1、对群上亚同态的几点注记第 38 卷第 4 期2004 年 12 月华中师范大学(自然科学版)J()URNAIOFCENTRAICHINANORMAlUNIVERSITY(Nat.Sci.)Vo1.38NO.4Dec.2004文章编号:10001190(2004)04 041503对群哑同态的几点注记刘宏伟(华中师范大学数学与统计学学院,武汉 430079)摘要:设 G,G 是两个同构的群,先给出了由群 G 的亚同态构造群 G 的亚同态的种方法,并且证明了群(上的亚同态与群 G 上的亚同态是一一对应的.再通过另外一种方法,简化了文献 E3中一个主要结果的证明.关键词:群;亚同态;亚同态核;群同构
2、中图分类号:O152.1 文献标识码:A1 引言YangBaxter 方程是杨振宁在研究量子力学可积问题和 Baxter 在研究经典统计力学中的另一个不同的可积问题时,从不同的角度分别在 1967年和 1972 年得到的,它与数学物理,Hopf 代数和量子群等学科有重要联系,因此寻找 YangBaxter方程在一个非空集合 x 上的非平凡解是一个有重要意义的研究课题.文献1研究了任意集合 X 上的 YangBaxter方程的解的情况.而群是带有特定运算并且运算满足特定条件的非空集合,它是代数学中的最基本也是最重要的概念之一(见文献 E2).文献 E3在将集合 x 限定为一个群时给出了这种特定条
3、件下的YangBaxter 方程的一个新解,进而在文献 E3中作者引入了群上亚同态的概念,并对群上亚同态的有关性质展开了研究,得出了一些有意义的结果.文献4,5分别给出了群上亚同态的几个例子以及有限单群的亚同态的刻画.本文在上述文献讨论的基础上继续展开对群上亚同态的研究,首先引入了群上亚同态核的概念,并且给出了群上亚同态核的一个刻画,从而简化了文献3中一个主要结果的证明,还将文献35中关于群上亚同态的讨论扩展到考虑不同群的亚同态之间的联系,并且得到了几个有意义的结果.先来看几个基本概念.定义 1 设 G 是群,-厂是 G 上的一个变换,若变换-厂满足f(xyf(x)一 f(x)-厂() 厂()
4、,V,?G,则称-厂是群 G 上的亚同态,简称亚同态,这里记():/(f().记群 G 上全体亚同态的集合为 M(G).显然M(G),因为 G 上的恒等变换就是一个亚同态.若-厂是群 G 上的同态,则显然有f(xyf(x)一 f(x)-厂()-厂(- 厂 ()一f()-厂 ()-厂(f().因此,群 G 上的同态一定是亚同态,但群 G 上的亚同态不一定是同态,如非交换群 G 上的变换f:GG;,VG,它是一个亚同态,但不是同态.记群 G 上的所有自同态的集合为 End(G),群G 上的所有自同构的集合为 Aut(G),则由上述讨论显然有Aut(G)End(G)M(G).一般而言,一个群 G 上
5、的亚同态-厂不一定将G 的单位元变成单位元,但如果-厂是 G 的一个亚同态,设 G 的单位元为,令 h()一 f(x)-厂(),VG,则可以验证 h 是 G 上的亚同态,并且 h(P)一,因此在后面的讨论中,可以假设群的亚同态将单位元映射为单位元.定义 2 设 G 是群,-厂是 G 上的一个亚同态,G 是群 G 的单位元,并且 f(e)一,称Ker(-厂) 一Gl/()一为亚同态-厂的核.收稿日期:20031211.作者简介:刘宏伟(1969 一),男,湖北广水人,讲师,博士,主要从事代数编码研究416 华中师范大学(自然科学版)第 38 卷2 主要结果及其证明关于群上亚同态的定义,有以下等价
6、条件.引理 13设 G 是群,厂是 G 到 G 的变换,则以下结论相互等价:(1)f(xyf(x)一)一厂()厂()()一,V,YG;(2)f(x 一 yf(x)一厂()一厂 ()(),V,YG;(3)f(xy)()一厂()厂(),V,YG.在引言中,已知一个群上的亚同态不一定是同态,那么在什么条件下,一个群上的亚同态是同态呢?有下面显然成立的结论.命题 1 设 G 是群,厂是 G 上的亚同态,则 f是 G 上的同态当且仅当V,YG,有 f(yf(x)一厂() 厂 (厂().文献2引入了群 G 上亚同态的相关子群 ,并且给出了群 G 上亚同态的相关子群的一个刻画,进而通过相关子群给出了 G 的
7、单位元的全原像的一个刻画.本文直接利用引理 1 给出了文献3的一个主要结果(即定理 7)的非常简洁的证明.定理 1 设 G 是群,厂是 G 上的亚同态,则Ker(厂)G.证明先证 Ker(厂)是 G 的子群.由于Ker(厂),故 Ker(厂) .对任意的,YKer(厂),有厂 ()一厂()一 P,从而由引理 1(3)f(xy)一厂()厂 ()厂(厂()一一 P?P?厂(P)一一 P,因此Ker(厂).另一方面,由于 f(x)一,利用引理 1(2),有f(x)一厂()一厂()厂(P)厂(厂()一厂(z)?P?厂(P) 一 P,即Ker(厂),因此 Ker(厂) G.下证 Ker(厂)是 G 的正
