1、2015 学年九年级上第一章矩形、菱形与正方形一、选择题1如图，在菱形 ABCD中， BAD=80， AB的垂直平分线交对角线 AC于点 F，垂足为 E，连接 DF，则 CDF等于（ ） A50 B60 C70 D802.如图，点 E是矩形 ABCD的边 CD上一点，把 DE沿 AE对折，点 D的对称点F恰好落在 BC上，已知折痕 105Ecm，且 3tan4F，那么该矩形的周长为（ ）A72 cm B36 c C20 D16 cm3.如图，正方形 ABCD中，点 E、 F分别在 BC、 CD上， AEF是等边三角形，连接 AC交 EF于 G，下列结论： BE DF， DAF15， AC垂直平
2、分EF， BE+DFEF， S CEF2 S ABE其中正确的结论有( )个 A2 B3 C4 D5 4下列命题中，真命题是( )A.对角线相等的四边形是等腰梯形 B.对 角线互相垂直且平分的四边形是正 方形C.对角线互相垂直 的四边形是菱形 D.四个角相等的边 形是矩形5.如图，把一 个 长方形的纸片按图示对折两次，然后剪下一部分，为了得到一个钝角为 120的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为（ ）A15或 30 B30或 45 C45或 60 D30或 60(第 2 题)S2S16如图，边长为 6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为 S1、S 2，则 S1+S2的值为
3、（ ） A16 B17 C18 D197.如图，菱形 C中， ， ，则以 为边长的正604AC方形 AEF的周长为( ) A14 B15 C16 D178如图，在矩形 ABCD中，ABBC，AC，BD 相交于点 O，则图中等腰三角形的个数是（ ）A8 B6 C4 D29.下列命题中，正确的是（ ）A平行四边形的对角线相等 B矩形的对角线互相垂直 C菱形的对角线互相垂直且平分 D梯形的对角线相等10.顺次连接等腰梯形四边中点所得的四边形一定是（ ）A矩 形 B正方形 C菱形 D直角梯形11下列命题中的真命题是（ ）A三个角相等的四边形是矩形 B对角线互 相垂直且相等的四边形是正方形 C顺次连接矩
4、形四边中点得到的四边形是菱 形 D正五边形既是轴对称图形又是中心对称图 形12如图， E、 F分别是正方形 ABCD的边 CD、 AD上的点，且 CE=DF， AE、 BF相交于点 O，下列结 论：（1）AE=BF；（2） AE BF；（3） AO=OE；（ 4） AOBDEOFS四 边 形 中正确的有( ）A4 个 B3 个 C2 个 D1 个来源:学*科*网 Z*X*X*KF（第 12 题图）AB CDOEBACDFE60（第 7 题图）13如图，矩形 ABCD的面积为 20cm2，对角线交于点 O；以 AB、 AO为邻边做平行四边形 AOC1B，对角线交于点 O1；以 AB、 AO1为邻
5、边做平行四边形AO1C2B；依此类推，则平行四边形 AO4C5B的面积为（ ）A cm2 B cm2 C cm2 D cm2 14.如图，在矩形 ABCD中，AD=2AB，点 M、N 分别在边 AD、BC 是，连接BM、DN，若四边形 MBND是菱形，则 等于（ ）AA 83 B C D32535415.下列说法正确的是（ ）A对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 B对角线互相垂直的梯形是等腰梯形C对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D对角线相等且互相平分的四边形是矩形16.如图，四边形 ABCD是菱形，对角线 AC=8cm， BD=6cm， DH AB于点 H，且 DH与 AC交于 G，则 G
6、H=（ ）A 285cm B 210c C 2815cm D 251cm17在平面中，下列命题为真命题的是（ ）A四个角相等的四边形是矩形 B对角线垂直的四边形是菱形 C 对角线相等的四边形是矩形 D四边相等的四边形是正方形18如图 4，菱形 ABCD中，点 M， N在 AC上， ME AD， NF AB. 若 NF = NM = 2， ME = 3，则 AN = （ ）A3 B4 C5 D619如已知：线段 AB， BC， ABC = 90. 求作：矩形 ABCD. 以下是甲、乙两同学的作业：B CDA第 14 题图MN对于两人的作业，下列说法正确的是A两人都对 B两人都不对C 甲对，乙不对
