1、32 对数函数321 对数第 1 课时 对数的概念1理解对数的概念2能熟练地进行指数式与对数式的互化3掌握常用对数与自然对数的定义4了解对数恒等式1对数的概念一般地，如果 ab N(a0， a1)，那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数，记为logaN b，其中 a 叫做对数的底数， N 叫做真数指数式和对数式的关系：如图所示对数式 logaN 可看作一个记号，表示关于 x 的方程 ax N(a0， a1)的解；也可以看作一种运算，即已知底为 a(a0， a1)，幂为 N，求幂指数的运算，因此，对数式 logaN又可看作幂运算的逆运算【做一做 11】将对数式 log2325 化成指数式为_答
2、案：2 532【做一做 12】方程 3x4 的解为_答案： xlog 342对数的性质(1)0 和负数没有对数；(2)1 的对数是 0，即 loga10；(3)底数的对数等于 1，即 logaa1；(4) N；loga(5)logaam m.【做一做 2】log 216log aa2log b1_.答案：63常用的两种对数(1)以 10 为底的对数叫做常用对数，并把 log10N 简记为 lg_N，如 log102 记为 lg 2，log 105 记为 lg 5 等(2)在科学技术中，常使用以无理数 e2.718 28为底数的对数，以 e 为底数的对数称为自然对数正数 N 的自然对数 loge
3、N 一般简记为 ln_N，如 loge2 记为 ln 2，log e5 记为 ln 5 等【做一做 3】计算 lg 10_，ln e_.答案：1 1对数式与指数式有何关系？在对数符号 logaN 中，为什么规定 a0， a1， N0 呢？剖析：从对数的概念不难发现无论是指数式 ab N，还是对数式 logaN b 都反映的是a， b， N 三数之间的关系在对数符号 logaN 中，若 a0，则 N 为某些值时，log aN 不存在，如 log(2) 8 不存在若 a0，则 N 不为 0 时，log aN 不存在； N 为 0 时，log aN 可以为任何正数，不惟一若 a1，则 N 不为 1
4、时，log aN 不存在； N 为 1 时，log aN 可以为任何实数，不惟一因此规定 a0， a1.因为 logaN b ab N，在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因此 N0.题型一 指数式、对数式之间的互化【例 1】(1)将下列指数式写成对数式：5 4625；3 2 ； 2 16.19 (14)(2)将下列对数式化成指数式： 3；log 101 0003.12log8分析：由对数的定义，将指数式与对数式互化，得 ab N blog aN.解：(1)5 4625，log 56254；3 2 ，log 3 2；19 19 2 16， 2.(14) 14log6(2) 3， 3 8；12
5、l8(12)log 101 0003，10 31 000.【例 2】求下列各式的值：(1)log2( )；6 42 6 42(2) .(1)log分析：首先对真数进行化简，找出真数与底数的关系解：(1)原式log 2 log 2(2 )(2 ) 2 2 2 2 2 2 2 2log 24log 2222.(2)原式 .(1)2log+) (21)log+ (21)log=反思：对于双重根号的二次根式，我们可用两种方法进行化简方法一：配方法，如 1.3 22 2 22 1 2 2 22 1 2 1 2 2方法二：换元法，如设 x，6 42 6 42则 x264 2 64 16.2 36 32 2
6、从而 x4.题型二 有关对数式的运算【例 3】求下列各式的值：(1)log381；(2)lg 0.001；(3)log 432；(4)4log 23.分析：将对数式转化为指数式，求解指数方程解：(1)设 log381 x，则 3x81，即 3x3 4， x4，所以 log3814.(2)设 lg 0.001 x，则 10x0.001，即 10x10 3 ，所以 x3.所以 lg 0.0013.(3)设 log432 x，则 4x32,2 2x2 5， x ，52所以 log432 .52(4) 3 29.2log3log3l 题型三 指数方程【例 4】解下列方程：(1) ；(2)2 x2 x
7、.ex e xex e x 35 103分析：因 ax与 a x互为倒数，所以本题可用换元法求解解：(1)原方程可化为 5ex5e x3e x3e x，即 ex4e x，e x2(负值舍去)，所以 xln 2.(2)设 2x t，则原方程可化为 t ，1t 1033t210 t30，解得 t13， t2 ，13即 2x3 或 2x ，13所以 xlog 23 或 xlog 2 .131 若(8 y1) 2| x16 y|0，则 logyx 的值是_解析：由条件得 y ， x2，从而设 logyx z，得 z2， z .18 (18) 13答案：132 设 a 表示 的小数部分，则 log2a(
8、2a1)的值是_13 5解析：因为 ，所以 a .13 5 3 54 5 14设 log2a(2a1) x，则由(2 a)x2 a1，得 x ，解得 x1.(5 12 ) 5 12答案：13 求下列各式的值：(1)log247； (2)lg ； (3)log 3(81 )5100 3解：(1)log 24714；(2)lg ；510025(3)log3(81 ) x，则 3x81 3 392所以 log3(81 ) .3924 求下列各式中 x 的值(1)logx42； (2)log 3 (log3x)0.1log解：(1)由条件得 x24， x2.(2) (log3x)1，log 3x ， .1log13 13 135 求下列各式中 x 的值(1) ； (2)2 2x1 52 x30.3x 3 x3x 3 x 54解：(1)原方程可化为 3x93 x， x2 x， x1.(2)原方程可化为(2 x1)(22 x3)0，即 2x1 或 2x ， x0 或 xlog 2 .32 3
