1、 （二七 年 六 月本科毕业设计说明书题 目 ： 一阶倒立摆最优控制器的设计 学 生 姓 名 ： xx学 院 ： xx系 别 ： xx专 业 ： xx班 级 ： xx指 导 教 师 ： xx2摘 要倒立摆系统的控制研究长期以来被认为是控制理论及其应用领域里能引起人们极大兴趣的问题。它是检验各种新的控制理论和方法的有效性的著名实验装置。作为一个高阶、非线性不稳定系统，倒立摆的稳定控制相当困难，对该领域的学者来说是一个极具挑战性的难题。首先，本文阐述倒立摆系统控制的研究发展过程，介绍了倒立摆系统的结构，并详细推导了一级倒立摆的数学模型，为更高层次的控制规律的研究提供了一个途径。其次，研究倒立摆系统
2、的各种控制方法。其中包括有经典控制理论中的 PID 控制方法和最优控制理论中的极点配置法、LQR 法。在 MATLAB/SIMULINK 的环境下，作了大量的系统仿真研究工作，比较了各种控制方法。最后，发现经过最优控制方法校正后的系统的性能优于经典控制方法校正后的系统的性能，而且最优控制较易实现。关键词：倒立摆系统；经典控制理论；最优控制理论；系统仿真AbstractThe control of inverted pendulum system has long been considered an intriguing problem for control theory and its a
3、pplications. It is well known as a test bed for new control theory and techniques. As a highly nonlinear and unstable system, the stabilization control of inverted pendulum system is a primary challenge for researchers in this field because of the difficulty of the problem. Firstly, after introducin
4、g the development and current situation of inverted pendulum system research, the mechanism of inverted pendulum are presented. Mathematical model of the higher one level inverted pendulum is particularly educed in this chapter. Secondly, the thesis discusses mainly the control methods of inverted p
5、endulum system based on the PID of classic control theories, the Pole arrangement and the LQR of modern control theories. And many system simulation researches on the stability of inverted pendulum have been done in the environment of MATLAB /SIMLTLINK. Finally, we will find that the performance of
6、system which was adjusted by optimal control theory is better than the performance of system which was adjusted by classic control theory, and the optimal control is easier success than classic control.Keywords: Inverted pendulum system; Classic control theory; Optimal control theory; System simulat
7、ion目 录引 言 1第一章 绪 论 .21.1 问题的提出及研究意义 .21.1.1 问题的提出 .21.1.2 研究意义 21.2 本论文主要研究的内容 .2第二章 单级倒立摆数学模型 .42.1 单级倒立摆数学模型的结构 42.2 系统的数学模型推导 52.2.1 不考虑摩擦时的传递函数及状态方程 52.2.2 考虑摩擦时的传递函数及状态方程 8第三章 单级倒立摆 PID 控制器设计与仿真 113.1 理论分析 .113.2 PID 控制器的设计与仿真 12第四章 现代控制理论在控制倒立摆系统中的应用 204.1 状态空间极点配置法 .204.1.1 理论分析 .204.1.2 状态空间