7、 D甲不对，乙对对于两人的作业，下列说法正确的是( )A两人都对 B两人都不对 C甲对，乙不对 D甲不对，乙对二、填空题1如图 6，RtABC 的斜边 AB=16, RtABC 绕点 O顺时针旋转后得到，则 的斜边 上的中线 的长度为_ .CRtAtB2.如图，在正方形 ABCD中，边长为 2的等边三角形 AEF的顶点 E、F 分别在 BC和 CD上，下列结论：CECFAEB75 0BE+DFEFS 正方形 ABCD2+，其中正确的序号是 。 （把你认为正确的都填上）33对角线互相_的平行四边形是菱形.4如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC是边长为 2的正方形，顶点 A， C分别在 x，
8、 y轴的正半轴上点 Q在对角线 OB上，且 OQ OC，连接 CQ并延长CQ交边 AB于点 P，则点 P的坐标为( ， )5如图，在矩形 ABCD中，点 E是边 CD的中点，将 ADE沿 AE折叠后得到AFE，且点 F在矩形 ABCD内部将 AF延长交边 BC于点 G若 1CBk，则 AD （用含 k的代数式表示） 6.矩形的两邻边长的差为 2，对角线长为 4，则矩形的面积为 7如图，菱形 ABCD中，AB4，B60，AEBC，AFCD，垂足分别为E，F，连接 EF，则AEF 的面积是_ FE DABC8.如图，正方形 ABCD的边长为 4，点 E在 BC上，四边形 EFCB也是正方形，以B为
9、圆心， BA长为半径画弧 AC，连结 AF,CF则图中阴影部分面积为_ .9.矩形的外角和等于_度10.如图(六)所示，将 ABC绕 AC的中点 O顺时针旋转 180得到 CDA，添加一个条件_，使四边形 ABCD为矩形.11如图，矩形 ABCD中，点 E、 F分别是 AB、 CD的中点，连接 DE和 BF，分别取 DE、 BF的中点 M、 N，连接 AM， CN， MN，若 AB=2 2， BC=2 ，则图3中阴影部分的面积为 12如图，在正方形 ABCD中，E 是 AB上一点，BE=2，AE=3BE，P 是 AC上一动点，则 PB+PE的最小值是 14. 如图，将矩形 ABCD绕点 A顺时
10、针旋转到矩形 ABCD的位置，旋转角为 (090)。若1=110，则 = 。15 . 如图，将菱形纸片 ABCD折迭，使点 A恰好落在菱形的对称中心 O处，折痕为 EF。若菱形 ABCD的边长为 2 cm， A=120 ，则 EF= cm。16如图，ABCD 是对角线互相垂直的四边形，且 OBOD，请 你添加一个适当的条件 _，使 ABCD成为菱形 （只需添加一个即可）图（六）OABDC17.如图，正方形 ABCD的边长为 3，点 E，F 分别在边 AB，BC上，AE=BF=1，小球 P从点 E出发沿直线向点 F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角当小球 P第一次碰到点 E时
11、，小球 P与正方形的边碰撞的次数为 6 ，小球 P所经过的路程为 18.如图，四边形 ABCD与四边形 AEFG都是菱形，其中点 C在 AF上，点 E， G分别在 BC， CD上，若 BAD=135， EAG=75，则 =_AEB19.对正方形 ABCD进行分割，如图 1，其中 E、 F分别是 BC、 CD的中点， M、 N、 G分别是 OB、 OD、 EF的中点，沿分化线可以剪出一副“七巧板” ，用这些部件可以拼出很多图案，图 2就是用其中 6块拼出的“飞机” 。若 GOM的面积为 1，则“飞机”的面积为 来源:学科网20.已知菱形 ABCD的两条对角线分别为 6和 8，M、N 分别是边 B
12、C、CD 的中点，P是对角线 BD上一点，则 PM+PN的最小值= 5 21如图所示，菱形 ABCD的边长为 4，且 AEBC 于 E，AFCD 于 F，B=60，则菱形的面积为 .22如图，矩形 中， ,点 是 边上一点，连接 ，把ABCD3,BCBAE沿 E折叠，使点 落在点 处，当 为直角三角形时， B的长为 B 23如图。矩形 ABCD的对角线 AC、BD 相交于点 0，过点 O作 OEAC 交 AB于 E,若BC=4，AOE 的面积为 5，则 sinBOE 的值为 AB CDB1CD七2七1NMFEGOD CBA第 22 题图第 23 题图三、解答题1.如图，在矩形 ABCD 中，E
