1、Z S T U密级保密期限： （涉密论文须标注） Zhejiang Sci-Tech University硕 士 学 位 论 文Masters Thesis中文论文题目 : 分数阶 Nambu 系统动力学 基本理论的研究 英文论文题目： Basic theories for dynamics of fractional Nambu systems 学科专业： 应用数学 作者姓名： 许艳丽 指导教师： 罗绍凯教授 完成日期： 2015 年 3 月 万方数据万方数据万方数据摘 要分 数 阶 微 积 分 的 研 究 已 经 有 三 百 多 年 的 历 史 ， 由 于 缺 少 实 际 应 用 背 景
2、， 分 数 阶 微 积 分 一直没有受到重视20 世纪 70 年代末，美国耶鲁大学教授 Mandelbort 发现自然界中存 在 大 量 分 数 维 的 事 实 ， 分 数 阶 动 力 学 的 研 究 迅 速 成 为 热 点 ， 在 理 论 与 应 用 上 取 得 了 很 大 的 发展Nambu 系统比广义 Hamilton 系统更为一般，是一类具有科学与工程背景的基本动 力学系统，但是，Nambu 系统动力学的研究停留在整数阶层面上，分数阶 Nambu 系统动 力学的理论有待于建立本论文建立了分数阶 Nambu 系 统 动 力 学 的 基 本 理 论 ， 研 究 了 分 数 阶 Nambu
3、系统的运 动 方 程 、 代 数 结 构 、 Poisson 积分、积分不变量的构造方法以及平衡状态流形稳定性理论， 并给出分数阶 Nambu 方法在实际问题中的应用第一章 简要的介绍了分数阶动力学和 Nambu 系 统 动 力 学 的 研 究 历 史 与 现 状 ， 提 出 了 本论文所要解决的问题第二章 简要的归纳了 RiemannLiouville、Caputo、RieszRiemannLiouville、RieszCaputo 和 Cresson 等五种不同分数阶导数的定义及其性质基于 Cresson 联合分 数阶导数的定义，利用 NambuPoisson 括号，建立了统一的分数阶 N
4、ambu 系统动力学方 程；基于不同的分数阶导数的定义，分别建立了四类分数阶 Nambu 系统动力学方程作 为分数阶 Nambu 方法的应用，分别构造了三个新型的分数阶动力学模型第三章 基于 RieszRiemannLiouville 分 数 阶 导 数 的 定 义 ， 分 别 探 究 了 分 数 阶 Nambu 系统与整数阶 Nambu 系 统 、 分 数 阶 广 义 Hamilton 系 统 、 广 义 Hamilton 系 统 、 自 治 的 分 数 阶 Birkhoff 系统、自治 Birkhoff 系统、分数阶 Hamilton 系统、经典 Hamilton 系统、分数 阶 Lagr
5、ange 系统以及 Lagrange 系统之间的关系，并且分别给出了退化或转化条件第四章 在 RieszRiemannLiouville 分 数 阶 导 数 的 定 义 下 ， 研 究 了 分 数 阶 Nambu 系统 的代数结构和 Poisson 积分我们发现，分数阶 Nambu 系统具有 Lie 代数结构，证明了 分数阶 Nambu 系统的 Poisson 积分定理作为其特殊情况，给出了整数阶 Nambu 系统、 分数阶广义 Hamilton 系统、广义 Hamilton 系统、分数阶 Hamilton 系统与 Hamilton 系统 的 Poisson 积分定理列举三个实例说明了分数阶
6、Nambu 系统 Poisson 定理的应用第五章 研究了 RieszRiemannLiouville 定义下的分数阶 Nambu 系统的变分方程与积分不变量的构造方法我们发现，利用分数阶 Nambu 系统的第一积分与变分方程，可以 构造分数阶 Nambu 系 统 的 积 分 不 变 量 ， 给 出 了 积 分 不 变 量 的 存 在 定 理 作 为 其 特 殊 情 况 ， 给出了整数阶 Nambu 系统、分数阶广义 Hamilton 系统、广义 Hamilton 系统、分数阶IHamilton 系统和 Hamilton 系统的变分方程和积分不变量最后，给出实例说明本章方法 的应用第六章 在
7、RieszRiemannLiouville 定 义 下 ， 研 究 了 分 数 阶 Nambu 系统的平衡状态流 形 的 稳 定 性 给 出 了 系 统 的 平 衡 方 程 、 受 扰 运 动 方 程 和 一 次 近 似 方 程 ， 得 到 判 定 系 统 平 衡 状态流形稳定性的三个命题作为其特殊情况，给出了判定整数阶 Nambu 系统、分数阶 广义 Hamilton 系统、广义 Hamilton 系统、分数阶 Hamilton 系统和 Hamilton 系统的平衡 状态流形稳定性的相应推论列举实例说明了本章方法的应用第七章 归 纳 总 结 了 本 文 的 主 要 工 作 ， 提 出 了 分
8、 数 阶 Nambu 系统动力学进一步研究的 一些建议关键词：分数阶算子，分数阶 Nambu 系统，代数结构，Poisson 积分，积分不变量，稳 定性，平衡状态流形AbstractThe study of fractional differential-integral has developed more than 300 years. However, because of little practical application, fractional differential-integral has not been taken seriously. In the end of t
