1、2013 年高中毕业年级第三次质量预测文 科 数 学 试 题 卷本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.考试时间 120 分钟,满分150 分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息,然后在答题卡上作答,在试题卷上作答无效.第 I 卷一 、 选择题:本大题共 12 小题,每小齒 5 分,共 60 分,在每小題给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.1.已知集合 A=(x,y ) |x+y-1=0,x,yR,B=(x,y) | x2+y2=1,x ,yR ,则 集合 AB 的元素个数是A. 0 B. 1 C. 2 D. 32.已知 x,y R,i 为虚数单位,若 x-1+y
2、i= i1,则 x+y 的值为A. 2 B. 3 C. 4 D. 53.下列命题中的假命题是A 0,2xB 02,1xC 1lgR D 2cosinR4.设 a 为实数,函数 f(x)=x3+ax2+(a-3)x 的导函数为 )(xf,且 )(f是偶函数, 则曲线:y =f(x)在原点处的切线方程为A. Y=3X B. Y= 3XC. y=3x+1 D. Y =3X15.已知实数: x,y 取值如下表:从所得的散点图分析可知: y 与 x 线性相关,且 y=0. 95x+a,则 a 的值是 A. 1.30 B. 1. 45 C. 1. 65 D. 1. 806.已知直线 l 丄平面 a,直线
3、m平面 给出下列命题:a /=l 丄 m;a 丄 =l/m l/m=a 丄 ; l 丄 m=a / 其中正确命题的序号是A. B.C. D.7.如图给出了一个程序框图,其作用是输入 x 的值,输出 相应的 y 值,若要使输入的 x 值与输出的 y 值相等,则这样的 x 值有A. 1 个 B. 2 个C 3 个 D. 4 个8.已知 z=3x+y,x,y 满足mxy32,,且 z 的最大值是最小值的 3 倍,则 m 的值是A. 61B. 5 C . 41D. 39.抛物线 y2= 8x 的准线与双曲线142yx的两条渐近线围成的三角形的面积为A. 34B. C. 3D. 10 函数 )0(cos
4、2xy且 2|,在区间6,3上单调递增,且函数值 从2 增大到 2,那么此函数图象与 y 轴交点的纵坐标为A. 1 B. C. 3 D. 2611.已知椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光 线经过椭圆的另一个焦点.今有一水平放置的楠圆形台球盘,点 A、B 是它的两个焦点,长轴 长为 2a,焦距为 2c,当静止放在点 A 的小球(半 径 不 计 ) , 从 点A 沿直线出发,经椭圆壁反弹 后再回到点 A,则小球经过的路径是A. 4a B.2(a-c) C. 2(a+c) D.以上答案都有可能12. 在 ABC 中,a,b,c 分别是角 A ,B,C 的对边,A=
5、 6,b=2,且 1 + 2cos(B + C) =0, 则 ABC 的 BC 边上的高等于A. B. 26C. 2D. 23第 II 卷本卷包括必考題和选考題两部分.第 13 題第 21 題为必考題,第 22 題24 題为选考 題.考生根据 要求作答.二、填空題:本大題共 4 小題,每小題 5 分,共 20 分.13.如图,在正方形内有一扇形(见阴影部分),扇形对应的圆心是正 方形的一顶点,半径为正方形的边长.在这个图形上随机撒一粒黄豆 ,它 落在扇形外正方形内的概率为_.(用分数表示 )14.已知数列a n的通项公式 an=2013sin 2,则 a1+a2 +a2013=_.15.已已知
6、长方体的一个顶点上的三条棱长分别是 4,8,h,且它的 8 个顶点都在同一个 球面上,这个球面的表面积为 100, 则 h= _16. 已知函数:Y=F(X)的图象与函数 y=2-x-1 的图象关于直线 Y=X 对称,则 F(3)=_三.解答題:本大題共 6 个 小 題 , 共70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17. (本小题满分 12 分)已知数列a n是公差不为 0 的等差数列,a 1=2,且 a2,,a 3, a4+1 成等比数列.(I)求数列 an的通项公式;(II)设 bn=an+2, 求 数 列 bn的前 n 项和 Sn18. (本小题满分 12 分)2012 年
