1、 2000 年高考数学试题（广东卷）第 I 卷（选择题 60 分）参考公式：三角函数的积化和差公式 sinsi21cosincoscssc 21in正棱台、圆台的侧面积公式 lcS台 侧其中 、 分别表示上、下底面周长， 表示斜高或母线长l台体的体积公式 hSV31台 体其中 、 分别表示上、下底面积， 表示高S h一、选择题：本大题共 12 小题；第每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1） 已知集合 A= ，那么 A 的真子集的个数是4,321（A）3 （B）16 （C）15 （D ）4（2） 在复平面内，把复数 对应的向量按顺时针方向旋转 ，
2、所得向量i3对应的复数是（A） （B） （C）2 （D）3i3i3i（3） 一个长方体共一项点的三个面的面积分别是 ， ， ，这个长方体26对角线的长是（A）6 （B）3 （C）2 （D）3（4）已知 ，那么下列命题成立的是sin（A）若 、 是第三象限角，则 cos（B）若 、 是第二象限角，则 tg（C）若 、 是第三象限角，则（D）若 、 是第四象限角，则（5）函数 的部分图象是xycos（6）依法纳税是公民的义务。按规定，全月工资、薪金所得不超过 800 元的部分不必纳税，超过 800 元的部分，按下列分段累进计算税款：工资、薪金所得超过 800 元的部分中 税率不超过 500 元的部
3、分 5%超过 500 元至 2000 元的部分 10%超过 2000 元至 5000 元的部分 15% 某人一月份应交纳此项税款 26.78 元，则他的当月工资、薪金所得介于（A） 12001500 元 （B）9001200 元（C） 800900 元 （D）15002800 元（7）若 ，P= ，Q= ，R= ，则1babalgbalg212lba（A）Q P R （B ）P Q R （C） R P Q （D）P R Q（8）以极坐标系中的点 为圆心，1 为半径的圆的方程是 ,（A） （B）cos2 4sin2（C ） （D）4s1si（9）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积
4、与侧面积的比是（A） （B） （C） （D）214121241（10）过原点的直线与圆 相切，若切点在第三象限，则该直032xy线的方程是（A）y= （B ） （C） （D ）x3xy3x3（11）过抛物线 的焦点 F 作一条直线交抛物线于 P、Q 两点，若线02ay段 PF 与 FQ 的长分别是 、 ，则 等于pq1（A） （B） （C） （D） a4a21a2a4（12）如图，OA 是圆锥底面中心 O 到母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为（A） （B） 2121（C） （D）3 4第 II 卷（非选择题 90 分）二填空题：本大题共
5、 4 小题；每小题 4 分，共 16 分，把答案填在题中横线上。（13）乒乓球队的 10 名队员中有 3 名主力队员，派 5 名参加比赛。3 名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余 7 名队员选 2 名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_种（用数字作答） 。（14）椭圆 的焦点为 、 ，点 P 为其上的动点，当 为钝角1492yx1F2 21PF时，点 P 横坐标的取值范围是 _。（15）设 是首项为 1 的正项数列，且na（ =1，2，012n3，） ，则它的通项公式是 =_。na（16）如图，E、F 分别为正方体的面 、面 的中心，则四边形1AD1BC在该正方体的面上的射影可能是
6、_。 （要求：把可能的图的 BD1序号都填上）三、解答题：本大题共 6 小题；共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（17） （本小题满分 12 分）已知函数 ， 。3yxcosinR（I）当函数 取得最大值时，求自变量 的集合；x（II）该函数的图象可由 的图象经过怎样的平移和伸缩变换ysi得到？（18） （本小题 12 分）设 为等比数列， ，已知na nn aaT121.)( 4,12T（）求数列 的首项和公式比；（）求数列 的通项公式。n（19） （本小题满分 12 分）如图，已知平行六面体 ABCD- 的底面1DCBAABCD 是菱形，且 = 。CB11（I）证明：
7、BD；（II）当 的值为多少时，能使 平面1DCA1？请给出证明。BC1（20） （本小题满分 12 分）设函数 ，其中 。axxf120（I）解不等式 ；f（II）证明：当 时，函数 在区间 上是单调函数。1axf,0（21） （本小题满分 12 分）某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的 300 天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示。（I） 写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式 P= ；tf写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式 Q= ；g（II） 认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市
