1、探索勾股定理 教学设计第（一）课时教学设计思想：本节内容需三课时讲授；勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论.本节意图让学生自己经过观察、归纳、猜想和验证，发现勾股定理.初中学生思维活跃，求知欲强，好奇心浓，所以处理教材内容上尽量发挥学生的学习主动性.设计方格纸上计算面积，用拼图的方法验证等活动，以真正实现学生在知识、智力、能力和全面提高.为面向全体学生，进行小组合作学习，通过交流、议论、取长补短，引导学生团结协作，互帮互学，从而达到共同提高的目的.教学目标：（一）知识与技能1体验勾股定理的探索过程，由特例猜想勾股定理，再由特例验证勾股定理2会利用勾股定理解释生活中的简单现象（二）过程与方
2、法1在学生充分观察、归纳、猜想、探索勾股定理的过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想2在探索勾股定理的过程中，发展学生归纳、概括和有条理地表达活动过程及结论的能力（三）情感、态度与价值观1培养学生积极参与、合作交流的意识2在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐，锻炼学生克服困难的勇气教学重点探索和验证勾股定理教学难点在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理教学方法交流探索猜想在方格纸上，同学们通过计算以直角三角形的三边为边长的三个正方形的面积，在合作交流的过程中，比较这三个正方形的面积，由此猜想出直角三角形的三边关系教具准备学生每人课前准备若干张方格纸、投影片教学安排3 课时.教学过
3、程创设问题情境，引入新课（1）三角形按角分类，可分为_、_、_（2）对于一般的三角形来说，判断它们全等的条件有哪些？对于直角三角形呢？（3）有两个直角三角形，如果有两条边对应相等，那么这两个直角三角形一定全等吗？师上面三个小问题是我们以前讨论过的，我们简单的回忆一下生（1）三角形按角的大小来分类可分为：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形；（2）对于一般三角形来说，我们可以用 SAS（边角边）、ASA（角边角）、AAS（角角边）、SSS（边边边）来判断两个三角形全等；而对于直角三角形来说，除以上四种方法外，还可以用HL（即有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等）（3）两个直角三角形，有两
4、边对应相等，有两种情况：第一种情况：两条直角边对应相等，这时，我们可注意到它们的夹角也对应相等，利用 SAS 可判断它们全等第二种情况：一条直角边和斜边对应相等，利用 HL 公理即可判断它们全等综上所述，两个直角三角形，如果有两边对应相等，则这两个直角三角形全等师我们可以注意到直角三角形有它独有的一些特征在我们学习和生活中，你是否还发现直角三角形的其他特征呢？这节课，我们就来继续研究直角三角形讲述新课1问题串师观察下图，并回答问题：（1）观察图 1正方形 A 中含有_个小方格，即 A 的面积是_个单位面积；正方形 B 中含有_个小方格，即 B 的面积是_个单位面积；正方形 C 中含有_个小方格
5、，即 C 的面积是_个单位面积（2）在图 2、图 3 中，正方形 A、B、C 中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？你是如何得到上述结果的？与同伴交流（3）请将上述结果填入下表，你能发现正方形 A，B，C 的面积关系吗？A 的面积（单位面积）B 的面积（单位面积）C 的面积（单位面积）图 1图 2图 3生在图 1 中，正方形 A 含 1 个小方格，所以它的面积是 1 个单位面积；正方形 B 含 1 个小方格，所以 B 的面积也是 1 个单位面积；正方形 C 含 2 个小方格，所以 C 的面积是 2 个单位面积师如何求得正方形 C 的面积呢？生正方形 C 可划分为四个直角边长都为 1 个单位
6、的四个全等的等腰直角三角形，所以 C 的面积为 4（11）=2 个单位面积生我们观察可发现，这四个等腰直角三角形重新拼摆，刚好可拼摆成 2 个小方格，所以 C 的面积为 2 个单位面积生正方形 C 还可以看成边长为 2 个单位的正方形面积的一半，即 C 的面积为2 2=2 个单位面积师同学们能够不拘一格地积极思考问题，用多种方法去求得图 1 中 C 的面积，值得发扬广大，那么图 2，图 3 中的 A，B，C 的面积是否可借鉴图 1 中的 A，B，C 的求法获得呢？请与你的同学们讨论、交流。生图 2 中，A 含有 9 个小方格或者说正方形 A 的边长是 3 个单位长度，都可以求得 A 的面积是