13、、F 分别是边 AB、CD 上的点，AECF ，连接EF、BF，EF 与对角线 AC 交于点 O，且 BEBF，BEF 2BAC （1）求证：OEOF；（ 2）若 BC 3，求 AB 的长2.如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC、BD 相交于点 O，DHAB 于 H，连接 OH，求证：DHO DCO3如图，点 P 是菱形 ABCD 对角线 AC 上的一点，连接 DP 并延长 DP 交边AB 于点 E，连接 BP 并延长 BP 交边 AD 于点 F，交 CD 的延长线于点 G （1）求证：APBAPD ；（2）已知 DFFA12，设线段 DP 的长为 x，线HOCDAB段 PF 的长为
14、y求 y 与 x 的函数关系式；当 x6 时，求线段 FG 的长4.如图，在ABC 中，ACB=90 ，AC=BC，点 D 在边 AB 上，连接 CD，将线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 90至 CE 位置，连接 AE （1）求证：ABAE；（2）若 BC2=ADAB，求证：四边形ADCE 为正方形5.如图，在ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点。BE=2DE，延长 DE 到点F，使得 EF=BE，连接 CF. （1）求证：四边形 BCFE 是菱形；（2）若CE=4， BCF=120，求菱形 BCFE 的面积.6如图，在 ABC中， AD是 BC边上的中线， E是 AD的中点，过点
15、A作 BC的平行线交 BE的延长线于点 F，连接 CF （1）求证： AF DC；（2）若 AB AC，试判断四边形 ADCF的形状，并证明你的结论A BCDEF7如图 8，四边形 ABCD是菱形，对角线 AC与 BD相交于 O,AB=5,AO=4,求 BD的长.来源:学科网8 （1）如图 1，已知ABC，以 AB、AC 为边向ABC 外做等边ABD 和等边ACE，连接BE，CD。请你完成图形，并证明：BE=CD ；（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）（2）如图 2，已知ABC，以 AB、AC 为边向外做正方形 ABFD 和正方形ACGE。连接 BE，CD。BE 与 CD 有什么数量关系？简单
16、说明理由；（3）运用（1） （2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图 3，要测量池塘两岸相对的两点 B，E 的距离，已经测得ABC=45 0，CAE=90 0，AB=BC=100 米，AC=AE。求 BE 的长。9. 如图，矩形 ABCD 中，点 P 在边 CD 上，且与点 C、 D 不重合，过点 A 作AP 的垂线与 CB 的延长线相交于点 Q，连接 PQ，PQ 的中点为 M. (1)求证：ADPABQ；(2)若 AD=10，AB=20 ，点 P 在边 CD 上运动，设 DP=x, BM 2=y，求 y 与 x 的函数关系式，并求线段 BM 长的最小值；(3)若 AD=10, AB=a
17、， DP=8，随着 a 的大小的变化，点 M 的位置也在变化，当点 M 落在矩形 ABCD外部时，求 a 的取值范围。来源:学,科,网10.如题 22图，矩形 ABCD中，以对角线 BD为一边构造一个矩形 BDEF，使得另一边 EF过原矩形的顶点 C （1）设 RtCBD 的面积为 ，1SRtBFC 的面积为 2S，RtDCE 的面积为 ，则 +3S2MQ CADBP3S（用“” 、 “=”、 “”填空） ；（2）写出题 22图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明11如图(十一) 所示，在 RtABC 中，AB=BC=4 ， ABC=90.点 P 是ABC 外角BCN 的角平分线上一个动
18、点，点 P/是点 P 关于直线 BC 的对称点，连结 PP/交BC 于点 M、BP /交 AC 于点 D，连结 BP、AP /、CP /. (1)若四边形 BPCP/为菱形，求 BM 的长；(2)若 BMP/ABC，求 BM 的长；(3)若ABD 为等腰三角形，求ABD 的面积 .图(十一)P/NMA BDPCP/NMA BDPCP/NMA BDPC12. 已知四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形，BAD=60，对角线 AC 与 BD 交于点 O，过点 O 的直线 EF 交 AD 于点 E，交 BC 于点 F. 求证：AOECOF；若EOD=30，求 CE 的长.来源:学科网13如图，在AB