8、极点配置法的设计及仿真 .204.2 基于 LQR 的倒立摆最优控制系统研究 .244.2.1 理论分析 .244.2.2 LQR 控制器的设计与仿真 24结 论 .24参考文献 .24谢 辞 .241引 言杂技顶杆表演之所以为人们熟悉，不仅是其技艺的精湛，更重要的是其物理与控制系统的稳定性密切相关。它深刻提示了自然界一种基本规律，即一个自然不稳定的被控对象，通过控制手段可使之具有良好的稳定性。这一规律已成为当今航空航天器设计的基本思想。不难看出杂技演员顶杆的物理机制可简化为一个简单的倒立摆。倒立摆是一个自然不稳定体，在控制过程中能有效地反映控制中的许多关键问题，如非线性问题、系统的鲁棒性问题
9、、随动问题、镇定问题及跟踪问题等。倒立摆系统作为一个实验装置，形象直观，结构简单，构件组成参数和形状易于改变，成本低廉；作为一个被控对象，它又相当复杂，就其本身而言，是一个高阶次、不稳定、多变量、非线性系统，只有采取行之有效的控制方法方能使之稳定。倒立摆系统稳定效果非常明了，可以通过摆动角度，位移和稳定时间直接度量，控制好坏一目了然。理论是工程的先导，倒立摆的研究具有重要的工程背景。机器人行走类似倒立摆系统，尽管第一台机器人在美国问世以来已有三十多年的历史，但机器人的关键技术至今仍未很好解决。由于倒立摆系统的稳定与空间飞行器控制的稳定有很大相似性，也是日常生活中所见到的任何重心在上，支点在下的
10、控制问题的抽象。因此，倒立摆机理的研究又具有重要的应用价值，成为控制理论中经久不衰的研究课题。倒立摆系统最终的控制目标是使倒立摆这样一个不稳定的被控对象，通过引入适当的控制方法使之成为一个稳定的系统。对倒立摆系统建立数学模型是实现倒立摆控制的基础。常见的倒立摆的控制方法有以下几种: 1.经典控制理论中的 PID 控制。通过对倒立摆系统的机理分析，建立倒立摆的动力学模型，使用状态空间理论推导其非线性模型，并在平衡点处进行线性化得到倒立摆系统的状态方程和输出方程，从而设计出 PID 控制器实现其控制。2.最优控制理论中的极点配置法以及 LQR 法。该系统是一个单输入多输出的系统，且可证明此系统是能
11、控的，因此可以通过全状态反馈极点配置的方法以及 LQR方法使系统保持稳定。2第一章 绪 论1.1 问题的提出及研究意义1.1.1 问题的提出作为控制领域的一个典型装置，倒立摆的最初研究开始于二十世纪五十年代，麻省理工大学电机工程系设计出了单级倒立摆这一实验设备，物理特性与控制系统的稳定性密切相关，可以说它揭示了自然界的一种基本规律，就是一个自然不稳定的被控对象，通过控制手段可使其具有良好的稳定性。到目前为止，以单级平面倒立摆为雏形，倒立摆装置已经演绎出了许多种形式，包括悬挂式倒立摆、平行式倒立摆和球平衡式倒立摆。倒立摆的级数可以是一级、二级、三级、乃至多级。倒立摆的运动轨道也由最初的水平轨道扩
12、展到了倾斜轨道，而控制电机可以是单电机，也可以是多电机控制。1.1.2 研究意义课题的意义主要包括:1倒立摆系统作为实验平台，具有直观性和趣味性的特点。倒立摆系统结构简单，构件组成参数和形状易于改变，控制效果形象直观，一目了然。开发倒立摆系统实验装置对控制理论的深入了解具有重要意义。 2.倒立摆系统是从控制理论到实际应用的桥梁。通过对倒立摆系统的稳定控制进行设计，可以对控制理论和控制方法的正确性以及实用性加以物理验证，对各种方法进行快捷、有效、生动的比较，是一种有效的物理证明方法。从倒立摆实验中可以总结有效的控制经验，具有实践的意义。3.倒立摆系统的研究，具有重要的工程背景。无论空间飞行器控制
13、，机器人直立行走控制还是各类伺服系统的稳定控制，都可以应用对倒立摆系统的研究成果，具有实际应用的意义。1.2 本论文主要研究的内容论文核心包括“倒立摆系统”和“控制”两个方面，围绕这一核心，将论文中控制方案的完成分成 3 个阶段：建模阶段、设计阶段和仿真阶段。 31.建模阶段：初步了解倒立摆的工作原理，建立倒立摆系统的近似线性模型。给定一套参数，建立系统的数学模型，包括传递函数模型和状态空间模型。 2.设计阶段：提出闭环系统的响应指标。根据实际系统的参数，完成 3 种控制器的设计：PID 控制器、极点配置控制器和 LQR 控制器。 3.仿真阶段：此阶段在上一阶段研究的基础上，利用理论模型和理论
