1、第 14课时 三视图、表面积、体积的综合应用 1.熟悉常见几何体的三视图,能将三视图还原为几何体 .2.能熟练应用常见几何体的体积、表面积公式求其体积和表面积 .3.能进行简单的球的外接或内切几何体的计算 .同学们,通过前面几节课的学习,我们会画一个几何体的三视图,也会画一个几何体的直观图,又学习了简单几何体和简单组合体的表面积和体积公式,那么把所有的知识串联起来呢?这节课我们就一起来探究解决它们之间的综合性问题,首先我们来巩固一下有关的知识 .问题 1:根据下面表格中的已知条件完成填空或绘图 .几何体 直观图 主(正)视图 左(侧)视图 俯视图三棱柱长方体三棱锥圆锥圆台问题 2:常见几何体的
2、侧面积、表面积公式1.柱体、锥体、台体的侧面积就是 各侧面面积 之和,表面积是 各个面的面积 之和,即侧面积与底面积之和 . 2.把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形,称为它的展开图,它的表面积就是 展开图 的面积 . 3.圆柱的侧面积公式是 S 柱侧 = 2 rl ,表面积公式是 S 柱 = 2 r(r+l) ;圆锥的侧面积公式是 S 锥侧 = rl ,表面积公式是 S 锥 = r(r+l) ;圆台的侧面积公式是 S 台侧=( r+r)l,表面积公式是 S 台 =( r2+r2+rl+rl). 4.半径为 R 的球的表面积为 4 R2 . 问题 3:常见几何体的体积公式1.长方体的体积公
3、式是 V=abc ,正方体的体积公式是 V=a3 ,圆柱的体积公式是 V= r2h .所有棱柱和圆柱的体积公式可以统一为 V 柱 =Sh ,其中 S 为底面积, h 为高 . 2.圆锥的体积公式是 V= r2h,棱锥的体积公式是 V= Sh.圆锥和棱锥的体积公式可以13 13统一为 ,其中 S 为底面积, h 为高 . 3.圆台的体积公式为 V= ( r2+rr+r2)h,棱台的体积公式为 V= (S+ +S)h,圆台和13 13 棱台的体积公式可以统一为 V 台 = (S+ +S)h,其中 S、 S 分别为上、下底的底面积, h 为13 高 .4.半径为 R 的球的体积为 . 1.一个正方体
4、的体积是 a,表面积是 2a,则 a 等于( ).A.3 B.6 C.27 D.542.圆柱的主(正)视图是一个边长分别为 2 和 3 的矩形,则圆柱的表面积为( ).A.8 B. C.20 D.8 或 212 2123.如图是某几何体的三视图,且主(正)视图、左(侧)视图、俯视图都是直角边长为 2 的等腰直角三角形,则该几何体的体积为 . 4.已知六棱柱 ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的侧棱与底面垂直,且底面为正六边形,对角面的面积为S,求六棱柱的侧面积 .三视图与表面积、体积的综合应用若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于 cm3. 几何体侧面展开问题如图所
5、示,在正三棱柱 ABC-A1B1C1中, AB=2,AA1=2,从顶点 B 沿棱柱侧面(经过棱 AA1)到达顶点 C1,与 AA1的交点记为 M.求:(1)正三棱柱侧面展开图的对角线长;(2)从 B 经过 M 到 C1的最短路线长及此时 的值 .1球的外接与内切几何体已知正方体的棱长为 a,求正方体的外接球的表面积和内切球的体积 .已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).A. B.3 C. D.683 103如图,侧棱长为 2 的正三棱锥 V-ABC 中, AVB= BVC= CVA=40,过 A 作截面 AEF,3则截面 AEF 的周长的最小值为 . 一个棱长都为 a 的直三
6、棱柱的六个顶点全部在同一个球面上,则该球的表面积为( ).A. a2 B.2 a2 C. a2D. a273 114 431.设正六棱锥的底面边长为 1,侧棱长为 ,则它的体积是 ( ).5A.6 B. C.2 D.23 3 32.若圆锥的侧面展开图是圆心角为 120,半径为 l 的扇形,则这个圆锥的表面积与侧面积的比是( ).A.32 B.21 C.43 D.533.有一个几何体的三视图及其尺寸如图,则该几何体的表面积为 . 4.求边长为 2 的正方形以过对边中点所在直线为旋转轴,旋转所成几何体的表面积 .(2013 年重庆卷)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).A. B.