19、C 中，D 是 BC 边上的一点，E 是 AD 的中点，过 A 点作 BC的平行线交 CE 的延长线于点 F，且 AF=BD，连接 BF （1）BD 与 CD 有什么数量关系，并说明理由；（2）当ABC 满足什么条件时，四边形 AFBD 是矩形？并说明理由EOCDABF14如图，在ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，BE=2DE，延长 DE 到点 F，使得 EF=BE，连接 CF （1）求证：四边形 BCFE 是菱形；（2）若CE=4， BCF=120，求菱形 BCFE 的面积15四边形 ABCD 是正方形，E、F 分别是 DC 和 CB 的延长线上的点，且DE=BF，连接 AE、
20、AF 、 EF（1）求证：ADEABF；（2）填空：ABF 可以由ADE 绕旋转中心 点，按顺时针方向旋转 度得到；（3 ）若 BC=8，DE=6，求AEF 的面积16. 如图，点 E，F 分别是锐角A 两边上的点，AE=AF，分别以点 E，F 为圆心，以 AE 的长为半径画弧，两弧相交于点 D，连接 DE，DF（1）请你判断所画四边形的性状，并说明理由；（2）连接 EF，若 AE=8 厘米，A=60 ，求线段 EF 的长17 .如图，在ABCD 中，M，N 分别是 AD，BC 的中点， AND=90，连接 CM交 DN 于点 O. （1）求证：ABNCDM；（2）过点 C 作 CEMN 于点
21、E，交 DN 于点 P，若 PE=1，1=2，求 AN 的长. PNME O D 21CBA18 某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含 60角的直角三角板 ABC 与 AFE 按如图（1）所示位置放置放置，现将 RtAEF 绕 A点按逆时针方向旋转角 （090） ，如图（2） ，AE 与 BC 交于点 M，AC与 EF 交于点 N，BC 与 EF 交于点 P （1）求证： AM=AN；（2）当旋转角=30时，四边形 ABPF 是什么样的特殊四边形？并说明理由19如图，ABC 中，点 O 是边 AC 上一个动点，过 O 作直线 MNBC设MN 交 ACB 的平分线于点 E，交
22、ACB 的外角平分线于点 F （1）求证：OE=OF；（2 ）若 CE=12，CF=5，求 OC 的长；（ 3）当点 O 在边 AC 上运动到什么位置时，四边形 AECF 是矩形？并说明理由20.如图，在ABC 中，B=45 ，BC=5，高 AD=4，矩形 EFPQ 的一边 QP 在BC 边上，E 、F 分别在 AB、AC 上，AD 交 EF 于点 H （1）求证：；（2）设 EF=x，当 x 为何值时，矩形 EFPQ 的面积最大？并求出最大面积；（3）当矩形 EFPQ 的面积最大时，该矩形 EFPQ 以每秒 1 个单位的速度沿射线 DA 匀速向上运动（当矩形的边 PQ 到达 A 点时停止运动
23、），设运动时间为 t 秒，矩形 EFPQ 与ABC 重叠部分的面积为S，求 S 与 t 的函数关系式，并写出 t 的取值范围21 . 如图，在四边形 ABCD 中，AB= BC，对角线 BD 平分 ABC，P 是 BD 上一点，过点 P 作 PMAD，PNCD ，垂足分别为 M、 N。(1) 求证：ABCDNMPADB=CDB； (2) 若 ADC=90，求证：四边形 MPND 是正方形。22 如图( 十二)所示，在 RtABC 中，AB= BC=4，ABC=90.点 P 是ABC 外角BCN 的角平分线上一个动点，点 P/是点 P 关于直线 BC 的对称点，连结PP/交 BC 于点 M、BP
24、 /交 AC 于点 D，连结 BP、AP /、 CP/. (1)若四边形 BPCP/为菱形，求 BM 的长；(2) 若BMP /ABC，求 BM 的长；(3)若ABD 为等腰三角形，求ABD 的面积.图(十一)P/NMA BDPCP/NMA BDPCP/NMA BDPC23如图，在四边形 ABCD 中，ABAD ，CB CD ，E 是 CD 上一点，BE 交AC 于 F，连接 DF （1）证明： BAC DAC， AFD CFE （2）若 ABCD，试证明四边形 ABCD 是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定 E 点的位置， EFD BCD，并说明理由24如图，在正方形 ABCD 中，E 是
