1、勾股定理与应用1勾股定理：直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和2勾股定理的逆定理：有一条边的平方等于其他两边的平方和的三角形是直角三角形 勾股定理最早的文字记载见于欧几里得（公元前三世纪）的几何原本第一卷命题 47， “直角三角形斜边上的正方形面积等于两直角边上正方形面积之和” 勾股定理是数学史上一颗璀璨的明珠，在西方又称毕达哥拉斯定理，它是欧几里得几何的重要定理之一，有的数学家形象地称勾股定理为欧氏几何的“拱心石” 数学大师陈省身先生说：“欧几里得几何的主要结论有两个，一个是毕达哥拉斯定理，一个是三角形内角之和等于 1800 ”华罗庚教授曾建议把它送入其他星球，作为地球人与“外星人
2、”交谈的语言，以探索宇宙的奥妙到目前为止，勾股定理已有 300 多种证法勾股定理揭示了直角三角形的三边之间的关系，对于线段的计算，常可由勾股定理列方程进行求解；对于涉及平方关系的等式证明，可根据勾股定理进行论证；对于已知三角形的三边的长，要判断其形状，则可根据勾股定理的逆定理通过计算进行判定如果在问题的条件中发现与勾股定理极为类似的形式，就应设法将所涉及的线段集中于一个直角三角形中，或者设法构作出这个直角三角形，再进行证明 我国汉代数学家赵爽著勾股圆方图全文 530 余字，在我国第一次明确给出了勾股定理的理论证明， “案弦图又可以勾股相乘为朱实二，倍之，为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差
3、实亦成弦实” 证明勾股定理的“弦图”，其中“弦实”是弦平方的面积，“弦图”以弦为边作正方形（如正方形 ABCD），然后在“弦图”内部作四个直角三角形（如AHB ，BEC， CDF，DAG）设 a，b，c 为四个直角三角形的勾、股、弦，则根据“出入相补原理”就有c24 ab（ba） 212c22abb 22aba 2，c2a 2b 2即 c 22ab b22aba 2，即 c2a 2b 2从而巧妙地证明了勾股定理这是中国古代数学家独立于西方毕达哥拉斯和欧几里得发明的证法后人沿用“出入相补原理”，也就是割补原理解决了许多数学问题，也创造了“勾股定理”的许多新证法事实上每位初中同学学了勾股定理，只要
4、用心思考，一定会用割补法想出更新的证明勾股定理的方法下面的几例拓展，希望细细体会拓展 设 a，b，c 分别为直角三角形的勾、股、弦（1）在图 2 中，有a2b 2（S 3S 5）（S 1S 2S 4）（S 4S 5）（S 1S 2S 3）2S 2S 1S 3c 2（2）在图 3 中，有a2b 2（S 3S 4）（S 1S 2）S 1S 3S 4S 2S 5c 2（3）在图 4 中，有a2b 2（S 2S 5）（S 1S 3S 4）S 1S 2S 3S 4S 5c 2（4）在图 5 中，有a 2b 2(S 2S 5)(S 1S 3S 4)(S 2S 4)(S 1S 3S 5)S 1S 2S 3S
5、 5c 2在课内我们学过了勾股定理及它的逆定理早在 3000 年前，我国已有“勾广三，股修四，径阳五”的说法关于勾股定理，有很多证法，在我国它们都是用拼图形面积方法来证明的下面的证法 1 是欧几里得证法证法 1 如图 6 所示在 RtABC 的外侧，以各边为边长分别作正方形ABDE， BCHK，ACFG ，它们的面积分别是 c2，a 2，b 2下面证明，大正方形的面积等于两个小正方形的面积之和过 C 引 CMBD，交 AB 于 L，连接 BG，CE因为ABAE，ACAG，CAEBAG，所以ACEAGB （SAS）而SACE AEME SAEML，12 12SABG AGGF SACFG b2，
6、12 12 12所以 SAEMLb 2 同理可证 SBLMDa 2 得 SABDES AEML SBLMDb 2a 2，即 c2a 2b 2证法 2 如图 7 所示将 RtABC 的两条直角边 CA，CB 分别延长到D，F，使 AD=a，BF =b构成正方形 CDEF(它的边长为 a+b)，又在 DE 上截取DG=b，在 EF 上截取 EH=b，连接 AG，GH，HB由作图易知ADG GEHHFBABC，所以AGGH HBAB c，BAGAGHGHBHBA90，因此，AGHB 为边长是 c 的正方形显然，正方形 CDEF 的面积等于正方形 AGHB 的面积与四个全等的直角三角形（ABC，ADG
7、，GEH ，HFB）的面积和，即（ab） 2c 24 ab，12化简得 a2b 2c 2证法 3 如图 8 在直角三角形 ABC 的斜边 AB 上向外作正方形 ABDE，延长 CB，自 E 作 EGCB 延长线于 G，自 D 作 DKCB 延长线于 K，又作AF，DH 分别垂直 EG 于 F，H由作图不难证明，下述各直角三角形均与 RtABC 全等：AFE EHDBKD ACB设五边形 ACKDE 的面积为 S，一方面SS ABDE2S ABC ， 另一方面SS ACGFS HGKD2S ABC 由，c22 ab b a 2 ab，12 12所以 c 2a 2 b2利用勾股定理，在一般三角形中
8、，可以得到一个更一般的结论拓展 在三角形中，锐角(或钝角)所对的边的平方等于另外两边的平方和，减去(或加上)这两边中的一边与另一边在这边(或其延长线)上的射影的乘积的2 倍证 (1)设角 C 为锐角，如图 8 所示作 ADBC 于 D， 则 CD 就是 AC在 BC 上的射影在直角三角形 ABD 中，AB 2AD 2BD 2， 在直角三角形 ACD 中，AD 2AC 2CD 2， 又 BD2(BC- CD)2， ，代入得AB 2(AC 2CD 2)(BCCD) 2AC 2CD 2BC 2CD 22BCCDAC 2BC 22BCCD，即c 2a 2 b22aCD (2)设角 C 为钝角，如图 1
9、0 所示过 A 作 AD 与 BC 延长线垂直于D，则 CD 就是 AC 在 BC(延长线)上的射影在直角三角形 ABD 中，AB 2AD 2BD 2， 在直角三角形 ACD 中，AD 2AC 2CD 2， 又BD 2(BCCD) 2， 将，代入得AB 2(AC 2CD 2)(BCCD) 2AC 2CD 2BC 2CD 22BCCDAC 2BC 22BCCD，即c 2a 2 b22acd 综合，就是我们所需要的结论c 2a 2 b22aCD特别地，当C90时，CD0，上述结论正是勾股定理的表述：c2a 2b 2因此，我们常又称此定理为广勾股定理(意思是勾股定理在一般三角形中的推广)由广勾股定理我们可以自然地推导出三角形三边关系对于角的影响在ABC 中，（1）若 c2 a2b 2，则 C90；（2）若 c2 a2b 2，则 C90；（3）若 c2 a2b 2，则 C90勾股定理及广勾股定理深刻地揭示了三角形内部的边角关系，因此在解决三角形（及多边形）的问题中有着广泛的应用