9、he 1970s, Mandelbrot discovered a fact that a large number of fractional dimension examples existed in nature. Since then the study of the fractional dynamics has become a hot topic and won wide development in theories and applications. Nambu system is more general than generalized Hamiltonian syste
10、m, which is a kind of basic dynamics system with science and engineering background. However, the Nambu system still stays in integer order calculus level, basic theory for dynamics of fractional Nambu system is a subject for continued research.In this paper, we establish basic theory of fractional
11、Nambu system, which include the fractional Nambu equations, the algebraic structure, the Poisson integral, the method of constructing integral invariants, the stability theory for the manifolds of equilibrium states and the applications of the practical problem.Section 1 explains briefly the history
12、 and status of fractional dynamics and Nambu system dynamics, makes an induction of the problems of this paper.Section 2 describes briefly the definitions and the properties of the RiemannLiouville, the Caputo, the RieszRiemannLiouville and RieszCaputo fractional derivatives, respectively. Based on
13、the definition of combined fractional derivative, using the method of NambuPoisson, four fractional Nambu equations are established, respectively. Then we construct three fractional dynamical models by using the method of this paper.In Sect. 3 based on the definition of the RieszRiemannLiouville fra
14、ctional derivative, we explore the relations among the fractional Nambu system, fractional generalized Hamilton system, generalized Hamilton system, fractional Birkhoff system, Birkhoff system, fractional Hamilton system, Hamilton system, fractional Lagrangian system and Lagrangian system, and give
15、the transformation conditions.In Sect. 4 based on the definition of the RieszRiemannLiouville fractional derivative, we study algebraic structure and Poisson integral. We discover that fractional Nambu system possesses Lie algebraic structure, and then we give the Poisson integral theorems of the fr
16、actional Nambu system. As special cases, the Poisson integral conclusions of Nambu system, fractional generalized Hamilton system, gneralized Hamilton system, fractional Hamilton systemand Hamilton system are obtained. Finally, three models are given to illustrate the method and results of this sect