14、参数对系统进行仿真测试，检验系统响应是否满足要求。4第二章 单级倒立摆数学模型2.1 单级倒立摆数学模型的结构倒立摆小车系统如图 2.1 所示。在忽略了空气流动，各种摩擦之后，一阶倒立摆系统可抽象成小车和匀质杆组成的系统，假设: 为小车质量; 为摆杆质量;Mm为小车摩擦系数; 为摆杆转动轴心到杆质心的长度; 为摆杆惯量; 为加在小车bl IF上的力; 为小车位置; 为摆杆与垂直向上方向的夹角。x假定各项参数为 。假定系统的期望21,0.1,9.81,0.1Mkgmkglmgsb性能指标为 ， 。st5%4FLLPNmMxI图 2.1 倒立摆系统受力分析图52.2 系统的数学模型推导2.2.1
15、不考虑摩擦时的传递函数及状态方程在外力 F 的作用下，小车及摆杆均产生加速运动，根据牛顿第二定律，在水平直线运动的惯性力应该与 F 平衡，于是有： FlxdtmtM)sin(22即：llxsicos)( 2为了推出系统的第二个运动方程，我们对倒立摆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面的方程： 2(cos)dPmglt即： 2sincsll力矩平衡方程如下： sicosPlNlI其中2(in)dmxlt2sisinlml由 可知：sincoPlNlI有 sinl(cosin)iImxlllco22sisiIllml(2.1)(2.2)(2.3)(2.4)(2.5)(2.6)(2.7)6代入 中
16、可得：cossin2mllgP0in)(2 glxI所以经过整理后的方程组为：FllMsicos)( 20n2 mgxmlI考虑到摆杆在设定点 附近做微小的振动，对上式进行局部线性化，即用0做近似处理后可得：0sin,1coFxl)( 02mgllI由 可知：xmM)(lF0)(2 mglMlllI)( 22lllFmlI mlFglllI )(22231lMllMmllg2222 )(34)()(4 mlFlg)(3)(4llm)4()(2.8)(2.9)(2.10)(2.12)(2.11)(2.13)(2.14)7代入原式有： mMlFlglFx)4(3)4(3 )(Fg43系统的传递函数
17、为：由（2.9）式可知 ，代入（2.10）式中有：2)()smMlFsX0)()()( 22 sgllllI )()()( 22lImslgsFml 222)(34)() sMlslMslmMgs mglsll)4(3)()41(222代入假定的参数有： 6293.710)(sF(2.15)(2.16)(2.17)8模型的状态方程为： lmMFlgx)4(3)4(34 087.01.1)4(301lmgA731.0956.)4(3lmMB01DC2.2.2 考虑摩擦时的传递函数及状态方程考虑小车与地面之间的摩擦时有如下的方程组： 22sinsi(co)sisMxNbFmlldPgtplII推导
18、过程同上，可得：FxbmllxMsinco)( 202gmlI经过局部线性化，近似处理之后有：(2.18)(2.19)90)(2mglxlIFbM由上式可得系统的传递函数为：)()()()( 22 slsbXs02gllI 由（2.22）可知 ，代入（2.23）式中有：bsmMsF2)() 0)()()( 22 sglllslI )()()( 22smlIbslglFbsml bsMslslmsM)(34)() 22slsgbs)()(23 233344)( blsmlMlslsmMg 23213)( lsllsbs 234)4()(3blslmMgsg代入假定的参数有： 234.01.7.3
19、294.)( sssF78.85.06.23 (2.20)(2.21)(2.22)(2.23)(2.24)(2.25)10状态方程为： lgmlIgx34)(2FlxbM)34)( xbggmMll)()( lFllxmlMFxb )4(3)4(3)4(34) 将上式代回到（2.26）式中有： 34)()4(3)4(3 lmMFlglxblgx mM 0895.7031. 1.4.)4(3)4(010)(1lmgbA731.0)4(30lmMB01DC(2.26)(2.28)11第三章 单级倒立摆 PID 控制器设计与仿真3.1 理论分析常规 PID 控制是最早发展起来的一种控制方法，由于其算
20、法简单、鲁棒性好、可靠性高，因而至今仍广泛应用于工业过程控制中。该方法的主要思想是:根据给定值与系统的实际输出值构成控制偏差。然后将偏差的比例(P)、积分(I)和微分(D)三项通过线性组合构成控制量，对被控对象进行控制，故称为 PID 控制。为了使研究更具一般性，分析倒立摆时以有摩擦的系统为主。我们已经得到了倒立摆系统的开环传递函数，输入为小车的推力。开环传递函数为：（3.1）718.0895.076.3)(23 sssF给系统施加脉冲扰动，输出量为摆杆的角度时，系统框图如图 3.1 所示:图 3.1 系统控制结构框图考虑到输入 r(s)=0,结构图可以很容易的变换成图 3.2 所示的结构：图