8、的西红柿收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/ kg，时间单位：天）210（22） （本小题满分 14 分）如图，已知梯形 ABCD 中 ，点 E 分有向线段 所成的比为 ，CDAB2AC双曲线过 C、 D、E 三点，且以 A、B 为焦点。当 时，求双曲线离心432率 的取值范围。e2000 年高考（广东卷）参考答案一、选择题：（1） n 元素的真子集有 个，本题结果为 =15。答（C） 。12n 124（2） 。答（B） 。 iiiicoxi 3)(3)s()3(3 （3） 设长方体三度为 则 三式相乘得,zy.6,2xyz答.6123,1,3,6, 222 zxzyx（B） 。（4
9、） 若 、 同属于第一象限，则 ， ；第二象限，20cos则 ， ；第三象限，则 ，2tg23；cos第四象限，则 ， 。 （均假定 ， 。 ）答23tg0（D） 。（5） 设 则 为奇数；又 时),(xfy),(cos)(xff2x故答（D） 。0（6） 设收入为 S 元，税款为 M 元，则 时，M=0 ； 时，80S130,8S时， 题设2,130(;25%M .75%0152，故 答（A ） 。78.6 .3)57.6（7） 由平均不等式知 同理),lg(l, RQbaba答（B） 。.,2lglgQPba（8） 所求方程是 化简得 答,1)sin(cos22ll ).1cos(2（A）
10、 。（9） 设圆柱底面积半径为 r,则高为 全面积，侧面积,r答（C） 。).2/(1)2/(2rr（10）圆方程为 圆心为 A（-2，0） ，半径为 1，,1)2(2yx答（A） 。.3,6,21sintg（11）设 PQ 直线方程是 则 是方程,41kxay21的两根，kxa2,)()41( 121221 rxkxayp其中 同理 从而.12kr.2rxq .441)(4)()( 22212121 arakrxrxrxpq 答（A） 。（另解）按选择题 4 选 1 的规定，本题中 4 个选择支都是常数，故应有 常数。过 F 作 x 轴，则易得qp1 PQ答（A） 。.,2),42(),(
11、aqpaQa（12）如图，设 则1OBD,cos313,3,cosincssin, 42 tgCVctgVACctADB圆 锥圆 锥由题意知 故知 答（D） 。,21os4.cos4二、填空题：（13） 正确答案是 252。.5671327P（14）如图，设 则 且 是钝),(yxp),05(),(21F21PF角5)91(40 20)5()(22 222121xy yxyxFP正确答案是.3.35x（15） （另解 不合题意舍去） ，nnn aa1)1(241 n即 正确答案是,.1231n .,2,1an .1（16）平行四过形 投影于左、右两侧得图，投影于上、下、前、后四EBFD侧面都得
12、图。正确答案是。三、解答题（17）解：（I） xycosin3)cs21(x6inosin.),6(Rxy 取得最大值必须且只需 ,2Zkx即 ， 。x3k所以，当函数 取得最大值的自变量 的集合为yx。 6 分Zkx,2|（II）变换的步骤是：（i） 把函数 的图象向左平移 ，得到函数xysin6的图象； 9 分6i（ii） 令所得到的图象上各点横坐标不变，把纵坐标伸长到原来的 2 倍） ，得到函数的图象；62sinxy经过这样的变换就得到函数 的图象。 12 分xycosin3（18） 解：设等比数列 的公比为 q，则na).2(2,111aT .,4,q() 解法一：由（I）知 故 因此
13、,21qa,211nnqa,2121nnnTn 212)1(212)1( nnnnn121n.2)(1nn解法二：设 .1nnaaS由（I） .2.11nnS2)(naaT)(1211 nanSS2)12()1()nn2.2211nn（19）（I）证明：连结 、AC，AC 和 BD 交于 O，连结 。1CAC1 四边形 ABCD 是菱形， ACBD ，BC=CD 。又 ，DB111 , ，C ，1 DO=OB， BD， OC1但 ACBD ，AC =O，OC1 BD平面 。A又 平面 ，C11 BD。 （II）当 时，能使 平面 。1DCA1BD1证明一： ，1C BC=CD= ，1又 ，CD
14、BD1由此可推得 BD= 。 三棱锥 C- 是正三棱锥。 BDC1设 与 相交于 G。A1O AC，且 OC=21，1A GO=21。C1又 是正三角形 的 BD 边上的高和中线，OBDC1 点 G 是正三角形 的中心， CG平面 。1即 平面 。 CA1BD证明二：由（I）知， BD平面 ，1AC 平面 ， BD 。 A11当 时 ，平行六面体的六个面是全等的菱形，1CD同 BD 的证法可得 。A1BCA又 BD =B，1B 平面 。 C1D（20） 解：（I）不等式 即1xf，a2由此得 ，即 ，其中常数 。x100a所以，原不等式等价于,22xa即 0212a所以，当 时，所给不等式的解
15、集为 ；10a 210|ax当 时，所给不等式的解集为 。 |（II）证明：在区间 上任取 ， ，使得 87.5 可知， 在区间 上可以取最大值 100，此时， ,，即从二月一日开始的第 50 天时，上市的西红柿纯收益最大。50t（22）解：如图，以 AB 为垂直平分线为 轴，直线 AB 为 轴，建立直角坐标yx系 ，则 CD 轴。xOyy因为双曲线经过点 C、D，且以 A、B 为焦点，由双曲线的对称性知 C、D 关于 轴对称。 依题意，记 A ，C ，E ，其中0 ,ch, 20,yx为双曲线的半焦距， 是梯形的高。|21Bc由定比分点坐标公式得 ,)1(210ccx.hy设双曲线的方程为 ，则离心率 。12baxace由点 C、E 在双曲线上，将点 C，E 的坐标和 代入双曲线的方程，得 ,142bhe .1)()12(42bhe由式得 ，2bh将代入式，整理得 ，21)4(2e故 .312e由题设 得，4.3213e解得 .07故双曲线的离心率的取值范围为 .10,7
