1、32 函数模型及其应用32.1 几类不同增长的函数模型学习目标 1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质，并体会其增长快慢；理解直线上升，对数增长，指数爆炸的含义.2.会分析具体的实际问题，建模解决实际问题预习导引1三种函数模型的性质函数性质y ax(a1)ylog ax(a1)y xn(n0)在(0，)上的增减性单调递增 单调递增 单调递增图象的变化随 x 增大逐渐变陡随 x 增大逐渐变缓随 n 值而不同2.三种函数的增长速度比较(1)在区间(0，)上，函数 y ax(a1)， ylog ax(a1)和 y xn(n0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上(2)在区间(0，)上随
2、着 x 的增大， y ax(a1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y xn(n0)的增长速度，而 ylog ax(a1)的增长速度则会越来越慢(3)存在一个 x0，使得当 x x0时，有 logax xn ax.要点一 函数模型的增长差异例 1 (1)当 x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( )A y10 000 x B ylog 2xC y x1 000 D y x(e2)(2)四个变量 y1， y2， y3， y4随变量 x 变化的数据如下表：x 1 5 10 15 20 25 30y1 2 26 101 226 401 626 901y2 2 32 1 024 32 76
3、8 1.05106 3.36107 1.07109y3 2 10 20 30 40 50 60y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907关于 x 呈指数函数变化的变量是_答案 (1)D (2) y2解析 (1)由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当 x 越来越大时，函数 y x增长速(e2)度最快(2)以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的从表格中可以看出，四个变量 y1， y2， y3， y4均是从 2 开始变化，变量 y1， y2， y3， y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量 y2的增长速度最快，可知变量 y2关于 x 呈指数函数变化规律方法
4、在区间(0，)上，尽管函数 y ax(a1)， ylog ax(a1)和 y xn(n0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上随着 x 的增大，y ax(a1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于 y xn(n0)的增长速度，而ylog ax(a1)的增长速度则会越来越慢，总会存在一个 x0，当 x x0，就有logax xn ax.跟踪演练 1 如图给出了红豆生长时间 t(月)与枝数 y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( )A指数函数： y2 t B对数函数： ylog 2tC幂函数： y t3 D二
5、次函数： y2 t2答案 A解析 由题中图象可知，该函数模型为指数函数要点二 几种函数模型的比较例 2 某汽车制造商在 2013 年初公告：随着金融危机的解除，公司计划 2013 年生产目标定为 43 万辆已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：年份 2010 2011 2012产量 8(万) 18(万) 30(万)如果我们分别将 2010,2011,2012,2013 定义为第一、二、三、四年现在你有两个函数模型：二次函数模型 f(x) ax2 bx c(a0)，指数函数模型 g(x) abx c(a0， b0， b1)，哪个模型能更好地反映该公司年销量 y 与年份 x 的关系？解 建立年销
6、量 y 与年份 x 的函数，可知函数必过点(1,8)，(2,18)，(3,30)(1)构造二次函数模型 f(x) ax2 bx c(a0)，将点坐标代入，可得Error! 解得 a1， b7， c0，则 f(x) x27 x，故 f(4)44，与计划误差为 1.(2)构造指数函数模型 g(x) abx c(a0， b0， b1)，将点坐标代入，可得Error!解得 a ， b ， c42.1253 65则 g(x) x42，1253 (65)故 g(4) 44244.4，与计划误差为 1.4.1253 (65)由(1)(2)可得， f(x) x27 x 模型能更好地反映该公司年销量 y 与年份
7、 x 的关系规律方法 1.此类问题求解的关键是首先利用待定系数法求出相关函数模型，也就是借助数据信息，得到相关方程，进而求出待定参数2理解“模型能更好反映该公司年销量 y 与年份 x 的关系”的含义，在此基础上利用既定值来检验模型的优劣跟踪演练 2 函数 f(x)lg x， g(x)0.3 x1 的图象如图(1)指出 C1， C2分别对应图中哪一个函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对 f(x)， g(x)的大小进行比较)解 (1)由函数图象特征及变化趋势，知曲线 C1对应的函数为 g(x)0.3 x1，曲线 C2对应的函数为 f(x)lg x，(2)当 x(0， x1)时
