1、2004 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学第 I 卷（选择题共 60 分）一、选择题(5 分12=60 分)1设集合 P=1，2，3，4，Q= ，则 PQ 等于 （ ）Rx,2A1，2 B 3，4 C 1 D -2，-1，0，1，22函数 y=2cos2x+1(xR)的最小正周期为 （ ）A B C D243从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座谈会，若这 4 人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 （ ）A140 种 B120 种 C35 种 D34 种4一平面截一球得到直径是 6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是 4cm，则该球的体积是 （ ）A B 310
2、cm3208cmC D 5 4165若双曲线 的一条准线与抛物线 的准线重合，则双曲线的离心率为 182byx xy82（ ）A B C 4 D22 246某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了 50 名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示. 根据条形图可得这 50 名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 （ ）A0.6 小时 B0.9 小时 C1.0 小时 D1.5 小时0.5人数(人)时间(小时)201050 1.0 1.5 2.0157 的展开式中 x3的系数是 （ 4)2(x）A6 B12 C24 D488若函数 的图象过两点(-1，0)和(0，1
3、)，则 （ )1,0)(logabxya）A a=2,b=2 B a= ,b=2 C a=2,b=1 D a= ,b=2 2 29将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数 1，2，3，4，5，6 的正方体玩具）先后抛掷 3 次，至少出现一次 6 点向上的概率是 （ ）A B C D5216 25216 31216 9121610函数 在闭区间-3，0上的最大值、最小值分别是 （ 3)(xf）A1，-1 B1，-17 C3，-17 D9，-1911设 k1，f(x)=k(x-1)(xR) . 在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y=f(x)的图象与 x 轴交于 A 点，它的反函数 y=f
4、 -1(x)的图象与 y 轴交于 B 点，并且这两个函数的图象交于P 点. 已知四边形 OAPB 的面积是 3，则 k 等于 （ ）A3 B C D32 43 6512设函数 ，区间 M=a，b(a0 的解集是_.x -3 -2 -1 0 1 2 3 4y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 614以点(1，2)为圆心，与直线 4x+3y-35=0 相切的圆的方程是_.15设数列a n的前 n 项和为 Sn，S n= (对于所有 n1)，且 a4=54，则 a1的数值2)13a是_.16平面向量 a，b 中，已知 a=(4，-3)， =1，且 ab=5，则向量 b=_.b三、解答题(12 分5
5、+14 分=74 分)17已知 0 ，tan +cot = ，求 sin( )的值.225318在棱长为 4 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，O 是正方形 A1B1C1D1的中心，点 P 在棱 CC1上，且 CC1=4CP.()求直线 AP 与平面 BCC1B1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示） ；()设 O 点在平面 D1AP 上的射影是 H，求证：D 1HAP；()求点 P 到平面 ABD1的距离.19制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100和 50，可能的最大亏损率
6、分别为 30和 10. 投资人计划投资金额不超过 10 万元，要求确保可能的资金亏损不超过 1.8 万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？B1PACDA1C1D1BOH20设无穷等差数列a n的前 n 项和为 Sn.()若首项 ，公差 ，求满足 的正整数 k；1a32 1d2)(2k()求所有的无穷等差数列a n，使得对于一切正整数 k 都有 成立.2)(2kS21已知椭圆的中心在原点，离心率为 ，一个焦点是 F（-m,0）(m 是大于 0 的常数). 12()求椭圆的方程； ()设 Q 是椭圆上的一点，且过点 F、Q 的直线 与 y 轴交于点 M. 若 ，求直
7、l QFM2线 的斜率.l22已知函数 满足下列条件：对任意的实数 x1，x 2都有)(Rxf)(212121 xff和 ，其中 是大于 0 的常数.2)(xfxf 设实数 a0， a，b 满足 和0)(af )(afb()证明 ，并且不存在 ，使得 ；10f()证明 ；2220)()(aab()证明 .)1(ff参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 5 分，满分 60 分.1A 2B 3D 4C 5A 6B 7C 8A 9D 10C 11B 12A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 4 分，满分 16 分.13 14),(),( 25)()1(2yx152 16
8、 53,三、解答题17本小题主要考查三角函数的基本公式和三角函数的恒等变换等基本知识，以及推理能力和运算能力.满分 12 分.解：由已知 .54sin,2sicot2tan得.53sin1co,202从而 icosi)3sin( .)34(102351418本小题主要考查线面关系和正方体性质等基本知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分 12 分.解法一：（I）连结 BP.AB平面 BCC1B1， AP 与平面 BCC1B1所成的角就是APB,CC 1=4CP,CC1=4，CP=I.在 RtPBC 中，PCB 为直角，BC=4，CP=1，故 BP= .7在 RtAPB 中，ABP 为直角，t
9、anAPB= ,14BPAAPB= .174arctn19本小题主要考查简单线性规划的基本知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力.满分 12 分.解：设投资人分别用 x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目.由题意知 .0,8.1.3.y目标函数 z=x+0.5y.上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即可行域.作直线 ，并作平行于直线 的一组直线5.:0yl 0l ,5.0Rzyx与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的 M 点，且与直线 的距离最大，这里 M 点是直线.x 1和 的交点.8103.y解方程组 得 x=4，y=6,.x此时 （万元）.765041z当 x=4，
10、y=6 时 z 取得最大值.7答：投资人用 4 万元投资甲项目、6 万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过 1.8 万元的前提下，使可能的盈利最大.20本小题主要考查数列的基本知识，以及运用数学知识分析和解决问题的能力.满分 12分.解：（I）当 时，1,231dannnSn 21)(23)(由 ，42,)(2 kkkk得即 又 .0143 4,0所 以（II）设数列 an的公差为 d，则在 中分别取 k=1,2,得2)(2nS 2112241 )(34,)( daS即由（1）得 .01a或当 ,60)2(, da或得代 入时若 成立21 )(, knSSd从 而则若 知由则 16,34,18)
11、(6,03na故所得数列不符合题意.)(239Ss当 20,)2(4,1 dda 或解 得得代 入时若 ;,1022成 立从 而则 kknSSad若 .成 立从 而则 221 )(,)1(3,2 nSn综上，共有 3 个满足条件的无穷等差数列： an : an=0，即 0，0，0，； an : an=1，即 1，1，1，； an : an=2n1，即 1，3，5，21本小题主要考查直线、椭圆和向量等基本知识，以及推理能力和运算能力.满分 12 分.解：（I）设所求椭圆方程是 ).0(12bayx由已知，得 所以 .,acmm3,（1）（2）故所求的椭圆方程是 13422myx（II）设 Q（
12、） ，直线, ),0(),(: kmMxkl则 点当 由定比分点坐标公式，得,0),(,2FM由 于时,62.1394,)3( .21102kmkmQkyxQ解 得 所 以在 椭 圆 上又 点.kyxFMQQ ,1)(20时当于是 故直线 l 的斜率是 0， ,342kmk解 得 6222本小题主要考查函数、不等式等基本知识，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分 14 分.证明：（I）任取 则 由,2121xRx)()()( 212121 xffxx和 |)(|1fxf可知 ，21212121212 |)(|)() xfxxfx从而 . 假设有 式知则 由使 得 ,0,0bab.)()()(020 矛 盾ffa不存在 .,0使 得（II）由 )(afb可知 20202020 )()()()( affaaf 由 式，得 和)af 0(f由 和式知， (0 20202 )()()faf 由、代入式，得 200 )( aab 202)(1a（III）由式可知 2()(fbff2)(abf（用式）2 ()( aff2)()(bf （用式）222 )(faa22)(1( (ff