21、 3.2 系统控制结构简图该系统的输出为： )()(1)(sFGKDsy控制器KD（s）对象G（s）r(s) = 0 e(s)+ _+f(s) = Fu(s) y(s)对象 G（s）控制器 KD（s）f(s) = F u(s) y(s)+ _123.2 PID 控制器的设计与仿真由式（3.1）可得推出系统的开环传递函数为：（3.2）)091.)(74.2)(908.(3) sssG首先，为了观察系统开环传递函数的根轨迹，可以利用 Matlab 对开环传递函数进行仿真，仿真程序如下： K=3; n=1 0 0; d=conv(conv(conv(1 0,1 -2.9028),1 2.7141),
22、1 0.0911); s=tf(K*n,d); margin(s)经过仿真后，我们可以看到系统的 Bode 图如图 3.3 所示:图 3.3 未校正系统的 Bode 图由图可知，幅频曲线并没有穿越 0dB 轴，在 0dB 轴以下，而且相频曲线也没有13穿越 ，可知闭环系统是不稳定的。180我们利用根轨迹法来设计控制器。该方法的目的是运用根轨迹方法给系统设计一个超前滞后装置，即 PID 控制器，以达到控制效果。 该设计生动地反映了根据根轨迹判定系统性能，零极点对系统性能的影响，渐近线的各种特性等等涉及到根轨迹的理论点。并且反映了如何设计系统的校正装置。做出系统的开环传递函数的根轨迹:仿真程序:
23、clear K=3; n=1 0 0; d=conv(conv(conv(1 0,1 -2.9028),1 2.7141),1 0.0911); s=tf(K*n,d); rlocus(s)根轨迹如图 3.4 所示：图 3.4 未校正系统的根轨迹图14可以看到闭环传递函数的一个极点位于右半平面，并且有一条根轨迹起始于该极点，并沿着实轴向左直到位于原点的零点处，这意味着无论增益如何变化，这条根轨迹总是位于右半平面，系统总是不稳定的。为了解决这个问题，在原点处增加一个极点 s=0,使得原点处的零极点对消掉，利用 Matlab 进行仿真，仿真程序如下： clear K=3; n=1 0; d=con
24、v(conv(conv(1 0,1 -2.9028),1 2.7141),1 0.0911); s=tf(K*n,d); rlocus(s)可以得到新的根轨迹如图 3.5 所示：图 3.5 加入 s=0 极点后系统的根轨迹图系统新的传递函数为：15（3.3）)091.)(74.2)(908.(3) sssG这时可以清楚地发现，系统有三根渐近线，一根在负实轴上，渐近线与实轴正方向的夹角可以根据公式 计算出另外两根与第一根的夹角为 120 度。(1)knm这样两根根轨迹永远不会达到左半平面，必须通过在控制器中增加一个零点 来把2z渐近线的数目减少到二，这时我们可以根据渐近线与实轴交点坐标公式计算出
25、渐近线与实轴交点为 ，这意1nmiiipz2)908.714.09.( 2z味着两根渐近线离开实轴的位置是 （ ） ，若 稍大，则零点位于右2048.zz半平面，系统又不稳定，但即使 取得够小，这时渐近线与实轴交点也很靠近虚轴，2z根轨迹很快进入右半平面，不能满足设计要求。 时进行 Matlab 仿真系统根20.1z轨迹如图 3.6 所示：图 3.6 加入零点后系统的根轨迹图16解决这个问题的方法是在左半平面再增加一个远离其他零极点的极点，让渐近线与实轴交点更靠左，但是为了让渐近线保持在两条，且维持系统稳定，必须在左半平面再增加一个绝对值较小的零点。这样一组零极点可以利用修改 Matlab 中
26、的参数来试探得到。校正装置的零点选为 ，极点选为 。程序中使用了3,21z 5,021prlocfind 函数，可以用鼠标在该图的根轨迹上选择一对位于左半平面共轭复根和负实根，即用鼠标在根轨迹上选择一点，可求得系统的增益 。k仿真程序如下： clear K=3; n=1 6 9 0; d=conv(conv(conv(conv(1 0,1 -2.9028),1 2.7141),1 0.0911),1 55); s=tf(K*n,d); rlocus(s) k,poles=rlocfind(s)Select a point in the graphics windowselected_point