8、规子群.任意取 gG,并注意到厂()一,则有f(gxg)一厂(gxg(f(g)厂(g)一厂(g)f(xgf(g)(g)一厂(g)一 f(xgf(g)一厂()一)(g)一f(g)厂()f(gf(g)()?(g)一厂(g)f(gf(g)(g)一厂(g)一厂(g)f(f(g)一厂(g)(g) 一?(g)一厂(g)厂(g)厂(P)一 P?PP,因此 gxgKer(厂),从而 Ker(厂)G.由于亚同态是一个群 G 到它自己的满足特定条件的变换,因此前面有关群上亚同态的所有文献中,都是考虑一个群 G 上的亚同态,而没有考虑不同群之间的亚同态之间的关系.在下面的定理中,将把对群上亚同态的研究扩展到任意同构
9、的群之间的亚同态的联系上.定理 2 设 G 和 G 是群,并设:GG 为群同构,厂M(G)是 G 的任意一个亚同态,则存在 G 上的亚同态厂满足一厂弘证明令 f 一矿,则厂是 G 上的变换.任取,YG,由于是从 G 到 G 上的同构,因此是从 G 到 G 的同构,并注意到厂是亚同态,有尸(xyf()一(xy(fqf()一()()(矿()一()()(咖一()一)一()()(厂 ()一厂() 厂()(厂 (厂()一(x)fqf()(厂(厂()一矿(x)fqf()(厂()一(x)fqf()(矿(矿()一厂()尸()(尸( 厂()_.,由定义 1,得到 f 一是 G 的一个亚同态,并且奄一 f.推论
10、1 设厂是 G 上的亚同态,G 与 G 同构,任取:GG 为群同构,则矿为 G 上的亚同态.特别的,取 G 一 G,有推论 2 设 G 是一个群,厂是 G 的一个亚同态,Aut(G), 则矿是 G 上的一个亚同态.注解上述推论 2 就是文献4的定理 6.若记 lXl 表示集合 X 的基数,则有推论 3 设 G 和 G 是群,M(G)和 M(G)分别表示群 G 和 G 的所有亚同态组成的集合,如果 G同构于 G,则 lM(G)llM(G)1.证明设:GG 为群同构,由推论 1,则给出集合 M(G)和 M(G)之间的一个映射 r 为r:M(G)一 M(G),一,显然,r 是双射,故结论成立.下面具
11、体给出一个由 G 的亚同态构造出的 G的亚同态的形式.例若厂:GG,口,VG,这里口是 G第 4 期刘宏伟:对群上亚同态的几点注记 417中任意一个确定的元,则容易验证厂是 G 上的亚同态.对任意的:GG 为群同构.此时有-1 为G 上的变换,VYG,有(.).)一(.).)一(.).)n)一(.).)口 )一仰(.).)n)一.).n).因此由推论 1 知,矿:G 一 G,.).一.).(n),VYG 是 G 上的一个亚同态.参考文献:1DrinfeldVG.OnsomeunsolvedproblemsinquantumgrouptheoryJ3.LectureNotesinMath,199
12、2.1510:18.21HungerfordTW.AlgebraEM.NewYork:SpringerVerlag.1974.3顾沛.集合上的 YangBaxter 方程的又一个解与“群上的亚同态“J.科学通报 .199742(15):16o21605.4林磊.顾沛 .群上亚同态的一些例子J.华东师范大学(自然科学版).2000.24(3):711.Es3 钱素平.有限单群的亚同态J.苏州大学(自然科学版),2002.18(2):1820.RemarksonmetahomomorphismofgroupLIUHong-wei(SchoolofMathematicsandStatistics,C
13、entralChinaNormalUniversity,Wuhan430079)Abstract:LetGandGbetWOgroupsrespectively,andGisisomorphictoG.ThepapergivesonemethodtoconstructthemetahomomorphismofgroupGbyusingthatofgroupG,anditprovesthatthereexistsaonetoonecorrespondencebetweenthemetahomomorphismsofgroupGandthatofgroupG.Theproofofonemainresultinreferenee3isalsosimplified.Keywords:group;metahomomorphism;kernelofmetahomomorphism;isomorphismofgroup