17、ion.In Sect. 5 we study the variational equations and integral invariants of fractional Nambu system with RieszRiemannLiouville fractional derivative. By using the variational equations and first integrals, we construct a class of integral invariants of fractional Nambu system. As special cases, the
18、 variational equations and integral invariants of Nambu system, fractional generalized Hamilton system, gneralized Hamilton system, fractional Hamilton system and Hamilton system are obtained. Examples of fractional dynamical system are given to illustrate the method and results of the application.I
19、n Sect. 6 based on the definition of the RieszRiemannLiouville fractional derivative, we study the stability theory for the manifolds of equilibrium states of fractional Nambu system, which includes equilibrium equations, perturbation equations, first approximate equations and three propositions on
20、the stability of the manifolds of equilibrium states of the system. As special cases, we give the conclusions on the stability of the manifolds of Nambu system, fractional generalized Hamilton system, gneralized Hamilton system, fractional Hamilton system and Hamilton system. Examples of practical m
21、odels are given to illustrate the method and results of the application.Section 7 concludes the research results of this paper, and gives some suggestions in many other aspects of fractional Nambu system.Key words: Fractional order operator, Fractional Nambu system, Algebraic structure, Poisson inte
22、gral, Integral invariant, Stability, Manifold of equilibrium state.IV.目 录摘 要 IAbstract.III目 录 .1第一章 绪论 41.1 分数阶动力学的历史与现状 .41.2 Nambu 系统动力学的历史与现状 .51.3 主要研究内容 .7第二章 分数阶 Nambu 系统 92.1 分数阶导数的定义与性质 .92.1.1 RiemannLiouville 分数阶导数的定义与性质 92.1.2 RieszRiemannLiouville 分数阶导数的定义与性质 102.1.3 Caputo 分数阶导数的定义与性质 1
23、12.1.4 RieszCaputo 分数阶导数的定义与性质 .112.1.5 联合分数阶导数的定义与性质 122.2 整数阶 Nambu 系统动力学方程 .132.3 分数阶 Nambu 系统动力学方程 .142.3.1 统一的分数阶 Nambu 系统动力学方程 152.3.2 联合 RiemannLiouville 定义下的分数阶 Nambu 方程 .162.3.3 RieszRiemannLiouville 定义下的分数阶 Nambu 方程 182.3.4 联合 Caputo 定义下的分数阶 Nambu 方程 192.3.5 RieszCaputo 定义下的分数阶 Nambu 方程 .2
24、12.4 分数阶 Nambu 方法的应用 .222.4.1 基于分数阶 Nambu 方法构造一个新的分数阶动力学模型 222.4.2 基于分数阶 Nambu 方法构造分数阶 Euler 陀螺模型 .232.4.3 基于分数阶 Nambu 方法构造分数阶相对论 Y amaleev 振子模型 .242.5 本章小结.26第三章 分数阶 Nambu 系统与其它动力学系统之间的关系 273.1 分数阶 Nambu 系统与 Nambu 系统之间的关系 .273.2 分数阶 Nambu 系统与分数阶广义 Hamilton 系统之间的关系 283.2.1 广义 Poisson 括号与分数阶广义 Hamilt
