1、第 11 课时 垂直关系的性质1.理解直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质定理,能用图形语言和符号语言表述这些定理,并能加以证明 .2.能运用直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质定理证明一些空间位置关系的简单问题 .装修工人在安装门窗时,经常使用铅垂线对比门窗,测量门窗是否安装得竖直,这是应用了什么原理?装修工人判断的依据是什么?问题 1:(1)上述情境中,装修工人应用了直线与平面垂直的性质定理,因为铅垂线受重力影响始终是与地面 垂直 的,当装修工人把铅垂线与门的边线靠近时,观察上下铅垂线与门线间的间隔是否一致,当线上间隔不同时,说明门线与铅垂线 不平行 ,也就说明门安装得 不竖直 . (2)
2、直线与平面垂直的性质定理及表示:垂直于同一个平面的两条直线平行 .符号表示: a ,b a b . 问题 2:叙述平面与平面垂直的性质定理,并根据图形用符号语言写出这个定理 .性质定理:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直 .符号表示: , =l ,AB ,且 AB l 于 BAB . 问题 3:空间中垂直关系是如何转化的?由线面垂直和面面垂直的判定定理和性质定理可知,线线垂直、线面垂直及面面垂直的转化关系可用下图表示:由上图可以看出,几种垂直关系的转化就是线面和面面垂直的判定定理和性质定理的反复交替运用的结果 .在线线垂直和线面垂直的转化中,平面在其中起到了
3、至关重要的作用,应考虑线和线所在平面的特征,以找出需要证明的转化 .如证线线垂直,可先证线面垂直,进而由性质定理得到线线垂直 .因此, 线面垂直 关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽 . 问题 4:关于线面垂直、面面垂直,还有其他重要结论吗?直线和平面垂直的两个重要结论: 过一点有且 只有一个 平面和已知直线垂直 . 过一点有且 只有一条 直线和已知平面垂直 . 平面和平面垂直的两个重要结论: 若两个平面垂直,则过第一个平面内的点作第二个平面的垂线必在 第一个 平面内 . 两个相交平面同时垂直第三个平面,则它们的交线 垂直 于第三个平面 . 1.已知 a、 b 为异面直线, b 与 c 垂直,则
4、( ).A.a c B.b c C.b 与 c 相交 D.不确定2.下列说法中正确的个数为( ). 如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线和这个平面垂直; 过空间一点有且只有一条直线与已知平面垂直; 一条直线和一个平面不垂直,那么这条直线和平面内的所有直线都不垂直; 垂直于同一平面的两条直线平行 .A.1 B.2 C.3 D.43.已知 l,m 是直线, , , 是平面,给出下列说法: 若 ,且 ,则 ; 若 =l ,且 l ,则 且 ; 若l , ,则 l . 其中正确的是 . 4.如图,四边形 ABCD 是平行四边形,直线 SC平面 ABCD,E 是 SA 的中点,求证:平
5、面 EDB平面 ABCD.线面垂直的性质定理的应用如图,已知正方体 ABCDA1B1C1D1中, EF 与异面直线 AC、 A1D 都垂直相交,求证: EF BD1.线面垂直的判定与性质的综合应用如图,已知 =AB ,EC平面 ,C 为垂足, ED平面 ,D 为垂足 .求证: CD AB.面面垂直的性质定理的应用如图所示, ABC 为正三角形, EC平面 ABC,BD CE,且 CE=CA=2BD=4,M 是 AE 的中点 .求证:平面 BDM平面 ECA.已知 a、 b 为异面直线, AB 与 a、 b 都垂直相交,若 a ,b ,且 =c. 求证:AB c.已知底面为正方形的四棱锥 PAB
6、CD 的侧棱 PA底面 ABCD,过点 A 在侧面 PAB 内作AE PB 于 E,过 E 作 EF PC 于 F.那么图中 AF 与 PC 的位置关系如何?如图,在 ABC 中, BAC=60,线段 AD平面 ABC,E 为 CD 上一点,且平面 ABE平面DBC.求证:点 A 在平面 DBC 内的射影不可能是 BCD 的垂心 .1.设 a,b 是两条异面直线,下列说法中正确的是( ).A.有一平面与 a,b 都垂直B.有且仅有一条直线与 a,b 都垂直C.过直线 a 有且仅有一平面与 b 平行D.过空间中任一点必可以作一直线与 a,b 都相交2.已知直线 l平面 : 若直线 m l,则 m
7、 ; 若 m ,则 m l; 若 m ,则m l; 若 m l,则 m ,上述判断正确的是( ).A. B. C. D.3.把 Rt ABC 斜边上的高 CD 折成直二面角 A-CD-B 后,互相垂直的面有 对 . 4.三棱锥 PABC 中, PB=PC,AB=AC,点 D 为 BC 中点, AH PD 于点 H,连接 BH,求证:平面 ABH平面 PBC.(2013 年天津卷改编)如图,四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中,侧棱 A1A底面ABCD,AB DC,AB AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E 为棱 AA1的中点 .证明: B1C1 CE.考题变式(我来改编):第 11 课时
