1、2006 年北京市西城区高三抽样测试理科数学试卷本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分。共 150 分。考试时间 120 分钟。第一卷（选择题 共 40 分）一. 选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1. 设全集 ，则 等于（ UZAB， ， ， ， ， ， ，1232345BACU ()）A. B. C. D. 045， ， 0， ， 23，2. 已知 ，则向量 a 与 b（ ）ab386， ， ，A. 互相平行 B. 互相垂直C. 夹角为 30 D. 夹角为 603. 复数 在复平面中所对应的点到原点的距离为
2、（ ）i1A. B. C. 1 D. 2224. 已知函数 ，则其最小正周期和图象的一条对称yxxsincos6轴方程分别为（ ）A. B. 2， x21， C. D. ， 6， x5. 设正三棱锥 VABC 的底边长为 ，高为 2，则侧棱与底面所成角的大3小为（ ）A. B. C. D. 4arcsin26arctn26. 下列判断正确的是（ ）A. “正四棱锥的底面是正方形”的逆命题为真命题。B. “ ”的充要条件是“ ”。acb2abC. 若“p 或 q”是真命题，则 p，q 中至少有一个真命题。D. 不等式 的解集为1xx|27. 已知 A（7，1），B（1，4），直线 与线段 AB
3、交于点 C，且yax1，则 a 等于（ ）AC2A. 2 B. C. 1 D. 53458. 下列关于函数 的判断正确的是（ ）fxex()2（1） 的解集是 。f()0|0（2） 是极小值， 是极大值。f()（3） 没有最小值，也没有最大值。fx()（4） 有最大值，没有最小值。A. （1）（3） B. （1）（2）（3）C. （2）（4） D. （1）（2）（4）第二卷（非选择题 共 110 分）二. 填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分，把答案填在题中横线上。9. 等差数列 中， ，则 等于_。anaa45910828， a110. 若球的表面积为 ，则与球心距离为
4、的平面截球所得的圆面面积为163_。11. 在 3 名女生和 2 名男生中安排 2 人参加一项交流活动，其中至少有一名男生参加的概率为_。12. 的展开式中第二项与第三项的系数之和等于 27，则 n 等于xn13_，系数最大的项是第_项。13. 已知双曲线 ，以 C 的右焦点为圆心且与其渐近线相切的Cxy： 241圆方程为_，若动点 A，B 分别在双曲线 C 的两条渐近线上，且 ，则线段 AB 中点的轨迹方程为_。AB214. 对于一切实数 x，令 为不大于 x 的最大整数，则函数 称为 fx()高斯函数或取整函数。计算 _；ff(.)(.)0313若 为数列 的前 n 项和，则 _。afnN
5、Sn3， ，*anSn3三. 解答题：本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15. （本小题满分 13 分）已知 ，且 。2， sin35（I）求 的值；cos4（II）求 的值。inicos22116. （本小题满分 13 分）袋中装有大小相同的 3 个红球和 2 个白球，从袋中随机取球，设取到一个红球得 2 分，取到一个白球得 1 分。现从袋中每次取出一个球，记住得分后放回再次取出一个球。（I）求连续取 3 次球，恰得 3 分的概率；（II）求连续取 2 次球的得分 的分布列及期望。17. （本小题满分 14 分）如图，在直三棱柱 中，ACB90，ACB
6、C 2。ABC1 C1（I）证明： ；1（II）求点 B 到平面 的距离；1（III）求二面角 的大小。18. （本小题满分 13 分）椭圆 的焦点在 x 轴上，其右顶点关于直线 的xyb2410 xy40对称点在椭圆的左准线上。（I）求椭圆的方程；（II）过椭圆左焦点 F 的直线 交椭圆于 A、B 两点，交椭圆左准线于点lC。设 O 为坐标原点，且 ，求OAB 的面积。OAC219. （本小题满分 14 分）已知数列 满足 ，其前 n 项和 。ana101， 且 Sann1（I）求证： 为等比数列；（II）记 为数列 的前 n 项和。bNTnnnlg*， bn（i）当 时，求 ；a2imnb
7、（ii）当 时，是否存在正整数 m，使得对于任意正整数 n 都有73？如果存在，求出 m 的值；如果不存在，请说明理由。bnm20. （本小题满分 13 分）设 M 是由满足下列条件的函数 构成的集合：“方程 有实fx()fx()0数根；函数 的导数 满足 ”。fx()f01（I）判断函数 是否是集合 M 中的元素，并说明理由；sin24（II）集合 M 中的元素 具有下面的性质：“若 的定义域为 D，则fx()fx()对于任意 ，都存在 ，使得等式mnD， m0，成立”，试用这一性质证明：方程 只fff() fx0有一个实数根；（III）设 是方程 的实数根，求证：对于 定义域中任意x1fx()f()的 ，当 ，且 时， 。x23， 231fx()32