25、on 方程 283.2.2 分数阶 Nambu 系统与分数阶广义 Hamilton 系统之间的关系 .283.3 分数阶 Nambu 系统与广义 Hamilton 系统之间的关系 293.4 分数阶 Nambu 系统与分数阶 Birkhoff 系统之间的关系 .293.5 分数阶 Nambu 系统与 Birkhoff 系统之间的关系 .303.6 分数阶 Nambu 系统与分数阶 Hamilton 系统之间的关系 313.7 分数阶 Nambu 系统与 Hamilton 系统之间的关系 313.8 分数阶 Nambu 系统与分数阶 Lagrange 系统之间的关系 323.9 分数阶 Namb
26、u 系统与 Lagrange 系统之间的关系 323.10 本章小结.33第四章 分数阶 Nambu 系统的代数结构与 Poisson 积分 .344.1 分数阶 Nambu 系统的代数结构与 Poisson 积分 344.1.1 分数阶 Nambu 系统的代数结构 3414.1.2 分数阶 Nambu 系统的 Poisson 积分 .364.2 Nambu 系统的代数结构与 Poisson 积分 404.2.1 Nambu 系统的代数结构 414.2.2 Nambu 系统的 Poisson 积分 .424.3 分数阶广义 Hamilton 系统的代数结构与 Poisson 积分 .464.3
27、.1 分数阶广义 Hamilton 系统的代数结构 464.3.2 分数阶广义 Hamilton 系统的 Poisson 积分 474.4 广义 Hamilton 系统的代数结构与 Poisson 积分 .484.5 分数阶 Hamilton 系统的代数结构与 Poisson 积分 494.6 Hamilton 系统的代数结构与 Poisson 积分 .514.7 分数阶 Nambu 系统 Poisson 积分定理的应用 .524.7.1 一个三维分数阶动力学模型的 Poisson 积分 .524.7.2 分数阶 Euler 陀螺模型的 Poisson 积分 .544.7.3 分数阶相对论 Y
28、amaleev 振子模型的 Poisson 积分 554.8 本章小结.56第五章 分数阶 Nambu 系统的变分方程与积分不变量 575.1 分数阶 Nambu 系统的变分方程与积分不变量 .575.2 Nambu 系统的变分方程与积分不变量 .605.3 分数阶广义 Hamilton 系统的变分方程与积分不变量 .625.4 广义 Hamilton 系统的变分方程与积分不变量 .635.5 分数阶 Hamilton 系统的变分方程与积分不变量 .645.6 Hamilton 系统的变分方程与积分不变量 .655.7 分数阶 Nambu 系统积分不变量构造方法的应用 .655.7.1 一个三
29、维分数阶动力学模型的积分不变量 665.7.2 分数阶 Euler 陀螺模型的积分不变量 .675.7.3 分数阶相对论 Y amaleev 振子模型的积分不变量 .685.8 本章小结.69第六章 分数阶 Nambu 系统平衡状态流形的稳定性 706.1 分数阶 Nambu 系统平衡状态流形的稳定性 .706.1.1 分数阶 Nambu 系统的运动微分方程 706.1.2 分数阶 Nambu 系统的平衡方程 716.1.3 分数阶 Nambu 系统的受扰运动方程和一次近似方程 716.1.4 分数阶 Nambu 系统平衡状态流形的稳定性 736.2 Nambu 系统平衡状态流形的稳定性 .7
30、46.3 分数阶广义 Hamilton 系统平衡状态流形的稳定性 .776.4 广义 Hamilton 系统平衡状态流形的稳定性 .796.5 分数阶 Hamilton 系统平衡状态流形的稳定性 .816.6 Hamilton 系统平衡状态流形的稳定性 .846.7 分数阶 Nambu 系统平衡状态流形稳定性判据的应用 .866.7.1 一个三维分数阶动力学模型的平衡状态流形的稳定性 866.7.2 分数阶 Euler 陀螺模型的平衡状态流形的稳定性 .876.7.3 分数阶相对论 Y amaleev 振子模型的平衡状态流形的稳定性 .896.8 本章小结 .90第七章 总结与展望 917.1
31、 本文的主要结果 .9127.2 未来研究工作的设想 .92参考文献93致 谢 .100攻读硕士学位期间发表的论文 .1013第一章 绪论1.1 分数阶动力学的历史与现状1695 年，Leibnitz 和 LHospital 两人以书信的方式探讨过分数阶微积分和最简单的分 数 阶 微 分 方 程 问 题 ， 提 出 是 否 存 在 d1/ 2 x / dt1/ 2 这样的导数？124 年以后(1819 年)Lacroix 给出了正确解答： d1/ 2 x / dt1/ 2 2t1/ 2 / 1这个问题经过诸多数学家长时期的探索，逐步形成了 RiemannLiouville 分数阶算子， Grn
32、waldLetnikov 分数阶算子，Weyl 分数阶算 子，Marchaud 分数阶算子， Caputo 分数阶算子， RieszRiemannLiouville 分数阶算子， RieszCaputo 分数阶算子等 6 种定义分数阶动力学系统不仅能够真实地反映自然现象， 而 且 更 加 接 近 于 工 程 实 际 尽 管 分 数 阶 微 积 分 的 研 究 已 有 300 余 年 的 历 史 ， 但 是 由 于 缺 少实 际 应 用 背 景 ， 分 数 阶 微 积 分 一 直 没 能 得 到 学 术 界 的 重 视 直 到 20 世纪 70 年 代 末 ， 美 国 耶鲁大学教授 Mandel
33、bort2发 现 自 然 界 中 存 在 大 量 分 数 维 的 事 实 ， 分 数 阶 微 积 分 的 研 究 才 开始受到科学界的普遍关注近 20 多年来，分数阶微积分的研究在理论与应用上取得了 一 系 列 重 要 进 展 ， 在 粘 弹 性 系 统 、 耗 散 系 统 、 电 磁 场 理 论 、 流 体 力 学 、 工 程 科 学 等 诸 多 领 域得到广泛应用 3-3119961997 年，Riewe 3,4 首 次 提 出 了 非 保 守 系 统 的 分 数 阶 Larange 方 程 和 分 数 阶 Hamilton 方 程 ， 并 且 应 用 于 耗 散 系 统 20012002