7、9 个单位面积；同理可求得 B 含有 9 个小方格，所以 B 的面积为 9 个单位面积；对于正方形 C 来说，我们观察可发现它含有 18 个小方格，所以 C 的面积为 18 个单位面积师看来，同学们已能从图 2 中很容易地就求得了 A，B，C 的面积是不是在求 C 的面积时也和图 1 相类似，有多种求法呢？生是的在正方形 C 中，我们可以把它的边缘的 12 个全等的等腰直角三角形拼摆成 6 个小方格，再加上中间的 12 个小方格，正方形 C 共含有 18 个小方格，所以它的面积为 18 个单位面积；我们也可以把 C 分割成四个直角边为 3 个单位长度的等腰直角三角形，也可算得 C 的面积为4（
8、3 2）=18 个单位面积生如果把组成 C 的四个等腰直角三角形沿正方形的边向外翻，我们观察又可发现 C 在边长为6 个单位长度的正方形中，并且 C 的面积恰好是这个正方形面积的一半即6 2=18 个单位面积生图 3 与图 1，图 2 类似，所以我们可用同样的方法观察求得 A，B，C 各含 4 个，4 个，8个小方格，面积分别为 4 个，4 个，8 个单位面积师把三个图中 A，B，C 的面积分别填入上面的表格中，你能发现它们的关系吗？生C 的面积=A 的面积+B 的面积（表格略）师很好！但是 A，B，C 的面积为什么会有这种关系呢？我们接着观察这三个图，你能发现什么？生在前面您说过这节课我们主
9、要研究直角三角形，而在这三个图中，都是三个正方形围着一个直角三角形师的确如此，从图中我们可以发现：三个正方形好像是“长”在直角三角形的三边上生这说明三个正方形的边长分别是以直角三角形的三边为边长得到的师那么，（3）的结论即 C 的面积=A 的面积+B 的面积与三角形有什么关系？这个关系说明什么？大家可以讨论、交流生C 是斜边上的正方形，所以 C 的面积是斜边的平方；A，B 是两直角边上的正方形，所以A，B 的面积分别是这两条直角边的平方根据 A，B，C 的面积关系，我们不难发现：斜边的平方就等于两直角边的平方和师但是，我们也不难发现上面 3 个图中的直角三角形是等腰直角三角形？如果不是等腰直角
10、三角形，而是一般的直角三角形，会不会也有这种三边关系呢？2做一做（1）观察图 4，图 5，并填写下表：A 的面积（单位面积）B 的面积（单位面积）C 的面积（单位面积）图 4图 5你是怎样得到上面结果的？与同伴交流（2）三个正方形 A，B，C 的面积之间的关系？（让学生先独立思考，然后填写上面的表格最后以小组为单位充分交流各自的想法，特别是在计算斜边上的正方形的面积即正方形 C 的求法）师生共析根据图 4，图 5 可填表如下：A 的面积（单位面积）B 的面积（单位面积）C 的面积（单位面积）图 4 16 9 25图 5 4 9 13我们先来观察图 4，不难看出 A，B 分别含有 16 个小方格
11、，9 个小方格，所以 A、B 的面积分别为16 个单位面积，9 个单位面积，但斜边上的正方形 C 的面积的计算较为复杂，我们可用以下几种方法求得：第一种方法：将正方形 C 分割成 4 个直角边长分别为 3、4 全等的直角三角形和中间的一个小方格，利用计算三角形面积的公式可得正方形 C 的面积为 4（34）+1=24+1=25 个单位面积第二种方法：直接数正方形 C 中含有多少个小方格，但需要适当的拼凑，在第一种方法中，我们将正方形分割成 5 部分，直角三角形、和一个小方格，其中直角三角形、可拼凑成一个长和宽分别为 3 和 4 的长方形，含有 12 个小方格，同理、也可拼凑成 12 个小方格，所
12、以正方形 C 中共有 12+12+1=25 个小方格即 C 的面积为 25 个单位面积第三种方法：可将直角三角形、沿正方形 C 的边外翻，就得到一个边长为 7 个单位长度的正方形，这时正方形 C 的面积就为（491）2+1=25 个单位面积图 5 与图 4 同理我们从上表不难发现 16+9=25，4+9=13 即 C 的面积=A 的面积+B 的面积师图 4 和图 5 中的三个正方形 A，B，C 也是由中间的直角三角形“长”出来的，你能从三个正方形的面积关系与直角三角形的三边联系吗？生图 4 中的正方形 A，B，C 的面积分别是直角三角形两条直角边的平方和斜边的平方，根据三个正方形的面积关系，我
13、们不难发现，在这个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方由图 5 我们也可得出同样的结论3议一议师我们通过对前面几个直角三角形的讨论，分析，你能归纳出直角三角形三边长度存在的关系吗？用自己的语言表达你的重大发现与同伴交流生在直角三角形中，两条直角边长度的平方和等于斜边的平方师这是由前面几个特例猜想出来的，是否合理呢？我们不妨作几个直角三角形检验一下例如，作一个分别以 5 厘米、12 厘米为直角边的直角三角形，然后测量斜边的长度，通过计算看一下直角三角形三边的规律还成立吗？生1作一个直角MCN；2以 C 为圆心，分别以 5 厘米、12 厘米为半径画弧交 CM、CN 于点 A，B；3连结