7、C.200 D.2405603 5803考题变式(我来改编):第 14 课时 三视图、表面积、体积的综合应用 知识体系梳理问题 2:1.各侧面面积 各个面的面积2.展开图3.2 rl 2 r(r+l) rl r(r+l)4.4 R2问题 3:1.V=abc V=a3 V= r2h V 柱 =Sh2.V 锥 = Sh134. R343基础学习交流1.C 设正方体的棱长为 m,则 m3=a,6m2=2a,解得 m=3,a=27.2.D 圆柱的正(主)视图是矩形,则该矩形的两边分别是底面直径和母线,所以有两种情形:一是 r=1,l=3,此时表面积为 S=2 13+2 12=8;二是 r= ,l=2,
8、此时表面积为32S=2 2+2 ( )2= .32 32 2123. 作出该几何体的直观图,可发现是该几何体是个三棱锥,易求得底面积为 2,高为 2,所43以体积为 .434.解:设棱柱的底面边长为 a,高为 h.由题意可知 2ah=S,故 S 侧 =6ah=32ah=3S.重点难点探究探究一:【解析】此三视图所表示的几何体由一个直三棱柱截去一个三棱锥所得,故其体积 V= 345- 343=24(cm3).12 13 12【答案】24【小结】根据三视图正确地还原几何体是解决问题的关键,常见三视图的特征与几何体的对应关系如下:一般地,棱柱的三视图为两个平行四边形、一个多边形;棱锥的三视图为两个三
9、角形、一个多边形;棱台的三视图为两个梯形,一个多边形;圆柱的三视图为两个矩形、一个圆;圆锥的三视图为两个三角形、一个圆;圆台的三视图为两个等腰梯形、一个圆;球的三视图为三个圆 .探究二:【解析】沿侧棱 BB1将正三棱柱的侧面展开,得到一个矩形 BB1B1B(如图) .(1)矩形 BB1B1B1的长为 BB=6,宽为 BB1=2,所以正三棱柱侧面展开图的对角线长为 =2 .62+22 10(2)由侧面展开图可知:当 B,M,C1三点共线时,从 B 经过 M 到达 C1的路线最短 .所以最短路线长为 BC1= =2 .42+22 5显然 Rt ABMRt A1C1M,所以 A1M=AM,即 =1.
10、1所以从 B 经过 M 到 C1的最短路线长为 2 ,5此时 的值为 1.1【小结】几何体面上线段的最值问题,一般转化为侧面展开图问题解决,处理这类问题的过程中注意体会立体问题平面化的思想 .探究三:【解析】由正方体的对称性可知:正方体的外接球的半径为 a,S 外接球 =4 ( a)22 222=2 a2,内切球的半径为正方体的中心到面的距离,即 r= ,2V 内切球 = ( )3= a3.43 2 16问题求正方体的外接球半径是否正确?结论不正确,错误之处在于把正方体的面对角线当成了外接球直径,事实上外接球半径为正方体体对角线长的一半,即 R= a,32S 外接球 =4( a)2=3 a2.
11、32【小结】球的外接与内切几何体常与长方体结合考查,长方体的体对角线为外接球的直径,注意内切球的直径为正方体边长的一半 .球的外接与内切其他几何体问题也常转化为长方体问题解决 .思维拓展应用应用一:B 由题意,画出几何体的直观图(如图),利用对称性补形,可转化为高为 6 的半圆柱体,则所求几何体的体积为 (1 26)=3.故选 B.12应用二:6 沿着侧棱 VA 把正三棱锥 V-ABC 展开在一个平面内,如图 .则 AA即为截面 AEF 周长的最小值,且 AVA=340=120.在 VAA中,由余弦定理可得 AA=6,故答案为 6.应用三:A 如图,设 O1、 O2为直三棱柱两底面的中心,球心
12、 O 为 O1O2的中点 .又直三棱柱的棱长为 a,可知 OO1= a,AO1= a,设该球的半径为 R,则 R2=OA2=O +A = ,因此该直三12 33 21 217212棱柱外接球的表面积为 S=4 R2=4 = a2,故选 A.721273基础智能检测1.B 正六棱锥的高是 =2,底面面积是 1 6= ,所以体积为 V= 2= ,5112 32 332 13 332 3故选 B.2.C 设圆锥的底面半径为 r,则有 l=2 r,l= 3r,23 = = = .表侧 2+ 2+3232 433.24 由图可知此几何体是圆锥, r=3,l=5,h=4,所以 S 表 = 32+ 35=24 .4.解:所成的几何体是底面半径为 1,母线长为 2 的圆柱,所以 S 侧 =2 12=4, S 底= 12=,所以 S 表 =S 侧 +2S 底 =6 .全新视角拓展C 由三视图可知该几何体是直四棱柱,底面是等腰梯形,底面面积 S= (2+8)4=20,12几何体的体积 V=Sh=2010=200.选 C.