27、 =-8.9929 + 0.3882ik =489.6894poles =0 -34.2172 -8.9573 + 0.3836i-8.9573 - 0.3836i-2.7705 17仿真后的根轨迹图如图 3.7 所示：图 3.7 校正后系统的根轨迹图由图可知，选取增益 k 为 500 时，根轨迹都在左半平面，此时对应的系统是稳定的，可求出 PID 函数为：（3.4）250(3)()sKD18将根轨迹法设计的 PID 控制器代入原来系统后，可以得到校正后系统的 Bode图如图 3.8 所示：图 3.8 校正后系统的 Bode 图可知此时相频曲线正穿越 的线一次，即 R=1，未校正系统有一个位于
28、右180半平面的极点，即 P=1，所以闭环系统的不稳定极点数 Z=P-R=0，也可知校正后的闭环系统是稳定的。将式(3.4)代入原来系统中，在 Simulink 环境下作出系统的结构图如图 3.9 所示：19图 3.9 系统模拟仿真图给系统加入一个阶跃扰动，通过示波器显示可得到系统输出波形如图 3.10 所示：图 3.10 加入阶跃扰动时输出的波形由图可知，系统的调节时间 ，超调量 ，可知校正后的系统满足3.8st1.8%了设计指标。20第四章 现代控制理论在控制倒立摆系统中的应用4.1 状态空间极点配置法4.1.1 理论分析1.概述由之前的分析得出，该倒立摆系统是一个单输入多输出的控制系统，
29、需要设计一个对倒立摆本体和小车位移同时进行控制的控制器。根据开环系统的特征方程可知未校正系统的开环极点为:2.9028、-2.7141、-0.0911。系统有一个极点 2.9028 位于 S 平面右半平面，根据系统稳定性条件知该系统是不稳定的。根据系统的状态空间方程和极点配置法，设计出状态反馈矩阵 K 以实现对系统的控制。2.极点配置的原理说明所谓极点配置就是利用状态反馈或输出反馈使闭环系统的极点位于所希望的极点位置。由于系统的性能和它的极点位置密切相关，因而极点配置问题在系统设计中是很重要的。要注意配置的条件：利用状态反馈任意配置闭环极点的充分必要条件是被控系统可控。期望极点的配置主要是根据
30、零极点对系统的影响来进行选取的，再根据设计者的经验（参考网上的资料）相结合进行选取的。4.1.2 状态空间极点配置法的设计及仿真首先对被控对象进行可控性、稳定性检查。已知有： 0895.7031. 1.4.A21731.0BDC利用 Matlab 判断系统的可控性：仿真程序如下： clear A=0 1 0 0;0 -0.0945 -0.7178 0;0 0 0 1;0 0.07317 7.8958 0; B=0;1;0;-0.7317; s=B,A*B,A2*B,A3*B; rank(s)ans =4可知系统是可控的。由之前的分析可知倒立摆系统是一个不稳定的系统，系统有一个极点 2.9028
31、 位于 S 平面右半平面，根据系统稳定性条件知该系统是不稳定的。采用状态反馈方法可使系统稳定并配置极点。状态反馈控制规律为：， （其中 分别为 反馈至 的增益）kxvu3210k30k,xv引入状态反馈后，系统的状态方程变为： CxyBvkA)(全状态反馈系统为稳定闭环系统，当参考输入 为零时，状态向量在初始扰动下的响应将渐进的衰减至零，这时摆杆和小车都会回到它的初始位置，即 。0,x假设期望极点为 ，利用 Matlab 求出系统的反馈矩阵iip1232k。仿真程序如下： clear22 A=0 1 0 0;0 -0.0945 -0.7178 0;0 0 0 1;0 0.07317 7.895
32、8 0; B=0;1;0;-0.7317; p=-2 -3 -2+1i -2-1i; k=place(A,B,p)k =-4.0702 -6.7743 -58.8387 -21.4292求出状态反馈增益 ，将反馈增 492.1837.574.602.4k益代入原来系统中并利用 Matlab 来进行仿真。仿真程序如下： clear A=0 1 0 0;0 -0.0945 -0.7178 0;0 0 0 1;0 0.07317 7.8958 0; B=0;1;0;-0.7317; C=1 0 0 0; 0 0 1 0; D=0;0; k=-4.0702 -6.7743 -58.8387 -21.4
33、292; AA=A-B*k; BB=B; CC=C; DD=D; t=0:0.1:10; y,x=initial(AA,BB,CC,DD,0.1 0 0.1 0,t); plot(t,y); grid23仿真图如图 3.9 所示： 图 4.1 经极点配置后系统的响应曲线由图 4.1 可知，经极点配置后的系统输出已基本满足设计的要求，状态反馈可以使处于任意初始状态的系统稳定在平衡状态，即可将状态变量 及 稳定在零状x态。这就意味着在初始状态或因存在外界干扰时，摆杆稍有倾斜或小车偏离基准位置导轨中心，依靠该状态反馈控制也可以使摆杆垂直竖立，并使小车保持在基准位置。相对平衡状态的偏移，得到迅速修正的