8、， g(x) f(x)；当 x( x1， x2)时， g(x) f(x)；当 x( x2，)时， g(x) f(x)函数 g(x)0.3 x1 呈直线增长，函数 f(x)随着 x 的逐渐增大，其函数值变化的越来越慢，为“蜗牛式”增长.1当 x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( )A y100 x B ylog 100xC y x100 D y100 x答案 D解析 几种函数模型中，指数函数增长最快，故选 D.2当 2 x4 时，2 x， x2，log 2x 的大小关系是( )A2 x x2log 2x B x22 xlog 2xC2 xlog 2x x2 D x2log 2x2
9、x答案 B解析 方法一 在同一平面直角坐标系中分别画出函数 ylog 2x， y x2， y2 x，在区间(2,4)上从上往下依次是 y x2， y2 x， ylog 2x 的图象，所以 x22 xlog 2x.方法二 比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法可取 x3，经检验易知选 B.3某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长 10.4%，要增长到原来的 x 倍，需经过 y 年，则函数 y f(x)的图象大致是( )答案 D解析 设该林区的森林原有蓄积量为 a，由题意， ax a(10.104) y，故 ylog 1.104x(x1)， y f(x)的图象大致为 D 中图象4某
10、种动物繁殖数量 y(只)与时间 x(年)的关系为 y alog2(x1)，设这种动物第一年有100 只，到第 7 年它们发展到( )A300 只 B400 只C500 只 D600 只答案 A解析 由已知第一年有 100 只，得 a100.将 a100， x7 代入 y alog2(x1)，得 y300.5某种产品每件 80 元，每天可售出 30 件，如果每件定价 120 元，则每天可售出 20 件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为_答案 y x50(0 x200)14解析 设解析式为 y kx b，由Error! 解得 k ， b50，14 y x50(0 x200)14三种
11、函数模型的选取(1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型(3)幂函数模型 y xn(n0)，则可以描述增长幅度不同的变化： n 值较小( n1)时，增长较慢； n 值较大( n1)时，增长较快一、基础达标1下列函数中，增长速度最慢的是( )A y6 x B ylog 6x C y x6 D y6 x答案 B解析 对数函数增长的越来越慢，故选 B.2甲从 A 地到 B 地，途中前一半路程的行驶速度是 v1，后一半路程的行驶速度是v2(v1 v2)，则甲从 A 地到 B 地走过的路程 s 与时间 t 的关系图示为
12、( )答案 B解析 v1 v2，前半段路程用的时间长3据报道，某淡水湖的湖水在 50 年内减少了 10%，若按此规律，设 2013 年的湖水量为m，从 2013 年起，经过 x 年后湖水量 y 与 x 的函数关系为( )A y0.9 B y(10.1 )m50x50xC y0.9 m D y(10.1 50x)m答案 C解析 设每年湖水量为上一年的 q%，则( q%)500.9， q%0.9 .501 x 年后的湖水量为 y0.9 m.x4某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为 0.2 万公顷、0.4 万公顷和 0.76 万公顷，则沙漠增加数 y(万公顷)关于年数
13、x(年)的函数关系较为近似的是( )A y0.2 x B y (x22 x)110C y D y0.2log 16x2x10答案 C解析 将 x1,2,3， y0.2,0.4,0.76 分别代入验算5已知某工厂生产某种产品的月产量 y 与月份 x 满足关系 y a(0.5)x b，现已知该厂今年 1 月、2 月生产该产品分别为 1 万件、1.5 万件则此厂 3 月份该产品产量为_万件答案 1.75解析 由Error!得Error! y20.5 x2，所以 3 月份产量为 y20.5 321.75 万件6在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示现给出下
14、列说法：前 5 min 温度增加的速度越来越快；前 5 min 温度增加的速度越来越慢；5 min 以后温度保持匀速增加；5 min 以后温度保持不变其中正确的说法是_答案 解析 因为温度 y 关于时间 t 的图象是先凸后平，即 5 min 前每当 t 增加一个单位增量 t，则 y 相应的增量 y 越来越小，而 5 min 后是 y 关于 t 的增量保持为 0，则正确7一家庭(父亲、母亲和孩子们)去某地旅游，甲旅行社说：“如果父亲买全票一张，其余人可享受半票优惠 ”乙旅行社说：“家庭旅行为集体票，按原价 优惠 ”这两家旅行社的23原价是一样的试就家庭里不同的孩子数，分别建立表达式，计算两家旅行
