1、章末过关检测卷(一)第一章 解三角形(测试时间：120 分钟 评价分值：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知三角形的边长分别为 3 、6、3 ，则它的最大内角的度数是( )2 10A90 B120 C135 D150解析：由大边对大角得：cos .（ 32） 2 62 （ 310） 22326 22 34答案： C2(2014广州综合测试)在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若C2 B，则 为( )cbA2sin C B2cos B C2sin B D2cos C解
2、析：由于 C2B，故 sin C sin 2B2 sin Bcos B，所以 2 cos B，由正弦定理可得 2 cos B，故选 B.sin Csin B cb sin Csin B答案： B3在 ABC 中，已知 a ， b2， B45，则角 A( )2A30或 150 B60或 120 C60 D30解析：由正弦定理 得， sin A sin B sin 45 ，又因为 ba，asin A bsin B ab 22 12故 A30.答案： D4(2014昆明一模)已知 ABC 中，内角 A， B， C 所对边分别为 a， b， c，若A ， b2 acos B， c1，则 ABC 的面积
3、等于( ) 3A. B. C. D. 32 34 36 38解析：由正弦定理得 sin B2 sin Acos B，故 tan B2 sin A2 sin ，又 3 3B(0， )，所以 B ，则ABC 是正三角形，所以 SABC bcsin A . 3 12 34答案： B5在 ABC 中， a， b， c 分别是 A， B， C 的对边长，若 0，则 ABC( )a2 b2 c22abA一定是锐角三角形 B一定是直角三角形 C一定是钝角三角形 D是锐角或钝角三角形解析：由已知及余弦定理得 cos C0，C 是钝角，故选 C.答案： C6在 200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角
4、分别为 45和 60，则塔高为( )A. m B. m 200（ 3 3）3 40033C. m D. m 200（ 3 3）3 40023A7已知锐角三角形 ABC 的面积为 3 ， BC4， CA3，则角 C 的大小为( )3A75 B60 C45 D30解析：由 SABC BCCAsinACB3 ，得 sinACB ，而ABC 为锐角三角形，12 3 32所以ACB . 3答案： B8.某观察站 C 与两灯塔 A、 B 的距离分别为 300 m 和 500 m，测得灯塔 A 在观察站 C北偏东 30，灯塔 B 在观察站 C 南偏东 30处，则两灯塔 A、 B 间的距离为( )A400 m
5、 B500 m C700 m D800 mC9在 ABC 中， a b10 c2(sin Asin B10sin C)， A60，则 a( )A. B2 C4 D不确定3 3解析：由已知及正弦定理得 2，a2 sin A2 sin 60 ，故选 A.asin A 3答案： A10(2014新课标全国卷)钝角三角形 ABC 的面积是 ， AB1， BC ，则 AC( )12 2A5 B. C2 D15解析：由面积公式得： sin B ，解得 sin B ，所以 B45或 B135，12 2 12 22当 B45时，由余弦定理得：AC 2122 cos 451，所以 AC1，又因为2AB1，BC
6、，所以此时ABC 为等腰直角三角形，不合题意，舍去；所以 B135，由2余弦定理得：AC 2122 cos 1355，所以 AC ，故选 B.2 5答案： B11在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 A ， B ， a3，则 c 6 12的值为( )A3 B. C3 D6232 3A12在锐角 ABC 中， AB3， AC4，其面积 S ABC3 ，则 BC( )3A5 B. 或 C. D. 13 37 37 13D二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上)13在 ABC 中，若 AB ， AC5，且 cos C ，则
7、BC_5910解析：设 BCx，则( )2x 25 225x cos Cx 29x25，即5x29x200.x4 或 x5.经检验 x4 或 x5 符合题意BC4 或 5.答案：4 或 514.已知 a、 b、 c 是 ABC 中角 A、 B、 C 所对的边， S 是 ABC 的面积，若a4， b5， S5 ，则 c 的长度为_3或21 6115在 ABC 中，角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c，若 a1， b ， c ，则7 3B_解析：由余弦定理得：cos B a2 c2 b22ac 12 （ 3） 2 （ 7） 2213 ，所以 B .323 32 56答案：5616(2