34、程度要依赖于指定的特征根的位置。一24般来说，将指定的特征根配置在原点的左侧，离原点越远，虽然需要更大的控制力，但是系统达到稳定的时间越短，即控制动作就越迅速，灵敏度高。根据期望极点 设计的倒立摆系统的动静态性能较iip1232好，系统大约在 4s 内即可达到稳定，过度过程时间较短，超调量也不大，各控制量的大小都比较合理。4.2 基于 LQR 的倒立摆最优控制系统研究4.2.1 理论分析1.概述倒立摆系统是一个典型的非线性、不稳定的被控对象，它作为现代控制理论或教学的实验装置是非常典型的。倒立摆系统的控制问题被公认为控制理论中的一个典型问题，许多新的实时控制理论都通过倒立摆控制实验来加以验证。
35、线性二次型调节器（Linear Quadratic RegulatorLQR）问题在现代控制理论中占有非常重要的位置，受到控制界的普遍重视。线性二次型（LQR）性能指标易于分析、处理和计算，而且通过线性二次型最优设计方法得到的倒立摆系统具有较好的鲁棒性与动态特性以及能够获得线性反馈结构等优点，因而在实际的倒立摆控制系统设计中得到了广泛的应用。但是在使用该方法时，最优控制的效果取决于加权阵 和 的选取，QR如果 和 选取不当，则可能使求得的解不能满足实际系统的性能要求，就更谈不QR上“最优”了。通过倒立摆LQR最优控制系统设计与研究，并从实际控制效果出发，找出系统的动态响应与加权阵 和 之间的变
36、化规律，并应用于实际的系统当中。 QR2.LQR 方法的原理设给定线性定常系统的状态方程为XABUYCD二次型性能指标函数：(4.1)(4.2)25dtRUQXJTT021其中： 为 维状态向量， 为 维输入向量， 为 维输出向量, , , ,XnrYmABC分别是 , , , 维常数矩阵。加权阵 和 是用来平衡状态向量DrmQR和输入向量的权重， 是半正定阵即： , 阵是正定阵即： 。00如果该系统受到外界干扰而偏离零状态，应施加怎样的控制 ，才能使得系统*U回到零状态附近 二同时满足 达到最小，那么这时的 就称之为最优控制。由最JJ*优控制理论可知，使式(4.3)取得最小值的最优控制律为:
37、*1TURBPXK式中 就是 Riccati 方程的解， 是线性最优反馈增益知阵。这时只需简单的求P解代数 Riccati 方程:10TTAQ就可获得 值以及最优反馈增益矩阵 值。K11234,TTKRBPk4.2.2 LQR 控制器的设计与仿真一般来说， 和 都取为对角阵。目前确定加权知阵 和 的普遍方法是仿真QQR试凑法，该方法的基本原理是:首先进行分析初步选取 和 ，通过计算机仿真判断其是否符合设计要求，如果符合要求则停止仿真，当前的 和 值就是实际控制系统所需要的，然后利用计算机可非常方便地求出最优增益矩阵 ，并把 代入到实K际系统的控制器参数中，这样就完成了控制器的设计。如果不符合要
38、求，则须重新选取 和 值并重复进行，直至符合实际系统的性能指标要求为止。QR经过反复选取 和 后，决定取 ， 。先利用0710diagQ1RMatlab 来求取系统的反馈矩阵 K。仿真程序如下： clear A=0 1 0 0;0 -0.0945 -0.7178 0;0 0 0 1;0 0.07317 7.8958 0; B=0;1;0;-0.7317; Q=1000 0 0 0;0 0 0 0;0 0 70 0;0 0 0 0; R=1; K,P,E=lqr(A,B,Q,R)(4.3)(4.4)(4.5)(4.6)26K =-31.6228 -31.5189 -167.4966 -61.35
39、34P =1.0e+003 *0.9908 0.4919 1.9402 0.71550.4919 0.2954 1.2097 0.44681.9402 1.2097 5.1138 1.88210.7155 0.4468 1.8821 0.6945E =-4.0481 + 3.9542i-4.0481 - 3.9542i-2.6858 + 0.2546i-2.6858 - 0.2546i可知求出的 ，将求得的反馈 354.6149.1758.362.1K增益矩阵代入原来的系统中并利用 Matlab 进行仿真，仿真程序如下： clear A=0 1 0 0;0 -0.0945 -0.7178 0;0 0 0 1;0 0.07317 7.8958 0; B=0;1;0;-0.7317; C=1 0 0 0; 0 0 1 0; D=0;0; k=-31.6228 -31.5189 -167.4966 -61.3534; AA=A-B*k; BB=B; CC=C; DD=D; t=0:0.1:10; y,x=initial(AA,BB,CC,DD,0.1 0 0.1 0,t); plot(t,y); grid