25、 AB 上一点，F 是 AD 延长线上一点，且DFBE （1 ）求证：CECF ；（2）若点 G 在 AD上，且GCE 45 ，则 GEBE+GD 成立吗？为什么？25.如图 1，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是边 AD、DC 上的点，且AF BE （1）求证：AF=BE；（2）如图 2，在正方形ABCD 中，M 、N 、P、Q 分别是边AB、BC、CD、DA 上的点，且MPNQMP 与 NQ 是否相等？并说明理由26如图，四边形 ABCD 中，ABCD90 ，BCCD，CE AD，垂足为E，求证：AE CE27 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，对称中心为点 P，点 F 为 B
26、C 边上一个动点，点 E 在 AB 边上，且满足条件 EPF=45，图中两块阴影部分图形关于直线 AC 成轴对称 ，设它们的面积和为 S1 （1）求证：APE= CFP；（2）设四边形 CMPF 的面积为 S2，CF= x， 求 y 关于 x 的函数解析式和自变量 x 的取值范围，并求出 y 的最大值；当图中两块阴影部分图形关于点 P 成中心对称时，求 y 的值28.某学校的校门是伸缩门（如图 1） ，伸缩门中的每一行菱形有 20 个，每个菱形边长为 30 厘米校门关闭时，每个菱形的锐角度数为 60（如图 2） ；校门打开时，每个菱形的锐角度数从 60缩小为 10（如图 3） 问：校门打开了多
27、少米？（结果精确到 1 米，参考数据：sin50.0872，cos50.9962，sin100.1736，cos100.9848） 29.若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四 边形叫做和谐四边形如菱形就是和谐四边形 （1）如图 1，在梯形 ABCD 中，AD BC，BAD=120，C=75，BD 平分ABC求证：BD 是梯形 ABCD 的和谐线；（2）如图 2，在 1216 的网格图上（每个小正方形的边长为 1）有一个扇形 BAC，点 ABC 均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点 D，使得以 A、B、C、D 为顶点的四边
28、形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；（3）四边形 ABCD 中，AB=AD=BC， BAD=90，AC 是四边形 ABCD 的和谐线，求BCD 的度数30.若一个矩形的一边是另一边的两倍，则称这个矩形为方形，如图 1，矩形ABCD 中，BC=2AB，则称 ABCD 为方形 （1）设 a，b 是方形的一组邻边长，写出 a，b 的值（一组即可） （2）在 ABC 中，将 AB，AC 分别五等分，连结两边对应的等分点，以这些连结为一边作矩形，使这些矩形的边B1C1，B 2C2，B 3C3，B 4C4的对边分别在 B2C2，B 3C3，B 4C4，BC 上，如图 2 所示若 BC=25，
29、BC 边上的高为 20，判断以 B1C1为一边的矩形是不是方形？为什么？若以 B3C3为一边的矩形为方形，求 BC与 BC 边上的高之比31.某地下车库出口处“两段式栏杆”如图 7-1 所示，点 A是栏杆转动的支点，点 E是栏杆两段的连接点当车辆经过时，栏杆 EF升起后的位置如图 7-2 所示，其示意图如图 7-3 所示，其中 AB C， B， 0143，1.2AB米，求当车辆经过时，栏杆 EF 段距离地面的高度（即直线 EF 上任意一点到直线 BC 的距离） （结果精确到 0.1 米，栏杆宽度忽略不计参考数据：sin 37 0.60，cos 37 0.80，tan 37 0.75 ）图 7-
30、1 图 7-2 图 7-3A E F AE FAE FB C32.如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形，DEAB，DFBC，垂足分别是E、F，并且 DE=DF求证：（1）ADE CDF；（ 2）四边形 ABCD 是菱形33.如图，在正方形 ABCD 中，点 M 是对角线 BD 上的一点，过点 M 作MECD 交 BC 于点 E，作 MFBC 交 CD 于点 F求证：AM=EF34.如图，在等边三角形 ABC中， ,射线 ，点 从点 A出发沿6cmAGBC E射线 以 的速度运动，同时点 从点 出发沿射线 以 的速度AG1/cmsF2/cms运动，设运动时间为 （1）连接 ，当 经过 边的中点 D时，求证：()tE（2）填空： 当为 s 时，四边形 是菱形； DECF F当为 s 时，以 ,A为顶点的四边形是直角梯形。35.如图正方形 ABCD 的边长为 4，E、F 分别为 DC、BC 中点 （1）求证：ADEABF （2）求AEF 的面积
