1、1995 年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分.满分 150 分,考试时间 120分.第卷(选择题共 65 分)一、选择题(本大题共 15 小题:第 1-10 题每小题 4 分,第 11-15 题每小题 5 分,共 65分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知 I 为全集,集合 M, ,若 MN=N,则( )4.正方体的全面积是 a2,它的顶点都在球面上,这个球的表面积是5.若图中( )的直线 l1,l2,l3 的斜率分别为 k1,k2,k3,则A.k1arccosx 成立的 x 的取值范围是8.双曲线 3x2-
2、y2=3 的渐近线方程是10.已知直线 l平面 ,直线 m 平面 ,有下面四个命题 :其中正确的两个命题是A.与 B.与 C.与 D.与11.已知 y=loga(2-ax)在0,1上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是A.(0,1) B.(1,2) C.(0,2) D.2,+)12.等差数列an,bn的前 n 项和分别为 Sn 与 Tn,13.用 1,2,3,4,5 这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有A.24 B.30 C.40 D.6014.在极坐标系中,椭圆的二焦点分别在极点和点(2c,0),离心率为 e,则它的极坐标方程是15.如图( ),A1B1C1-ABC 是直三棱
3、柱,BCA=90,点 D1,F1分别是 A1B1,A1C1 的中点,若 BC=CA=CC1,则 BD1 与 AF1 所成的角的余弦值是第卷(非选择题,共 85 分)二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在题中横线上)17.已知圆台上、下底面圆周都在球面上,且下底面过球心,母线与底面所成的19.直线 l 过抛物线 y2=a(x+1)(a0)的焦点,并且与 x 轴垂直,若 l 被抛物线截得的线段长为 4,则 a= .20.四个不同的小球放入编号为 1,2,3,4 的四个盒中,则恰有一个空盒的放法共有 种(用数字作答).三、解答题(本大题共 6 小题,共 65 分.解
4、答应写出文字说明、证明过程或推演步骤)21.(本小题满分 7 分)在复平面上,一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为 Z1,Z2,Z3,O22.(本小题满分 10 分)求 sin220+cos250+sin20cos50的值.23.(本小题满分 12 分)如图( ),圆柱的轴截面 ABCD 是正方形,点 E 在底面的圆周上,AFDE,F 是垂足.(1)求证:AFDB;(2)如果圆柱与三棱锥 D-ABE 的体积的比等于 3,求直线 DE 与平面 ABCD 所成的角.24.(本小题满分 12 分)某地为促进淡水鱼养殖业的发展,将价格控制在适当范围内,决定对淡水鱼养值提供政府补贴.设淡水鱼的市场价
5、格为 x 元/千克,政府补贴为 t 元/千克.根据市场调查,当 8x14 时,淡水鱼的市场日供应量 P 千克与市场日需求量 Q 千克近似地满足关系:当 P=Q 时市场价格称为市场平衡价格.(1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数,并求出函数的定义域;(2)为使市场平衡价格不高于每千克 10 元,政府补贴至少为每千克多少元?25.(本小题满分 12 分)设an是由正数组成的等比数列,Sn 是其前 n 项和.(2)是否存在常数 c0,使得成立?并证明你的结论.26.(本小题满分 12 分)又点 Q 在 OP 上且满足OQOP=OR2.当点 P 在 l 上移动时,求点 Q 的轨迹方程,并说明轨迹是什