15、社的收费，并讨论哪家旅行社更优惠解 设家庭中孩子数为 x(x1， xN *)，旅游收费 y，旅游原价为 a.甲旅行社收费： y a (x1) a (x3) a；12 12乙旅行社收费： y (x2) a.23 (x2) a (x3) a (x1) a，23 12 16当 x1 时，两家旅行社收费相等当 x1 时甲旅行社更优惠二、能力提升8若 x(1,2)，则下列结论正确的是( )A2 x x lg x B2 xlg x x21 21C x 2 xlg x D x lg x2 x1答案 A解析 x(1,2)，2 x2. x (1， )，212lg x(0,1)2 x x lg x.219.向高为
16、 H 的水瓶内注水，注满为止，如果注水量 V 与水深 h 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是( )答案 B解析 取 OH 的中点(如图) E 作 h 轴的垂线，由图知当水深 h 达到容量一半时，体积 V 大于一半易知 B 符合题意10在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度 v m/s 和燃料质量 M kg、火箭(除燃料外)质量 m kg 的关系是 v2 000ln ，则当燃料质量是火箭质量的_倍时，火(1Mm)箭的最大速度可达 12 km/s.答案 e 61解析 由题意 2 000ln 12 000.(1Mm)ln 6，从而 e 61.(1Mm) Mm11大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，
17、游回产地产卵记鲑鱼的游速为 V(m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为 Q，研究中发现 V 与 log3 成正比，且当 Q900 时， V1.Q100(1)求出 V 关于 Q 的函数解析式；(2)计算一条鲑鱼的游速是 1.5 m/s 时耗氧量的单位数解 (1)设 V klog3 ，Q100当 Q900 时， V1，1 klog3 ，900100 k ， V 关于 Q 的函数解析式为 V log3 .12 12 Q100(2)令 V1.5，则 1.5 log3 ， Q2 700，12 Q100所以，一条鲑鱼的游速是 1.5 m/s 时耗氧量为 2 700 个单位三、探究与创新12某工厂生产某种产品，每
18、件产品的出厂价为 50 元，其成本价为 25 元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有 0.5 立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水进行处理，并准备实施方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理 1 立方米污水所用原料费 2 元，并且每月排污设备损耗费为 30 000 元；方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理 1 立方米污水需付 14 元的排污费问：(1)工厂每月生产 3 000 件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明(2)若工厂每月生产 6 000 件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？解 设工厂每月生产 x 件产品
19、时，依方案一的利润为 y1，依方案二的利润为 y2，由题意知y1(5025) x20.5 x30 00024 x30 000，y2(5025) x140.5 x18 x.(1)当 x3 000 时， y142 000， y254 000， y1 y2，应选择方案二处理污水(2)当 x6 000 时， y1114 000，y2108 000， y1 y2，应选择方案一处理污水13我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系声音的强度用瓦/米2(W/m2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用 L1表示，它们满足以下公式： L110 lg (单位为分贝， L10，其中 I0110 12
20、，是人们平均能听到的最小强度，是听觉的II0开端)回答下列问题：(1)树叶沙沙声的强度是 11012 W/m2，耳语的强度是 11010 W/m2，恬静的无线电广播的强度是 1108 W/m2，试分别求出它们的强度水平；(2)某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在 50 分贝以下，试求声音强度 I 的范围为多少？解 (1)由题意知：树叶沙沙声的强度水平为 L210 lg 10 lg 10(分贝)；I2I0耳语的强度水平为L310 lg 10 lg10 220(分贝)；I3I0恬静的无线电广播的强度水平为L410lg 10lg10 440(分贝)；I4I0(2)由题意知 0 L150，即 010lg 50，II0所以 1 10 5，II0即 11012 I110 7 .所以新建的安静小区的声音强度 I 的范围为11012, 1107 )
