1、,第八章 平面解析几何,第六节 抛物线,最新考纲 1.了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质；3.了解圆锥曲线的简单应用；4.理解数形结合的思想。,J 基础知识 自主学习,1抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离 的点的集合叫作抛物线。这个定点F叫作抛物线的 ，这条定直线l叫作抛物线的 。,相等,焦点,准线,判一判 (1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线。( ) 解析 错误。当定点不在定直线上时才表示抛物线。 (2)抛物线y24x的焦点到准线的距离是4
2、。( ) 解析 错误。抛物线y24x的焦点到准线的距离是2而非4。 (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形。( ) 解析 错误。抛物线是轴对称图形，不是中心对称图形。,解析 抛物线方程为x24y，p2。 准线方程为y1。 答案 A,3若点P到直线x1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为( ) A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线,解析 由题意知，点P到点(2,0)的距离与P到直线x2的距离相等，由抛物线定义得点P的轨迹是以(2,0)为焦点，以直线x2为准线的抛物线，故选D。 答案 D,5(2015吉林长春质检二)过抛物线y24x的焦点作倾斜角为45的直线l交抛物线于A，B两点，
3、O为坐标原点，则OAB的面积为_。,R 热点命题 深度剖析,【例1】 (1)已知抛物线x24y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为( ),(2)已知抛物线方程为y24x，直线l的方程为xy50，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1d2的最小值为_。,【规律方法】 与抛物线有关的最值问题的解题策略 该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关。实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化。 (1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解。 (2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所
4、有点的连线中垂线段最短”原理解决。,变式训练1 (1)已知抛物线y24x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴垂线，垂足分别为C，D，则|AC|BD|的最小值为_。 解析 由题意知F(1,0)，|AC|BD|AF|FB|2|AB|2，即|AC|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值。依抛物线定义知当|AB|为通径，即|AB|2p4时，为最小值，所以|AC|BD|的最小值为2。,2,(2)已知抛物线的方程为x28y，F是焦点，点A(2,4)，在此抛物线上求一点P，使|PF|PA|的值最小。 解 (2)284，点A(2,4)在抛物线x28y的内部。 如图，设抛物线的准线为
5、l，过点P作PQl于点Q，过点A作ABl于点B，连接AQ。,【例2】 (1)(2015陕西卷)已知抛物线y22px(p0)的准线经过点(1,1)，则该抛物线焦点坐标为( ) A(1,0) B(1,0) C(0，1) D(0,1),(2)设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，点M在C上，|MF|5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( ) Ay24x或y28x By22x或y28x Cy24x或y216x Dy22x或y216x,【规律方法】 (1)涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观
6、性。 (2)求抛物线方程应注意的问题 当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种； 要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系； 要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题。,变式训练2 (1)(2015石家庄调研)若抛物线y22px上一点P(2，y0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为( ) Ay24x By26x Cy28x Dy210x,(2)(2015河北唐山二模)已知抛物线E：x24y，m，n是过点A(a，1)且倾斜角互补的两条直线，其中m与E有唯一公共点B，n与E相交于不同的两点C，D。 求m的斜率k的取值范围
7、； 【解】 m：y1k(xa)，n：y1k(xa)，分别代入x24y，得x24kx4ka40， x24kx4ka40， 由10，得k2ka10， 由20，得k2ka10， 故有2k220，得k21，即k1。,当n过E的焦点时，求B到n的距离。,【规律方法】 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系。 (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用弦长公式。,变式训练3 (1)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x1的距离相等。若机器人接触不到过点P(1，0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是_。,(，1)(1，),过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l与C相交于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程。,S 思想方法 感悟提升,3个注意点抛物线问题的三个注意点 (1)求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p的值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是标准方程，则要由焦点位置(或开口方向)判断是哪一种标准方程。 (2)注意应用抛物线定义中距离相等的转化来解决问题。 (3)直线与抛物线有一个交点，并不表明直线与抛物线相切，因为当直线与对称轴平行(或重合)时，直线与抛物线也只有一个交点。,