6、么曲线.( )(理工农医类)参考答案一、选择题(本题考查基本知识和基本运算)1.C 2.B 3.C 4.B 5.D 6.D 7.B 8.C 9.A 10.D 11.B 12.C 13.A 14.D 15.A二、填空题(本题考查基本知识和基本运算)三、解答题21.本小题主要考查复数基本概念和几何意义,以及运算能力.解:设 Z1,Z3 对应的复数分别为 z1,z3,依题设得22.本小题主要考查三角恒等式和运算能力.解:23.本小题主要考查空间线面关系、圆柱性质、空间想象能力和逻辑推理能力.(1)( )证明:根据圆柱性质 ,DA平面 ABE.DAEB.AB 是圆柱底面的直径,点 E 在圆周上,AEE
7、B,又 AEAD=A,故得 EB平面 DAE.EBAF.又 AFDE,且 EBDE=E,故得 AF平面 DEB.AFDB.(2)( )解:过点 E 作 EHAB,H 是垂足,连结 DH.根据圆柱性质,平面 ABCD平面 ABE,AB 是交线 .且 EH 平面 ABE,所以 EH平面 ABCD.又 DH 平面 ABCD,所以 DH 是 ED 在平面 ABCD 上的射影,从而EDH 是 DE与平面 ABCD 所成的角.设圆柱的底面半径为 R,则 DA=AB=2R,于是V 圆柱=2R3,由 V 圆柱:VD-ABE=3,得 EH=R,可知 H 是圆柱底面的圆心 ,AH=R,24.本小题主要考查运用所学
8、数学知识和方法解决实际问题的能力,以及函数的概念、方程和不等式的解法等基础知识和方法.解:(1)依题设有化简得 5x2+(8t-80)x+(4t2-64t+280)=0.当判别式=800-16t20 时,由0,t0,8x14,得不等式组:解不等式组,得 ,不等式组无解.故所求的函数关系式为(2)为使 x10,应有化简得 t2+4t-50.解得 t1 或 t-5,由 t0 知 t1.从而政府补贴至少为每千克 1 元.25.本小题主要考查等比数列、对数、不等式等基础知识,考查推理能力以及分析问题和解决问题的能力.(1)证明:设an的公比为 q,由题设 a10,q0.(i)当 q=1 时,Sn=na
9、1,从而由(i)和(ii)得 SnSn+20,使结论成立.(ii)当 q1 时,若条件成立,因为(Sn-c)(Sn+2-c)-(Sn+1-c)2=-a1qna1-c(1-q),此时,因为 c0,a10,所以 00 不存在,即不存在常数 c0,使证法二:用反证法,假设存在常数 c0,使则有由得SnSn+2-S2n+1=c(Sn+Sn+2-2Sn+1).根据平均值不等式及、知Sn+Sn+2-2Sn+1=(Sn-c)+(Sn+2-c)-2(Sn+1-c)因为 c0,故式右端非负,而由(1)知,式左端小于零,矛盾.故不存在常数 c0,使26.本小题主要考查直线、椭圆的方程和性质,曲线与方程的关系,轨迹
10、的概念和求法,利用方程判定曲线的性质等解析几何的基本思想和综合运用知识的能力.()解法一:由题设知点 Q 不在原点.设 P、R、Q 的坐标分别为(xP,yP),(xR,yR),(x,y),其中 x,y 不同时为零.当点 P 不在 y 轴上时,由于点 R 在椭圆上及点 O、Q、R 共线,得方程组解得由于点 P 在直线 l 上及点 O、Q、P 共线,得方程组解得当点 P 在 y 轴上时,经验证- 式也成立.由题设OQOP= OR2,得将-代入上式,化简整理得因 x 与 xp 同号或 y 与 yp 同号,以及、知 2x+3y0,故点 Q 的轨迹方程为与 x 轴平行的椭圆、去掉坐标原点.解法二:由题设知点 Q 不在原点.设 P,R,Q 的坐标分别为(xp,yp),(x R,yR),(x,y),其中x,y 不同时为零.设 OP 与 x 轴正方向的夹角为 ,则有xp=OPcos,yp=OPsin;xR=ORcos,yR=ORsin;x=OQcos,y= OQsin ;由点 P 在直线 l 上,点 R 在椭圆上 ,得方程组将,代入,整理得点 Q 的轨迹方程为与 x 轴平行的椭圆、去掉坐标原点.