7、3 月 2 日,国家环保部发布了新修订的环境空气质量标准,其中规定:居民区 的 PM2.5 的年平均浓度不得超过 35 微克/立方米.某城市环保部门在 2013 年 1 月 1日到 2013 年 4 月 30 日这 120 天对某居民区的 PM2. 5 平均浓度的监测数据统计如下:(I)在这 120 天中抽取 30 天的数据做进一步分析,每一组应抽取多少天?(II)在(I)中所抽取的样本 PM2. 5 的平均浓度超过 75(微克/立 方 米 ) 的 若 干 天 中 , 随 机抽取 2 天,求恰好有一天平均浓度超过 115(微克/立方米)的概率 .19. (本 小 题 满 分 12 分 )如图所
8、示的几何体中,四边形 PDCE 为矩形,ABCD 为直 角 梯 形 , 且 BAD = C 90, 平 面 PDCE 丄 平 面 ABCD, AB=AD= 21CD=1,PD=(I)若 M 为 PA 的 中 点 , 求 证 :AC/平面 MDE;(II)求原几何体被平面 PBD 所 分 成 的 左 右 两 部 分 的 体 积 比20. (本 小 题 满 分 12 分 )已知椭圆 C: )0(12bayx的离心率 36e, 短轴右端点为 A,P (1,0) 为线段 QA 的中点.(I)求椭圆 C 的方程;(II)过点 p 任作一条直线与椭圆 c 相交于两点 M,N,试问在x 轴上是否存在定点 Q
9、,使得 P = Q,若存在, 求出点Q 的坐标; 若不存在,说明理由.21.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=(2-a)lnx-1,g(x)=lnx+ax2+x(aR),令 )()(xgfx(I)当 a=0 时,求 )(x的极值;(II)当 a2 时,求 的单调区间;(III )当3a 2 时,若对 3,1,2,使得ln)l(|(|1 am恒成立,求实数 m 的取值范围 .选做題( 本小題满分 10 分 , 请 从 22、23、24 三个小题中任选一題作答,并用铅笔在对应 方框中涂黑)22.(本小题满分 10 分) 选修 4-1 :几何证明选讲 如图,A B 是 0 的一条切线,切点
10、为 B,直线ADE,CFD,CGE 都是 O 的割线 ,已知 AC=AB.(1)求证:FG/AC;(II)若 CG=1,CD=4,求 GFDE的值.23. (本小题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程已知曲线 C 的极坐标方程是 =2,以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角 坐 标 系 , 直 线 l 的参数方程为 ,231,tyx(t 为参数) .(I)写出直线 l 与曲线 C 的直角坐标系下的方程;(II)设曲线 C 经过伸缩变换 ,2yx得到曲线 C设曲线 上任一点为 M(x,y),求yx213的取值范围.24.(本小题满分 10 分) 选修 4-5:不等式选讲 已
11、知函数 f(x) = log2(|2x-1|+|x+2|-a).(I)当 a = 4 时,求函数 f(x)的定义域;(II)若对任意的 xR,都有 f(x) 2 成 立 , 求 实 数 a 的取值范围.2013 年高中毕业年级第三次质量预测数学(文科) 参考答案一、选择题CBDBB CCDAA DC二、填空题13 4 14. 2013 15. 52 16. -2三、解答题17解:()设数列 na的公差为 d,由 1a和 1,432a成等比数列,得d32)(, 2 分解得 ,或 1,当 d时, 03a,与 1,432a成等比数列矛盾,舍去2. 4 分,1ndnn 即数列 na的通项公式为 .2n
12、a 6 分() 42nb 8 分nnS421n44422121.3nn 12 分18. 解:()这 120 天中抽取 30 天,应采取分层抽样,第一组抽取 81203天;第二组抽取 162034天;第三组抽取 46天;第四组抽取 8天. 4 分()设 PM2.5 的平均浓度在(75,115内的 4 天记为 4321,A,PM2.5 的平均浓度在115 以上的两天记为 21,B所以 6 天任取 2 天的情况有: ,314,1B,21BA342A,431,1,241共 15 种 8 分记“恰好有一天平均浓度超过 115(微克/ 立方米)”为事件 A,其中符合条件的有: ,1BA,21BA1,2,1
