1、第七章 留数定理及其应用,数学物理方法,7.1 留数定理,单值函数 f(z) 在孤立奇点bk 邻域内的洛朗展开 中的 项的系数 称为 f(z) 在 bk处的留数， 记作 ，或 。,留数,定义,设光滑的简单闭合曲线 C 是区域 G 的边界，若除了有限个孤立奇点 bk ( k =1, 2, n ) 外，函数 f(z) 在 G 内单值解析，在 上连续，且 C 上没有奇点，则,留数定理,如图，围绕每个奇点 bk 作闭合曲线 gk ，使 gk 均在 G 内，且互不交叠，由复连通区域的柯西定理知,将 f(z) 在 bk 的邻域内展开为洛朗级数,复连通区域的柯西定理洛朗展开系数公式,因为,且C 内含有z =
2、 a,可知,留数定理,设 z = b 是 f(z) 的 m 阶极点，则在 b 点的邻域内,留数的求法,全为正幂项，求导 (m-1) 后，低于 (m-1) 次的幂项没有了，高于 (m-1) 次的幂项在 ，只剩 了。,两边同乘以 (z b)m 得,常见情况： ， P(z)、Q(z) 在 b 点及其邻域内解析， z = b 是 Q(z) 的一阶零点。 Q(b) = 0， Q(b) 0， P(b) 0，则,若 z = b 是一阶极点，则,小结：求留数的方法, 根据定义将函数在奇点邻域展开，求展开系数 a1 求积分 对 m 阶极点求导数 对一阶极点，求极限 对一阶极点，有,求 在奇点处的留数。,是它的一
3、阶极点,方法一：直接在 z = 0 作展开,求 在奇点处的留数。,方法二： 是一阶奇点,所以 是 的三阶极点。,的倒数 的零点,求 在奇点处的留数。,为一阶极点， 为二阶极点,先分析奇点的类型,求 在奇点 处的留数。,可将 在 展开，,为 在复平面内的唯一孤立奇点，,不确定， 为本性奇点。,求 在孤立奇点的留数。,只关心负一次幂系数,因此，,显然，A、B、C 正好是 f(z) 在 一阶极点 z = 1，z = 2，z = 3 的留数，所以,对有理函数 部分分式。,所以,为 的一阶极点，,为本性奇点，,求 在奇点的留数。,2）在 C 内只有 可能是 f(z) 的奇点，作变换 则,对于无穷远点，定
4、义C 为绕无穷远点正向一周的围道， 1）在 C 内有奇点 bk ，则,补充讨论：,在 t = 0 点邻域内幂级数展开中 t1 项的系数,在 t = 0 点邻域内幂级数展开中 t1 项的系数,在 z = 点邻域内幂级数展开中 z1 项的系数,此结果与有限远处奇点的留数不同之处为： 1）形式上多了一个负号； 2） z1 是 f(z) 在点展开的正则部分（绝对收敛的负幂项），即使点不是奇点，resf() 也可以不为 0；反之，即使点是奇点，甚至为一阶极点， resf() 也可以为 0。,留数的计算在积分计算中常用到！下面重点学习积分计算中留数定理的运用，涉及定积分和常见类型积分的计算。,R 在 上连
5、续，保证了 R(z) 在 上无奇点。,7.2 有理三角函数的积分,计算方法,R 为 和 的有理函数，在 上连续， 作变换 ，即 ， ， 则,计算积分,有一阶极点：,只有 在 内,设 ，则 ，,计算积分,被积函数为偶函数,令,则,在 内，函数 f(z) 只有一个一阶极点,中的被积函数为奇函数，,可见 z = 0 是被积函数 在 内的唯一奇 点，是 2n + 1 阶极点，若求 2n 阶导数则很复杂，故将 f(z) 在 中展开,计算积分,令,由二项式定理知,当 k = n 时，为 项,的奇点 均为一阶极点， 只有 在 内,计算积分,令,计算积分,令,有一阶极点 只有 在 内,在上半平面补上以圆点为圆
6、心 R 为半径的弧 CR，则 -R, R+CR 形成闭合围道，应用留数定理计算闭合围道积分后令 R0。,7.3 无穷积分, 将实变函数 f(x) 延拓为 f(z) 补上适当的积分路径，形成闭合围道,计算方法：,计算积分,在上半平面只有一个二阶极点,因为,由引理二（第三章）知,所以,可见，无穷积分的被积函数 f(z) 必须满足： 1）在上半平面除有限个孤立奇点外，处处解析，实轴上无奇点； 2）在 内，当 时， 一致的趋于 0。即 ，使当时，,计算定积分,在围道内只有一个一阶奇点,作围道,（引理二）,所以,即,在上半平面内有两个一阶极点 和,计算积分,只要知道 ，那么分别比较实部和虚部即可。,7.
