1、1第 5 练 不等式明考情不等式作为数学解题的重要工具，在高考中一直是命题的热点，多以选择题的形式呈现.知考向1.不等关系与不等式的性质.2.不等式的解法.3.基本不等式.4.简单的线性规划问题.考点一 不等关系与不等式的性质要点重组 不等式的常用性质(1)如果 a b0， c d0，那么 ac bd.(2)如果 a b0，那么 an bn(nN， n2).(3)如果 a b0，那么 (nN， n2).na nb1.设 0b3 B. 1 D.lg(b a)b 成立的充分不必要条件是( )2A.ab1 B.ab1C.a2b2 D.a3b3答案 A解析 由 ab1，得 ab1 b，即 ab；而由
2、ab 不能得出 ab1.因此，使 ab 成立的充分不必要条件是 ab1.3.(2016北京)已知 x， yR，且 x y0，则( )A. 0 B.sin xsin y01x 1yC. x y0 D.ln xln y0(12) (12)答案 C解析 函数 y 在(0，)上单调递减，所以 ，即 0，A 错；函数 ysin x 在1x 1x 1y 1x 1y(0，)上不是单调函数，B 错；函数 y x在(0，)上单调递减，所以 x y，(12) (12) (12)即 x y0，C 正确；ln xln yln xy，当 x y0 时， xy 不一定大于 1，即不一定(12) (12)有 ln xy0，
3、D 错.4.(2016全国)若 ab1，0b1acbc，故 A 错；对 B：由于1b1ac1 1)，则 f( x)ln x110， f(x)在(1，)上单调递增，因此 f(a)f(b)0aln abln b0 blogacalogbc，故 C 正确；ln caln aln cbln b对 D：要比较 logac 和 logbc，只需比较 和 ，而函数 yln x 在(1，)上单调递ln cln a ln cln b增，故 ab1ln aln b0 logaclogbc，故 D 错，故选 C.ln cln aln cln b5.若 x y， a b，则在： a x b y； a x b y； a
4、x by； 这四个式子中，ay bx恒成立的所有不等式的序号是_.答案 考点二 不等式的解法方法技巧 (1)解一元二次不等式的步骤一化(二次项系数化为正)，二判(看判别式 )，三解(解对应的一元二次方程)，四写(根据“大于取两边，小于取中间”写出不等式解集).(2)可化为 0(或0)型的分式不等式，转化为一元二次不等式求解 .fxgx(3)指数不等式、对数不等式可利用函数单调性求解.6.若 ax2 bx c0 的解集为 x|x2 或 x4，则对于函数 f(x) ax2 bx c 应有( )A.f(5) f(2) f(1) B.f(5) f(1) f(2)C.f(1) f(2) f(5) D.f
5、(2) f(1) f(5)答案 B解析 ax2 bx c0 的解集为 x|x2 或 x4， a0，而且函数 f(x) ax2 bx c 的图象的对称轴方程为 x 1，4 22 f(1) f(3).又函数 f(x)在1，)上是减函数， f(5) f(3) f(2)，即 f(5) f(1) f(2).7.在 R 上定义运算： x*y x(1 y).若不等式( x y)*(x y)4x a3 恒成立的 x 的取值范围是_.答案 (，1)(3，)解析 原不等式可化为 x2 ax4 x a30，即 a(x1) x24 x30，令 f(a) a(x1) x24 x3，则函数 f(a) a(x1) x24
6、x3 表示直线，要使 f(a) a(x1) x24 x30 在 a0，4上恒成立，则有 f(0)0， f(4)0，即 x24 x30 且 x210，解得 x3 或 x0， b0)过点(1，2)，则 2a b 的最小值为_.xa yb答案 8解析 直线 1( a0， b0)过点(1，2)，xa yb 1，1a 2b2 a b(2 a b) 4 42 8，(1a 2b) 4ab ba 4abba当且仅当 ，即 a2， b4 时，等号成立.ba 4ab故 2a b 的最小值为 8.15.设正实数 x， y， z 满足 x23 xy4 y2 z0，则当 取得最大值时， 的最大值为xyz 2x 1y 2
7、z_.6答案 1解析 x， y， z 是正实数， 1，xyz xyx2 3xy 4y2 1xy 3 4yx 124yxxy 3当且仅当 x2 y 时等号成立，此时 z2 y2. 21，2x 1y 2z 1y2 2y (1y 1)故当 y1 时， 的最大值为 1.2x 1y 2z考点四 简单的线性规划问题方法技巧 (1)求目标函数最值的一般步骤：一画二移三求.(2)常见的目标函数截距型： z ax by；距离型： z( x a)2( y b)2；斜率型： z .y bx a16.(2017全国)设 x， y 满足约束条件Error!则 z x y 的最大值为( )A.0 B.1 C.2 D.3答
