的值域是 y|y0，且 y11x 12x12xy在 B 中，2 x1 0， 0，所
8、以函数 y 的值域是 0，)2x 1 2x 1在 C 中，2 x11 ， 1，所以函数 y 的值域是 (1，)2x 1 2x 1在 D 中，由于函数 的定义域是 R，也就是自变量 x 可以取一切实数，所以 2 x()y也就可以取一切实数，所以 取一切正实数，即函数 的值域为(0，)，2x 2()xy故选 D.3已知 且 ，且 ，则实数 的取值范围是_()xfa(01)()3ffa4函数 f(x) ax(a0 且 a1)，在 x1,2时的最大值比最小值大 ，求实数 a 的值a2解析 注意进行分类讨论(1)当 a1时， f(x) ax为增函数，此时 f(x)max f(2) a2，f(x)min
9、f(1) a，a2 a ，解得 a 1.a2 32(2)当 00，且 y11x 12x12xy在 B 中，2 x1 0， 0，所以函数 y 的值域是 0，)2x 1 2x 1在 C 中，2 x11 ， 1，所以函数 y 的值域是 (1，)2x 1 2x 1在 D 中，由于函数 的定义域是 R，也就是自 变量 x 可以取一切实数，所以 2 x 也()y就可以取一切实数，所以 取一切正实数，即函数 的值域为(0，)，故 选21()x 21()xyD. 3已知实数 a，b满足( )a( )b，下列五个关系式：12 1301时，可得 a0 且 a1)，在 x1,2时的最大值比最小值大 ，则 a 的值为
10、_a2答案 或32 12解析 注意进行分类讨论(1)当 a1时， f(x) ax为增函数，此时 f(x)max f(2) a2，f(x)min f(1) a，a2 a ，解得 a 1.a2 32(2)当 0a1时， f(x) ax为减函数，此时 f(x)max f(1) a，f(x)min f(2) a2a a2 ，解得 a (0,1)a2 12综上所述： a 或 .32 127若函数 且 ，的定 义域和值域都是 0,2，求实数 的值()xf(0a1)a解析：当 时， 在0,2 上递增，f ，即 ， .又 ， ，(0)2f021a3a3当 时， 在0,2 上递减，()fx ，即 ，它无解，从而
11、 a .(0)2f021a38已知函数 的图象经过点 ，其中 且 .2()xf(0)(4，19) 01a(1)求 的值；(2)求函数 的值域ayf()x解析：(1) 函数图象过点 ，所以 ， ，()yfx14,9219a3(2) ，由 ，得 ，213f0)x210()9x函数 的值域为()yx(,9若函数 y 为奇函数a2x 1 a2x 1(1)求 a 的值；(2)求函数的定义域解：函数 y ， y a .a2x 1 a2x 1 12x 1（1）由奇函数的定义，可得 ()0ff即 ， ，即021xxa12x12a（2） ， ，即xy2x0函数的定义域为(,0)(,)10已知 ，求函数 的值 域1139xf解： .令 ，12()329()6xxfx3xt则 . ， .6ytt当 ，即 时， 取得最大值 12；当 ，即 时， 取得最小值24，1xy9t2xy即 的最大值为 12，最小 值为24.函数 的值域为24,12()fx ()fx