14、AB用刻度尺量出斜边 AB 的长度（强调注意测量的误差）为 13 厘米经检验斜边 AB2=132=169，两直角边平方和 AC2+BC2=52+122=25+144=169即两直角边的平方和等于斜边的平方师很好同学们不妨多作几个不同的直角三角形，用上面的方法检验直角三角形三边的关系师生共析通过特例猜想、检验，我们不难发现，直角三角形的三边的规律是成立的，这就是我们将要介绍的重点内容勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为 a，b，斜边为 c，那么a2+b2=c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方4读一读（课本 P6）古代人就对勾股定理有过深入的研究，几大文明古国都有相应的勾股定理的记载我
15、国是最早发现勾股定理的国家之一早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角如果勾（即直角三角形中较短的直角边）等于 3，股（即直角三角形中较长的直角边）等于 4，那么弦（即直角三角形中的斜边）等于 5，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我国古代著名的数学著作周髀算经中，在这本书中的另一处，还记载了勾股定理的一般形式因此，我们也把勾股定理称为商高定理，而把商高称为“勾股先师”在西方，把勾股定理又称为“毕达哥拉斯”定理相传二千多年，希腊著名数学家毕达哥拉斯学派首先证明了勾股定理，因此他们还举行了一次空前规模的庆祝活动，宰杀了一百头牲畜但因此也引发了数学的第一次危机边长为 1 的正方
16、形的对角线的长度不能用整数或分数来表示关于勾股定理的记载还有很多，同学们如果有兴趣，可查阅有关这方面的资料。所以说勾股定理有着悠久的历史，它反映了古代人民的聪明才智5想一想师小明的妈妈买了一部 29 英寸（74 厘米）的电视机小明量了电视机的荧屏后，发现荧屏只有 58 厘米长和 46 厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了，你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？生我听爸爸说过，29 英寸或 74 厘米的电视机，是指荧屏对角线的长度，而不是其长或宽生可是，连结荧屏的对角线将长方形的荧屏分成全等的两个直角三角形根据勾股定理，长2+宽 2=742，可 582+46274 2，这是为什么呢？生因为荧屏边框
17、遮盖了一部分，所以实际测量存在一些误差师的确如此，但这里我们要知道一个生活常识，29 英寸（74 厘米）指的是荧屏的对角线的长度，而非荧屏的长或宽6例题讲解例在ABC 中，C=90（1）若 a=8，b=6，则 c=_；（2）若 c=20，b=12，则 a=_；（3）若 a：b=3：4，c=10，则 a=_，b=_师生共析分析：在ABC 中，C=90，所以有关系：a 2+b2=c2在此关系式中，涉及到三个量，利用方程的思想，可“知二求一”解：根据题意可得 a2+b2=c2（1）若 a=8，b=6，所以 82+62=c2即 c2=100，c0，所以 c=10；（2）若 c=20，b=12，所以 a
18、2+122=202，即 a2=20212 2=（20+12）（2012）=328=162，a0，所以 a=16；（3）若 a：b=3：4，可设 a=3x，b=4x，所以（3x） 2+（4x） 2=102化简，得9x2+16x2=100，25x 2=100，x 2=4，x=2（x0），所以 a=3x=6；b=4x=8评注：综合上述解法可以发现，形（即ABC 为直角三角形）与数（a 2+b2=c2）的统一，所以我们说勾股定理是形与数的结合课时小结先由学生自己总结，然后师生共同完成这节课我们主要研究：1从特例猜想出勾股定理；2用特例检验了勾股定理；3简单了解了勾股定理的历史，应用课后作业1课本 P7
19、，习题 112到网上或图书室查阅关于勾股定理的资料活动与探究有一根 70cm 的木棒，要放在长、宽、高分别是 50cm、40cm、30cm 的木箱中，能放进去吗？过程：在实际生活中，往往工程设计方案比较多，应用所学的知识进行计算方可解决，而此题正是需要我们大胆实践和创新，用我们学过的勾股定理和丰富的空间想像力来解决我们可注意到木棒虽比木箱的各边都长，按各边的大小放不进去，但木箱是立体图形，可以利用空间的最长长度如AC结果：由下图可得，AA=30cm，AB=50cm，BC=40cmABC，AAC都为直角三角形由勾股定理，得 AC 2=AB 2+BC 2在 RtAAC中AC最长，则AC 2=AA 2+AB 2+BC 2=302+402+502=500070 2故 70cm 的棒能放入长、宽、高分别为 50cm，40cm，30cm 的大箱中板书设计111 探索勾股定理（一）特例（做一做） 猜 想 勾股定理 验 证 特例（议一议）（直角三角形两直角边分别为 a，b，斜边为 c，则 a2+b2=c2）