7、4 含三角函数的无穷积分,当 时， 和 行为复杂，故取被积函数为,计算方法：,或,设 ，当 时，Q(z) 一致的趋近于 0，则,约当定理,其中 p 0，CR 是以原点为圆心，以 R 为半径的半圆弧。, 时，,可见,由复变积分性质知：,当 f(x) 为偶函数时， f(x)cospx 为偶函数，f(x)sinpx 为奇函数。,bk 在 C 内,约当引理保证了：,当 f(x) 为奇函数时， f(x)cospx 为奇函数，f(x)sinpx 为偶函数。,为偶函数,计算积分,在上半平面内有一阶极点 和,由约当引理知,非奇非偶,计算积分,在上半平面内有一个一阶极点,由约当引理知,所以,为奇函数,计算积分,
8、在上半平面内有一个一阶极点,由约当引理知,方法一：,所以,即,为奇函数,方法二：,所以, 主值积分解析函数 f(x) 在有界区域内某点 x0 无界，称为 f(x) 在 a, b 上的主值积分。,7.5 实轴上有奇点的情形,围道作法同上，只是积分围道绕过实轴上的奇点。围道多了一段以实轴上的奇点为圆心，d 为半径的半圆弧。,计算方法：,定义,计算主值积分,由引理二知：大弧上的积分为零。,又由引理一知：小弧上的积分值。,因此,即,计算积分,围道 C 内 解析，故积分值为零。,由约当引理知：大弧积分为零。当 时,又由引理一知：小弧上的积分值。,可知,即,所以,计算积分,围道 C 内 解析，故围道积分值
9、为零。,在实轴上有二阶极点 z = 0 ，作如图围道, ,又由约当引理知：大弧积分为零。当 时,由引理一知：小弧上的积分值。,即,计算积分,在实轴上有三阶极点 z = 0,由约当引理知：大弧积分为零。当 时,对于 I1 作围道 C，如下图,故,故,对于 I2 作围道 C，如下图,弧积分在下半平面，以保证 能满足约当引理中 的,由约当引理知：大弧积分为零。当 时,由以上分析可知,类似地可以求出,计算这类积分的关键：选择正确的复变积分的被积函数。,相应的复变积分为 ，z = 0 和 是被积函数的极点，沿正实轴作割线，并规定割线上岸 ，积分路径如上图， 。,7.6 多值函数的积分,计算方法：,s 为
10、实数，Q(x) 单值，在正实轴上没有奇点。,计算积分,如图沿正实轴作割线，并规定割线上岸,围道内仅有一个一阶极点,当 时,由此可推知一些积分，如 时,下一章学习 G 函数时会直接用到这个结果,实虚部分开,比较虚部可知,计算积分,如图沿正实轴作割线，并规定割线上岸,围道内仅有两个一阶极点,由引理一知：小弧上的积分为零。, 当 时,由引理二知：大弧上的积分为零。,由以上计算可知：的定积分可通过计算 得到；而 的计算则要通过计算 得到。,可得,没有得到 是因为 的多值性表现在虚部上，实部互相抵消。,因为此时 在割线上下岸的函数值 与 相互抵消，剩下 项正是所需。,右边,左边,所以,即,计算积分,如图，从 0 到 沿实轴作割线，,围道内仅有一个一阶极点,其中,方法一：,由复变积分性质知,所以,方法二：,如图沿正实轴作割线，并规定割线上岸,计算积分,如图从 -1 到 1 作割线，并规定割线上岸,支点为,当 时,又由引理二知：大弧积分为零。,由引理一知：小弧积分为 0。,所以，有,