8、014新课标全国卷)已知 a， b， c 分别为 ABC 三个内角 A， B， C 的对边，a2，且(2 b)(sin Asin B)( c b)sin C，则 ABC 面积的最大值为_解析：由 a2，且(2b)( sin A sin B)(cb) sin C，故(ab)( sin A sin B)(cb) sin C，又根据正弦定理，得(ab)(ab)(c b)c，化简得，b 2c 2a 2bc，故 cos A ，所以 A60，b2 c2 a22bc 12又 a24b 2c 2bc2bcbcbc，即 bc4，故 SBAC bcsin A .12 3答案： 3三、解答题(本大题共 6 小题，共
9、 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 12 分)在 ABC 中，角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c，且 cos A ，若 b2， ABC 的面积为 3，求 tan C.45解析：由 cos A 0，知 sin A ，45 35ABC 的面积为 S bcsin A3，得 c5，12由正弦定理得： ，csin C 2sin Bsin B sin (AC) sin Acos C cos Asin C，所以 5 2 sin C，得(35cos C 45sin C)2sin C3 cos C，所以 tan C .3218(本小题满分 12 分)在 ABC
10、中，已知 2a b c，sin 2Asin Bsin C，试判断 ABC 的形状 解析：由正弦定理得，a 2bc，又 2abc，4a 2(bc) 2，4bc(bc) 2，即(bc) 20，bc，又 2abc 得 2a2b，ab，即 abc.ABC 为等边三角形19.(本小题满分 12 分)已知 ABC 的面积为 10 cm2， a b13， C 为 60，求这个3三角形的各边长解析：S absin C，10 absin 60，12 3 12即 ab40，ab13，a5，b8 或 a8，b5，c 2a 2b 22ab cos C49，c7.故三角形三边长为 a5 cm，b8 cm，c7 cm 或
11、 a8 cm，b5 cm，c7 cm.20(本小题满分 12 分)如图，甲船在 A 处、乙船在甲船正南方向距甲船 20 海里的 B处，乙船以每小时 10 海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时 8 海里的速度由 A处向南偏西 60方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？解析：如图，设经过 x 小时后，甲船和乙船分别到达 C、D 两点则 AC8x，ADABBD2010xCD 2AC 2AD 22ACAD cos 60(8x) 2(2010x) 216x(2010x)12244x 2560x400244 .(x7061)2 4 80061当 CD2取得最小值时，CD 取得最小值当 x
12、 时，CD 取得最小值7061因此经过 小时甲、乙两船相距最近706121.(本小题满分 12 分)(2014北京卷)如图，在 ABC 中， B ， AB8，点 D 在 3BC 边上，且 CD2，cos ADC .17(1)求 sin BAD；(2)求 BD， AC 的长分析：(1)由条件，根据 sin2 cos21，求 sinADC，再由两个角的差的正弦公式求 sinBAD；(2)根据正弦定理求出 BD，再由余弦定理求 AC.解析：(1)在ADC 中，因为 cosADC ，所以 sinADC ，所以17 437sinBAD sin(ADCB) sinADC cosB cosADC sinB
13、.437 12 17 32 3314(2)在ABD 中，由正弦定理得BD 3，ABsin BADsin ADB83414437在ABC 中由余弦定理得 AC2AB 2BC 22ABBC cos B8 25 2285 49，12所以 AC7.22(本小题满分 10 分)(2014湖南卷)如图，在平面四边形 ABCD 中，AD1， CD2， AC .7(1)cos CAD 的值；(2)若 cos BAD ，sin CBA ，求 BC 的长714 216分析：(1)题目已知三角形 ACD 的三条边，利用CAD 的余弦定理即可得到该角的余弦值(2)利用(1)问得到的CAD 的余弦结合正余弦之间的关系即
14、可求得该角的正弦值，再利用正余弦之间的关系即可得到BAD，而CAD 与BAD 之差即为BAC，则利用正弦的和差角公式即可得到角BAC 的正弦值，再利用三角形 ABC 的正弦定理即可求的 BC 边长解析：(1)由DAC 关于CAD 的余弦定理可得cosCAD ，所以 cosCAD .AD2 AC2 DC22ADAC 1 7 4217 277 277(2)因为BAD 为四边形内角，所以 sinBAD0 且 sinCAD0，则由正余弦的关系可得sinBAD ，1 cos2 BAD32114sinCAD ，1 cos2 CAD217再由正弦的和差角公式可得sinBAC sin(BADCAD) sinBAD cosCAD sinCAD cosBAD 32114 277 217 ( 714) ，337 314 32再由ABC 的正弦定理可得 BC 3.ACsin CBA BCsin BAC 7(216) 32