8、案 D解析 根据题意作出可行域，如图阴影部分所示，由 z x y，得 y x z.作出直线 y x，并平移该直线，当直线 y x z 过点 A 时，目标函数取得最大值.由图知 A(3，0)，故 zmax303.故选 D.17.已知 x， y 满足约束条件Error!若 z ax y 的最大值为 4，则 a 等于( )A.3 B.2 C.2 D.3答案 B解析 不等式组Error!表示的平面区域如图阴影部分所示.7若 z ax y 的最大值为 4，则直线 y ax z 的斜率 a0， a0，最优解为点 B(2，0)，即 4 a20， a2.故选 B.18.(2017阜阳二模)不等式| x|3 y
9、|60 所对应的平面区域的面积为( )A.12 B.24 C.36 D.48答案 B解析 不等式| x|3 y|60 所对应的平面区域为一个菱形及其内部，对角线长分别为12，4，所以面积为 12424.故选 B.1219.设 x， y 满足约束条件Error!则 的取值范围是( )x 2y 3x 1A.1，5 B.2，6 C.3，11 D.3，10答案 C解析 画出约束条件Error!的可行域， 12 ， 的几何意义为过点( x， y)和(1，1)的直线x 2y 3x 1 x 1 2y 2x 1 y 1x 1 y 1x 1的斜率.由可行域知， 的取值范围为 kMA kMB，即 1，5，所以y
10、1x 1 y 1x 1 y 1x 1的取值范围是3，11.x 2y 3x 120.已知实数 x， y 满足不等式组Error!且 z x2 y22 x2 y2 的最小值为 2，则实数 m 的8取值范围为( )A.(，0) B.(，0C. D.( ，43 (0， 43答案 B解析 画出可行域如图所示(阴影部分)，由题意知， z( x1) 2( y1) 2，过点(1，1)作直线 y x 的垂线，垂足为原点 O，点(1，1)与点 O 之间距离的平方恰好为 2，说明点 O 一定在可行域内，则直线 y x m 在12y 轴上的截距 m0.1.已知当 x0 恒成立，则 m 的取值范围为( )A.2 ，)2
11、B.(，2 2C.(2 ，)2D.(，2 )2答案 C解析 由 2x2 mx10，得 mx 2 x .2x2 1x 1x而 2x 2 2 .1x 2x 1 x 2x 1 x 2当且仅当2 x ，1x即 x 时取等号，所以 m2 .22 22.在区间(1，2)上不等式 x2 mx40 有解，则 m 的取值范围为( )A.m4 B.m4C.m5 D.m5答案 C9解析 由题意知， m 在(1，2)上有解，(x4x)又函数 t ， x(1，2)的值域为(5，4)，(x4x) m5.3.已知 x， yR 且满足 x22 xy4 y26，则 z x24 y2的取值范围为_.答案 4，12解析 2 xy6
12、( x24 y2)，而 2xy ，x2 4y226( x24 y2) ，x2 4y22 x24 y24(当且仅当 x2 y 时取等号).又( x2 y)262 xy0，即 2xy6， z x24 y262 xy12(当且仅当 x2 y 时取等号).综上可知，4 x24 y212.4.设实数 x， y 满足条件Error!若目标函数 z ax by(a0， b0)的最大值为 12，则 3a的最小值为_.2b答案 4解析 画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(包括边界)所示，当直线z ax by(a0， b0)过直线 x y20 与直线 3x y60 的交点(4，6)时，目标函数z ax by
13、(a0， b0)取得最大值 12，即 2a3 b6，则 2 3a 2b 2a 3b2a 2a 3b3b 3b2a4，当且仅当 ，即Error!时取等号.2a3b 3b2a 2a3b解题秘籍 (1)不等式恒成立或有解问题能分离参数的，可先分离参数，然后通过求最值解决.(2)利用基本不等式求最值时要灵活运用两个公式： a2 b22 ab(a， bR)，当且仅当 a b 时取等号； a b2 (a0， b0)，当且仅当 a b 时取等号.注意公式的变形使用和等号成立的条ab10件.(3)理解线性规划问题中目标函数的实际意义.1.若 x y0， m n，则下列不等式正确的是( )A.xm ym B.x
14、 m y n C. D.xxn ym xy答案 D2.(2016浙江)已知 a， b0，且 a1， b1，若 logab1，则( )A.(a1)( b1)0 B.(a1)( a b)0C.(b1)( b a)0 D.(b1)( b a)0答案 D解析 取 a2， b4，则( a1)( b1)30，排除 A；则( a1)( a b)20，排除B；( b1)( b a)60，排除 C，故选 D.3.若不等式 2kx2 kx 0 对一切实数 x 都成立，则 k 的取值范围为( )38A.(3，0) B.3，0)C.3，0 D.(3，0答案 D解析 当 k0 时，显然成立，当 k0 时，有Error!解得3 k0.综上，3 k0.4.下列函数中， y 的最小值为 4 的是( )A.y x B.ylog 3x4log x34xC.ysin x (0 x) D.ye x4e -x4sin x答案 D5.已知正实数 a， b 满足 3，则( a1)( b2)的最小值是( )1a 2bA. B. C. D.6163 509 499答案 B解析 3，2 a b3 ab，1a 2b又 2a b2 ，2 3 ab，得 ab ，2ab 2ab89
