1、第 10 课时 直线和圆的位置关系1.理解直线与圆的位置关系的种类 .2.利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离 .3.会用方程思想(判别式法)或点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系 .一艘船在沿直线返回港口的途中,接到台风预报:台风中心位于船正西 70 千米处,受影响的范围是半径为 30 千米的圆形区域 .已知港口位于台风中心正北 40 千米处,如果这艘船不改变航线,那么它是否会受到台风影响?这个问题可归结为直线和圆是否有公共点的问题,也是我们这节课研究的对象 .问题 1:直线与圆的位置关系有三种: 相交 、 相切 、 相离 . 判断直线与圆的位置关系有两种方法:(1)代
2、数法:联立直线方程与圆的方程消去 x 或 y 整理成一元二次方程后,计算判别式 ,当判别式 0 时,直线和圆 相交 . (2)几何法:利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系:dr 相离 . 问题 2:过一定点是否都存在圆的切线?如果存在,如何求圆的切线方程? (1)若点在圆内,此时直线和圆相交,不存在圆的切线 .(2)若点在圆上,则过该点的切线只有 一条 ,切线方程求法如下: 直接法,先求该点与圆心的连线的直线的斜率,再利用垂直关系求出切线斜率,最后用点斜式求出切线方程 . 设元法,先设出切线方程(注意斜率不存在时的讨论),再利用圆心到切线的距离等于半径,求出所设参数 . 公式法,
3、设 A(x0,y0)是圆( x-a)2+(y-b)2=r2上的一点,则过点 A 的切线方程为:( x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2,特别地,当圆心在原点时,即: A(x0,y0)是圆 x2+y2=r2上一点,则过点 A 的切线方程为: x0x+y0y=r2 . (3)若点在圆外,则过该点的切线有 两条 ,切线方程求法如下: 首先分析斜率不存在是否满足条件,再分析斜率存在时:设斜率为 k,写出切线方程,利用圆心到切线的距离等于半径求出斜率,从而求出切线方程 .问题 3:计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何法:运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形
4、计算 .(2)代数法:运用韦达定理及两点距离公式有 |AB|= |xA-xB|=1+2. (1+2)(+)24问题 4:用直线与圆的知识解决实际问题的步骤(1)仔细审题,理解题意;(2)引入 数学符号 ,建立 数学模型 ; (3)用直线与圆的知识解决已建立的数学模型;(4)用结果解释 实际问题 . 1.直线 3x+4y=5 与圆 x2+y2=16 的位置关系是( ).A.相交 B.相切 C.相离 D.相切或相交2.自点 A(-1,4)作圆( x-2)2+(y-3)2=1 的切线,则切线长为( ).A. B.3 C. D.55 103.若直线 y=kx+2 与圆( x-2)2+(y-3)2=1
5、有两个不同的交点,则 k 的取值范围是 . 4.过原点作圆 x2+y2-2x-2y+1=0 的切线,求切线方程 .圆的切线方程已知圆的方程是 x2+y2=r2,求经过圆上一点 M(x0,y0)的切线方程 .求圆的弦长求直线 x- y+2 =0 被圆 x2+y2=4 截得的弦长 .3 3利用圆的方程求最值已知实数 x,y 满足( x-2)2+y2=4,求 3x2+4y2的最值 .求过点 P(4,5)的圆( x-2)2+y2=4 的切线方程 .已知圆 C:x2+y2-8y+12=0,直线 l:ax+y+2a=0.当直线 l 与圆 C 相交于 A,B 两点,且 AB=2时 ,求直线 l 的方程 .2
