1、本章回顾识结构点回放1三角形中的边角关系设ABC 中，边 a，b，c 的对角分别为 A，B，C.(1)三角形内角和定理ABC .(2)三角形中的诱导公式sin(AB )sin C，cos( AB)cos C，tan(AB) tan C，sin cos ，cos sin ，A B2 C2 A B2 C2tan cot .A B2 C2(3)三角形中的边角关系abAB ；abA B；abc，bca，c a b.(4)三角形中几个常用结论在ABC 中，abcos Cccos B(其余两个略)；在ABC 中，sin Asin BAB；在ABC 中，tan Atan Btan C tan Atan Bt
2、an C.2正弦定理(1)正弦定理在ABC 中，角 A，B ，C 的对边边长分别为 a，b，c，则 2R .asin A bsin B csin C其中 R 是ABC 外接圆半径(2)正弦定理的变形公式正弦定理反映了三角形的边角关系它有以下几种变形公式，解题时要灵活运用a2Rsin A，b2Rsin B，c2R sin C；sin A ，sin B ，sin C ；a2R b2R c2Rsin Asin Bsin Cabc； ， ， .sin Asin B ab sin Bsin C bc sin Csin A ca3余弦定理(1)余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它
3、们夹角的余弦的积的两倍，即a2b 2c 22bccos A；b2a 2c 22accos B；c2a 2b 22abcos C.(2)余弦定理的推论 cos A ；b2 c2 a22bccos B ；a2 c2 b22accos C .a2 b2 c22ab4三角形的面积三角形面积公式S aha bhb chc；12 12 12S absin C acsin B bcsin A；12 12 12S (abc)r (r 为ABC 内切圆半径)；12S (R 为ABC 外接圆半径 )；abc4RS pp ap bp c.(其 中 p 12a b c)5解三角形的常见类型及解法在三角形的六个元素中，
4、若知道三个，其中至少一个元素为边，即可求解该三角形，按已知条件可分为以下几种情况：已知条件 应用定理 一般解法一边和两角(如 a，B，C) 正弦定理由 ABC 180，求角 A；由正弦定理求出 b 与 c.在有解时只有一解两边和夹角 余弦定理 由余弦定理求第三边 c；由正弦定(如 a，b，C) 正弦定理 理求出小边所对的角；再由ABC 180求出另一角在有解时只有一解三边(a，b，c) 余弦定理由余弦定理求出角 A、B；再利用ABC 180，求出角 C.在有解时只有一解两边和其中一边的对角(如 a，b，A)正弦定理余弦定理由正弦定理求出角 B；由AB C180，求出角 C；再利用正弦定理或余弦
5、定理求 c.可有两解，一解或无解 .6已知两边及一边对角解三角形，解的个数的判断在ABC 中，以已知 a，b，A 为例判断方法如下表：A 为锐角图形关系式 a bsin A bsin Ab ab ab ab解个数 一解 无解 一解 无解想方法一、构建方程(组)解三角问题例 1 如图所示，设 P 是正方形 ABCD 内部的一点，P 到顶点 A、B、C 的距离分别是 1,2,3，求正方形的边长解 设边长为 x，x 0，在ABP 中，cosABP ，x2 22 124x x2 34x在CBP 中，cosCBP ，x2 22 324x x2 54x又 cos2ABPcos 2CBP 1， 2 21.(
6、x2 34x ) (x2 54x )x 252 或 x252 .所以，x ，2 2 522即正方形的边长为 .522例 2 如图所示，测量人员沿直线 MNP 的方向测量，测得塔尖 A 处的仰角分别是AMB 30 ， ANB 45 ， APB 60 ，且 MNPN500 m，求塔高 AB.分析 设 ABh，则 MB，NB，PB 都可用 h 来表示，在底面BMP 中，MNPN500 m，借助MNB 与MPB，利用公共角PMB，结合余弦定理的推论得出方程可求解解 设 ABh，AB MB ， ABNB，ABPB ，又AMB 30，ANB 45，APB 60 ，MB h，NBh，PB h.333在MPB
