1、选修 1-2 2.3.2 抛物线的几何性质一、选择题1P(x 0，y 0)是抛物线 y22px(p0) 上任一点，则 P 到焦点的距离是( )A|x 0 | p2B|x 0 |p2C|x 0p| D|x 0p|答案 B解析 利用 P 到焦点的距离等于到准线的距离，当 p0 时，p 到准线的距离为dx 0 ；当 p0)，又准线方程为x7，p 14.3抛物线 y24px (p0)的焦点为 F，准线为 l，则 p 表示 ( )AF 到 l 的距离 BF 到 y 轴的距离CF 点的横坐标 DF 到 l 的距离的14答案 B解析 设 y22px (p0)，p表示焦点到准线的距离，又 2p4p，p ，p2
2、故 p 表示焦点到 y 轴的距离4(2010陕西文，9)已知抛物线 y22px( p0)的准线与圆( x3) 2y 216 相切，则 p的值为( )A. 12B1 C2 D4答案 C解析 本题考查抛物线的准线方程，直线与圆的位置关系抛物线 y22px(p0)的准线方程是 x ，由题意知，3 4，p2.p2 p25设抛物线 y28x 的准线与 x 轴交于点 Q，若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是 ( )A ， 12 12B2,2C1,1 D4,4答案 C解析 由题意可知，y 28x 的准线为 x2，所以 Q 点的坐标为( 2,0)，设直线 l的方程为 yk(
3、x 2)(斜率显然存在)，联立Error!得 k2x2 4(k22)x 4k 20，所以 k0 时，直线与抛物线的交点为(0,0)时，k0，4( k22) 24(4 k2)k201k1，且k0，综上可知 1k 1，应选 C.6设抛物线的顶点在原点，其焦点 F 在 y 轴上，又抛物线上的点(k ，2)与 F 点的距离为 4，则 k 的值是( )A4 B4 或4C2 D2 或2答案 B解析 由题意，设抛物线的标准方程为：x 22py ，由题意得， 24，p4，x 28y.p2又点(k， 2)在抛物线上， k216，k4.7抛物线的顶点在原点，对称轴是 x 轴，抛物线上的点(5，2 )到焦点的距离是
4、56，则抛物线的方程为( )Ay 22x By 2 4xCy 2 2x Dy 24x 或 y236x答案 B解析 由题意，设抛物线的标准方程为：y22px(p0)，由题意，得 56，p2，p2抛物线方程为 y24x .8直线 ykx2 交抛物线 y28x 于 A、B 两点，若 AB 中点的横坐标为 2，则 k( )A2 或2 B1C2 D3答案 C解析 由Error!得 k2x24(k2) x40，则 4，即 k2.4(k 2)k29与 y 轴相切并和圆 x2y 210x0 外切的动圆圆心的轨迹为( )A圆 B抛物线和一条射线C椭圆 D抛物线答案 B解析 如图，设动圆圆心坐标为(x，y)，由题
5、意得y0(x0)上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为 10 和 6，则该点的横坐标是_答案 1 或 9解析 设抛物线上一点 M 坐标为( x0，y 0)由题意，得 y06，x 0 10，p2又 y 2px 0，解得 x01 或 9.2012抛物线 y216x 上到顶点和焦点距离相等的点的坐标是_答案 (2 ，4 )2解析 设抛物线 y216x 上的点 P(x，y)由题意，得(x4) 2x 2y 2x 216x，x2，y4 .213抛物线 y24x 的弦 AB 垂直于 x 轴，若 AB 的长为 4 ，则焦点到 AB 的距离为3_答案 2解析 由题意，设 A 点坐标为 (x,2 )，则 x3，3
6、又焦点 F(1,0)，焦点到 AB 的距离为 2.14已知 F 为抛物线 y22ax( a0)的焦点，点 P 是抛物线上任一点，O 为坐标原点，以下四个命题：(1)FOP 为正三角形(2)FOP 为等腰直角三角形(3)FOP 为直角三角形(4)FOP 为等腰三角形其中一定不正确的命题序号是_答案 (1)(2)解析 抛物线上的点到焦点的距离最小时，恰好为抛物线顶点，(1)错误若FOP 为等腰直角三角形，则点 P 的横纵坐标相等，这显然不可能，故(2) 错误三、解答题15根据下列条件写出抛物线的标准方程(1)焦点是 F(3,0)(2)准线方程是 x .14(3)焦点到准线的距离是 2.解析 (1)
7、设抛物线的标准方程为 y22px(p0)，又焦点 F(3,0)，p6，抛物线方程为 y212x .(2)由题意，设抛物线的标准方程为 y22px(p0)，又准线方程为 x ，p ，14 12抛物线方程为 y2x .(3)焦点到准线的距离为 2，抛物线的标准方程为 y24x 或 x24y.16已知抛物线 y24x ，直线 l 过定点 P(2,1) ，斜率为 k，k 为何值时，直线 l 与抛物线满足下列条件：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点解析 由题意得直线 l 的方程为 y1k(x2)，由Error! 消去 x 得 ky24y 4(2k1)0，当 k0 时，由方程得 y1，把 y1 代入
8、 y24x，得 x ，此时，直线 l 与抛物线14只有一个公共点( ，1)14当 k0 时，方程的判别式为 16(2 k2k1)当 0，即 2k2k10，解得 k1 或 k ，此时方程 只有一解，方程组只12有一个解，直线 l 与抛物线只有一个公共点当 0，即 2k2k10 ，解得 k 或 k 时，直线 l 与抛物线没有公共点1217已知抛物线 y24x ，直线 xy30，求抛物线上的点到直线的最小距离解析 设抛物线上任一点 P 的坐标为(x 0，y 0)，则 y 4 x0，所以 x0 ，所以 P 点的20y204坐标为( ，y 0)，所以 P 到直线 xy30 的距离 d y204 |x0
9、y0 3|2 |y204 y0 3|2，所以 y02 时， dmin ，即抛物线上的点到直线的最小距离为 .|(y0 2)2 8|42 842 2 218已知抛物线 y2x 与直线 yk(x1) 相交于 A，B 两点(1)求证 OAOB；(2)当AOB 的面积等于 时， 求 k 的值10解析 (1)证明：如图所示，由方程组Error!消去 x 得 ky2yk0，设A(x1，y 1)，B (x2，y 2)由根与系数的关系知 y1y21.因为 A，B 在抛物线 y2x 上，所以 y x 1，y x 2，y y x 1x2，因为 kOAkOB 1，所以21 2 212y1x1y2x2 y1y2x1x2 1y1y2OAOB.(2)解：设直线 AB 与 x 轴交于点 N，显然 k0，所以点 N 的坐标为(1,0) ，因为 SOABS OANS OBN |ON|y1| |ON|y2| |ON|y1 y2|，所以 S OAB 1 12 12 12 12 (y1 y2)2 4y1y2 12，因为 S OAB ，所以 ，解得 k .(f(1,k)2 4 10 1012 1k2 4 16