6、已知点 P(x,y)在圆 x2+(y-1)2=1 上运动,则 的最大值为 ;最小值为 12. 1.直线 y=x+1 与圆 x2+y2=1 的位置关系是( ).A.相切 B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心 D.相离2.圆 C:x2+y2-4x=0 在点 P(1, )处的切线方程为( ).3A.x+ y-2=0 B.x+ y-4=03 3C.x- y+4=0 D.x- y+2=03 33.直线 x-y+m=0 与圆 x2+y2-2x-2=0 相切,则实数 m 等于 . 34.已知圆 x2+y2=8 内一点 P(-1,2),过点 P 的直线 l 的倾斜角为 135,直线 l 交圆于 A、 B两点,
7、求 AB 的长 .(2012 年北京卷) 直线 y=x 被圆 x2+(y-2)2=4 截得的弦长为 . 考题变式(我来改编):第 10 课时 直线和圆的位置关系知识体系梳理问题 1:相交 相切 相离 (1)相离 相切 相交(2)相交 相切 相离问题 2:(2)一条 x 0x+y0y=r2(3)两条问题 3:(2) |xA-xB|=1+2 (1+2)(+)24问题 4:(2)数学符号 数学模型 (4)实际问题基础学习交流1.A d= =14,即点 P 在圆( x-2)2+y2=4 外 .设切线斜率为 k,则切线方程为 y-5=k(x-4),即 kx-y+5-4k=0,又圆心坐标为(2,0), r
8、=2,由圆心到切线的距离等于半径,得 =2,解得 k=|20+54|2+1.2120将 k 代入所设方程得此时切线方程为 21x-20y+16=0.当直线的斜率不存在时,还有一条切线是 x=4.因此切线方程为 x=4 或 21x-20y+16=0.应用二:将圆 C 的方程 x2+y2-8y+12=0 配方后得到标准方程 x2+(y-4)2=4,则此圆的圆心为 C(0,4),半径为 2.(法一)过圆心 C 作 CD AB 交 AB 于点 D,则根据题意和圆的性质,得 即: +2=4.=|4+2|2+1,2+2=2=22,=12=2, (4+2)22+1解得 a=-7 或 a=-1.即直线 l 的
9、方程为 7x-y+14=0 或 x-y+2=0.(法二)联立方程组 消去 y,得( a2+1)x2+4(a2+2a)x+4(a2+4a+3)=0.+2=0,2+28+12=0,=- 16(4a+3)0,即 a- ,34设此方程的两根分别为 x1,x2,由韦达定理知 x1+x2=- ,x1x2= .4(2+2)2+1 4(2+4+3)2+1由 AB=2 = ,2 (2+1)(1+2)2412可求出 a=-7 或 a=-1,所以直线 l 的方程是 7x-y+14=0 或 x-y+2=0.应用三: - 因为 表示的几何意义是圆上的动点与(2,1)连线的斜率,所以33 33 12设 =k,即 kx-y
10、+1-2k=0,当直线与圆相切时 ,斜率 k 取最大值或最小值,此时12=1,解得 k= .所以 的最大值为 ,最小值为 - .|1+12|2+1 33 12 33 33基础智能检测1.B 因为圆心(0,0)到直线 x-y+1=0 的距离 d= 1,故直线与圆相交,又(0,0)不在直线上,12所以直线不过圆心 .2.D 因为点 P 在圆 C 上, kPC=- ,所以切线的斜率为 ,所以切线方程为 y- = (x-1),即333 3 33x- y+2=0.33.-3 或 由题设知圆心坐标为(1,0),因为直线与圆相切,所以 d= =r= ,解得3 3| 3+|2 3m= 或 -3 .3 34.解: kAB=-1,直线 AB 的方程为 y-2=-(x+1),即 x+y-1=0.故圆心(0,0)到 AB 的距离 d= = ,从而弦长 |AB|=2 = .|0+01|2 22 812 30全新视角拓展2 本题考查直线和圆的位置关系以及简单的平面几何知识 .2(法一)几何法:圆心到直线的距离为 d= = ,圆的半径 r=2,所以弦长为 l=2|02|2 2=2 =2 ;22 42 2(法二)代数法:联立直线和圆的方程 消去 y 可得 x2-2x=0,所以直线和=,2+(2)2=4圆的两个交点坐标分别为(2,2),(0,0),弦长为 =2 .(20)2+(20)2 2