7、 中， cosPMBMP2 MB2 BP22MPMB .1 0002 3h2 13h221 0003h在MNB 中，cosNMB MN2 MB2 BN22MNMB .5002 3h2 h225003h .1 0002 83h22 0003h 5002 2h21 0003h整理，得 h250 .塔高 AB 为 250 m.6 6二、构建目标函数解三角问题例 3 如图所示，已知O 的半径是 1，点 C 在直径 AB 的延长线上，BC1，点 P 是O 上半圆上的一个动点，以 PC 为边作等边三角形 PCD，且点 D 与圆心分别在 PC 的两侧(1)若POB，试将四边形 OPDC 的面积 y 表示为关
8、于 的函数；(2)求四边形 OPDC 面积的最大值分析 四边形 OPDC 可以分成 OPC 与PCD.S OPC 可用 OPOCsin 表示；而求12PCD 的面积关键在于求出边长 PC，在POC 中利用余弦定理即可求出；至于面积最值的获得，则可通过三角函数知识解决解 (1)在POC 中，由余弦定理，得 PC2OP 2OC 22OPOCcos 54cos ，所以 yS OPC S PCD 12sin (54cos )2sin .12 34 ( 3) 534(2)当 ，即 时，y max2 .3 2 56 534答 四边形 OPDC 面积的最大值为 2 .534例 4 甲船在 A 处、乙船在甲船
9、正南方向距甲船 20 海里的 B 处，乙船以每小时 10 海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时 8 海里的速度由 A 处向北偏西 60方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？分析 利用余弦定理构建甲、乙两船的距离关于时间 t 的目标函数，注意到 t2 时，乙到达 A 处，此时，甲地、乙地、A 地三处构不成三角形，要注意分类讨论如下图所示：解 设甲、乙两船经 t 小时后相距最近，且分别到达 P、Q 两处，因乙船到达 A 处需 2小时当 0t2 时，在APQ 中，AP8t，AQ2010t ，所以 PQ AQ2 AP2 2APAQcos 120 20 10t2 8t2 220 10t
10、8t ( 12) 2 .84t2 240t 400 21t2 60t 100当 t2 时，在 APQ 中，AP8t，AQ10t20，PQ 2 .AQ2 AP2 2AQAPcos 60 21t2 60t 100综合知，PQ2 (t0) 21t2 60t 100当且仅当 t 时，PQ 最小3021 107答 甲、乙两船行驶 小时后，相距最近107三、利用等价转化思想解三角问题例 5 在ABC 中，已知 ，求证：ABC 是等腰三角sin2A sin2B sin2Csin2A sin2B sin2C 1 cos 2C1 cos 2B形或直角三角形分析 从题中的等式结构来看，情况较为复杂，且求证的是判定
11、ABC 为等腰三角形或直角三角形两种情况因此，应综合应用正、余弦定理，先进行化简，再讨论证明 应用正弦定理及二倍角公式，将已知等式变形为： ，a2 b2 c2a2 b2 c2 2cos2C2cos2B再由余弦定理将其变形为： ，2abcos C2accos B cos2Ccos2B整理得 0. 0 或 0，cos Ccos B(bc cos Ccos B) cos Ccos B bc cos Ccos B若 0，则 C90 ；cos Ccos B若 0，依据正弦定理得 ，bc cos Ccos B sin Bsin C cos Ccos B即 sin Bcos Bsin Ccos C所以 si
12、n 2Bsin 2C.所以 2B2C 或 2B2C180，即 BC 或 BC90.综上所述，ABC 是等腰三角形或直角三角形例 6 在ABC 中，角 A，B，C 所对的三边长分别为 a，b，c，若c 2，a4 ，B45，求ABC 的面积a3 b3 c3a b c 3分析 解决本题的突破口是由 c 2 联想到余弦定理，这就需要降次，自然就a3 b3 c3a b c得进行等式的变形变形后自然容易发现它与余弦定理的关系，进而应用余弦定理解决问题解 因为 c 2，a3 b3 c3a b c所以变形得(ab)( a2b 2c 2ab) 0.因为 ab0，所以 a2b 2c 2ab0，即 a2b 2c 2ab.根据余弦定理的推论得 cos C .a2 b2 c22ab ab2ab 12又因为 00，y 0，z0，求证： .x2 xy y2 y2 yz z2 z2 zx x2证明 如图所示，构造四面体 VABC，使AVB BVCCVA60，且 VAx，VBy，VCz，由余弦定理得AB x2 y2 2xycos 60 x2 xy y2同理，BC ，CA ，y2 yz z2 z2 zx x2在ABC 中，由于 ABBCCA ，故有： x2 xy y2 y2 yz z2 .z2 zx x2