8、 垂直关系的性质知识体系梳理问题 1:(1)垂直 不平行 不竖直(2) a ,b a b问题 2: , =l , AB ,且 AB l 于 BAB 问题 3:线面垂直问题 4: 只有一个 只有一条 第一个 垂直基础学习交流1.D 因为 b 与 c 垂直,故 b 与 c 可能相交,也可能异面,于是, a 与 c 的关系不确定 .2.B 错误,无数条直线可能是平行直线,不能判断直线和平面垂直; 正确; 错误,与该直线在平面内的正投影垂直的所有直线,都与该直线垂直; 正确 .3. 错误,反例是墙角处三个平面两两垂直 . 正确,因为如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直 . 错误,还
9、可能 l.4.解:连接 AC 交 BD 于点 O,连接 EO,因为四边形 ABCD 是平行四边形,所以 O 是 AC 的中点,且 E 是 SA 的中点,所以 EO SC.因为 SC平面 ABCD,所以 EO平面 ABCD,且 EO平面 EDB,所以平面 EDB平面 ABCD.重点难点探究探究一:【解析】连接 AB1,B1C,BD,DD 1平面 ABCD,AC平面 ABCD,DD 1 AC.又 AC BD,AC 平面 BDD1B1,AC BD1.同理 BD1 B1C,BD 1平面 AB1C.EF A1D,且 A1D B1C,EF B1C.又 EF AC,EF 平面 AB1C,EF BD1.【小结
10、】当题目所给的条件垂直关系较多,但又需要证明平行关系时,往往要考虑垂直的性质定理,从而完成由垂直关系向平行关系的转化 .探究二:【解析】 EC ,AB ,EC AB,同理 ED AB,即 AB EC,AB ED,又 EC ED=E,AB 面 ECD,而 CD面 ECD,AB CD.【小结】本题是线线垂直、线面垂直的循环 .证明线线垂直、则要先证明线面垂直,关键就是面的选择,选择过哪条直线的平面与另一条直线垂直 .探究三:【解析】(1)取 AC 的中点 F,连接 MF、 BF,则 MF CE 且 MF= CE.12又 BD CE,BD= CE,MF BD,MF=BD,12 四边形 MFBD 是平
11、行四边形, DM BF.EC 平面 ABC,EC平面 ACE, 平面 ACE平面 ABC.又 BF AC,BF 平面 ACE.又 DM BF,DM 平面 ACE.又 DM 平面 BDM, 平面 BDM平面 ECA.【小结】证明面面垂直的关键点和难点,就是在一个平面内确定另一个平面的垂线,一旦找错垂线,将给问题的解决带来很大麻烦,也是不可证明的 .确定这条垂线的基本方法就是根据平面与平面垂直的性质,要着眼于平面内交线的垂线,若图形中没有现成的垂线,需要根据条件作出交线的垂线,再证明此直线垂直于另一个平面 .思维拓展应用应用一:如图,过点 B 作 BB1 ,则 BB1 a,AB BB1.又 AB
12、b,AB 垂直于由 b 和 BB1确定的平面 .b ,b c,同理, BB1 c,c 也垂直于由 b 和 BB1确定的平面,AB c.应用二: F PC,AF 与 PC 相交,只要进一步考察是否垂直 .如果有 AF PC,由已知 EF PC,EF AF=F,得 PC面 AEF,PC AE.又已知 AE PB,PC PB=P,得 AE面 PBC,AE BC.而由 PA BC,AB BC,知 BC面 PAB,可知 BC AE 成立 .AF PC 成立 .于是,图中 AF 与 PC 垂直相交 .应用三:过点 A 作 AH BE,H 为垂足 . 平面 ABE平面 DBC,AH平面 ABE,平面 ABE
13、平面 DBC=BE,AH 平面 DBC, 点 H 即为点 A 在平面 DBC 内的射影 .假设 H 是 BCD 的垂心,则 BE CD.AH 平面 BCD,DC平面 DBC,AH DC.又 AH BE=H,CD 平面 ABE.又 AB 平面 ABE,CD AB.AD 平面 ABC,AB平面 ABC,AD AB,又 AD CD=D,AB 平面 ACD,AB AC,这与已知中 BAC=60相矛盾, 假设不成立, 点 A 在平面 DBC 内的射影不可能是 BCD 的垂心 .基础智能检测1.C A 中若有一平面与 a,b 都垂直,则 a b,矛盾;B 中将 a,b 平移到一个平面内,则与该平面垂直的直
14、线与 a,b 都垂直;C 正确;D 中设过直线 a 且与 b 平行的平面为 ,则在平面 内过直线 a 之外的点,不可能作一直线与 a,b 都相交 .2.B 错,还有可能 m ; 正确; 正确; 正确 .3.3 平面 BCD平面 ACD,平面 ADB平面 BCD,平面 ABD平面 ADC.4.解: PB=PC ,AB=AC,BD=DC,BC PD 且 BC AD,BC 面 PAD, 面 PAD面 PBC.AH PD,面 PAD面 PBC=PD,AH 面 PBC.又 AH面 ABH,于是面 AHB面 PBC.全新视角拓展因为侧棱 CC1底面 A1B1C1D1,B1C1平面 A1B1C1D1,所以 CC1 B1C1.经计算可得B1E= ,B1C1= ,EC1= ,从而 B1E2=B1 +E ,所以在 B1EC1中, B1C1 C1E,又 CC1,C1E平面5 2 3 12 12CC1E,CC1 C1E=C1,所以 B1C1平面 CC1E,又 CE平面 CC1E,故 B1C1 CE.思维导图构建 b l