13、32,142BA共 8 种 10 分所求事件 A 的概率 .15P 12 分19.( )证明:连结 C,交 DE于 N,连结 M,在 PA中, M,分别为两腰 PA的中点, ./N 3 分因为 ,面,面来源:学* 科*网 Z*X*X*K所以 /平面 E. 6 分 来源:Z_xx_k.Com()由四边形 DC为矩形,知 ,DC又平面 P平面 AB,,平 面三棱锥 的体积为yyxMy yQNyOyPA621621331 PDABPDSVABDABP . 8分由已知 ,C又平面 E平面 C,平 面,/四棱锥的体积为 321233131 ADPASVPDCEPDCEAPEB矩 形.10 分 ,4132
14、6PDCEBAV所以原几何体被平面 B所分成的两部分的体积比 41. 12分20.解:()由已知, 2b,又 36e,即 3642a,解得 a,所以椭圆方程为来源:学|科|网 124yx. 4 分()存在.证明如下:假设存在点 )0,(xQ满足题设条件.当 MN轴时,由椭圆的对称性可知恒有 PMQ,即 0xR; 6 分当 与 x 轴不垂直时,设 N所在直线的方程为 (1)yk,代入椭圆方程化简得:012)3(22 kk, 设 ),(),(21yxNM,则 34)3()12(42 22,1 kkkx,2121x.来源:学科网0201ykNQM1200()(1)kxx21100()()xx, 9
15、分 1202120120()()xx0223)3kxk ,若 NQPM, 则 NQMk, 11 分即 023)1(23)(02xk, 整理得 0(4)kx, R, 04x. ),(.综上,在 轴上存在定点 Q,使得 NQPM. 12 分21.解 : () /1()2,gxa,21ln2)(axax其定义域为 ,0.1 分当 0a时 , ln)(, /2(). 2 分令 解 得,)(x.21x当 0时, ;0)(当 时, .0)(x所以 )(x的单调递减区间为 ,21单调递增区间为 ;,21所以当 21x时, )(x有极小值 ,2ln1无极大值. 4 分() ,2ln)(axa.0)1(2112
16、)( 22 xaxaxx5 分当 a时, a.令 0)(,得 ax,或 2.令 0)(x,得 21x.当 2a时, )(的单调递减区间为 ,10a;2单调递增区间为 .21,a 8 分()由()可知,当 23a时, )(x在 3,上单调递减,所以 ,1)(max.61ln2min a所以 .3ln2433l3)(ax21 a因为对 ,21, 12()(ln)2l恒成立,所以 4ln3l33ama, 10 分整理得 2l,m又 0a,所以 3n4a又 23,得 ,921 ,928431a所以 13ln.2m故实数 m的取值范围是 3,ln. 12 分EGBADFOC第 22 题图22解:()因为
17、 AB为切线, E为割线,所以 2D,又因为 C,所以 2C所以 AE,又因为 AD,所以 ,所以 D,又因为 EGF,所以 GFC,所以 / 5 分()由题意可得: FE,四点共圆, D.F D.CG.又 4,1, FE=4. 10 分23解:()直线 l的直角坐标方程 ,0132yx 2 分曲线 C的直角坐标方程 42. 4 分()曲线 经过伸缩变换 yx2,得到曲线 C的方程为 42yx, 来源:Zxxk.Com则点 M参数方程为 )(sin4,co参 数yx,代入 213得,x213= 21 )3sin(4cosi ,y的取值范围为 ,. 10 分24.解:()由题意得 )421(log)(2xxf , 0421x . 04)2()1(x时 ,当, 35x,即 x. 1,)()(2xx时 ,当,即 1x, ,04)()( xx时 ,当.即 x.综上所述,函数 ()fx的定义域为 1,x或 . 5 分()由题意得 4log2)12(loga恒成立,即 412ax, x恒成立,令 )(xg ,21,3,25421xx显然 2x时, )(xg取得最小值 , a. 10 分