34、 年 ， Klimek5,6 提出了 RiemannLiouville 分 数 阶 导 数 下 的 分 数 阶 连 续 力 学 模 型 ， 给 出 了 具 有 变 系 数 的 分 数 阶 微 分 方 程 的 稳 态 守 恒 律20022007 年，Agrawal 7-9在研究保守和非保守系统的分数阶变分问题时，提出了广 义分数阶 Euler-Lagrange 方程20052006 年 ， Tarasov 用 Euler-Lagrange 形式的变分方程 得到了分数阶 Bogoliubov hierarchy 方程 10和 Ginzburg-Landau 方 程 11 2010 年 ， Tara
35、sov 出版了专著Fractional Dynamics 12，该书全面总结了分数阶动力学此前的发展，介绍 了 分 数 阶 动 力 学 的 应 用 ， 讨 论 了 分 数 阶 刚 体 动 力 学 、 分 数 阶 电 磁 场 理 论 、 分 数 阶 Ginzburg-Landau 方程、分数阶动力学系统、动力学中变分的分数阶积分、分数阶非完整 约束系统、分数阶量子力学等等2006 年，Cresson 提出了联合分数阶导数的定义，并给 出了其应用 13近 10 年来，国内外学者在分数阶动力学理论与应用方面取得了一系列重 要 进 展 14-23 20102011 年 ， 罗 绍 凯 分 别 提 出
36、了 分 数 阶 广 义 Hamilton 力 学 、 分 数 阶 Birkhoff 力学和分数阶 Nambu 力学的研究方向，并且构建了理论体系框架；此后，带领研究生分 别研究了分数阶广义 Hamilton 系统 24-30和分数阶 Birkhoff 系统 31,32的梯度表示、代数结4构、Poisson 积 分 、 积 分 不 变 量 的 构 造 、 平 衡 状 态 流 形 的 稳 定 性 等 ， 并 且 用 分 数 阶 广 义 Hamilton 方 法 或 分 数 阶 Birkhoff 方 法 构 造 了 一 系 列 实 际 问 题 的 分 数 阶 动 力 学 模 型 24-32Nambu
37、 系统比广义 Hamilton 系统更为一般，是一类具有重要科学与工程背景的基 本动力学系统，但是，分数阶 Nambu 系统动力学的基本理论有待于建立1.2 Nambu 系统动力学的历史与现状1788 年 ， 法 国 伟 大 的 数 学 家 、 力 学 家 、 天 文 学 家 Lagrange在 其 名 著 Analytical Mechanics中创立了 Lagrange力学，开辟了分析力学研究的新领域18341835年，英国 数学家、物理学家Hamilton发表了两篇长论文论动力学中的一个普遍方法和再论动 力学中的普遍方法，提出了著名的Hamilton原理和Hamilton正则方程，把分析
38、力学推向 前进Hamilton 系统是在偶数维的相空间上定义的，虽然它具有非常好的内在结构，却无 法 描 述 奇 数 维 的 动 力 学 问 题 1953年 ， 瑞 士 物 理 学 家 Pauli33在 研 究 非 局 域 场 论 的 量 子 化 问 题时，给出了Hamilton力学非正则变量的一种推广1959年，物理学家 Martin34在研究难 以构造Lagrange函数的动力学问题时，应用Hamilton力学理论得到了类似的推广他们的 理 论 都 是 把 Hamilton力 学 中 的 偶 数 维 相 空 间 推 广 到 了 任 意 维 空 间 ， 这 一 理 论 被 称 为 广 义 H
39、amilton系统动力学后来科学家们使用广义Poisson括号来定义广义Hamilton系统，李继 彬、赵晓华、刘正荣在其专著中系统阐述了广义Poisson括号方法，研究了广义Hamilton系 统的理论与应用 351973年 ， Nambu36以 Liouville定 理 为 引 导 原 理 ， 提 出 了 经 典 Hamilton动 力 学 在 三 维 空 间 的 扩 展 ， 并 将 Poisson括 号 推 广 为 NambuPoisson括 号 ， 建 立 的 运 动 方 程 包 括 两 个 Hamilton 函 数 和 3个 独 立 变 量 ， 该 系 统 被 称 为 Nambu系
40、统 ； 同 时 ， Nambu也 把 这 一 工 作 拓 展 到 任 意 奇 数维的动力学系统，给出了相应的Nambu系统动力学方程此后，Nambu 系统的理论和应 用 受 到 人 们 的 重 视 ， 取 得 了 一 系 列 重 要 成 果 36-63 1975 年，Bayen和Flato 37利用Dirac奇异 方程，从经典和量子两方面研究了嵌入Nambu系统中的Hamilton函数1976 年，Mukunda 和Sudarshan 38研究了Nambu系统与Hamilton系统之间的关系，得出Hamilton系统和Nambu 系 统 可 以 相 互 转 化 的 结 论 ， 并 讨 论 了
41、在 三 维 空 间 中 一 种 可 能 的 Lagrange量 的 构 造 方 法 1994 年，Takhtajan 39,40引入了 NambuPoisson括号的基本恒等式，以取代Jacobi 恒 等 式 ， 并 且 定 义 了 NambuPoisson流 形 ， 进 而 提 出 Lie代 数 此 后 ， NambuPoisson括 号 得 到 了 广 泛 的 应 用 41-451997 年， Ditto， Flato，Sternheimer 和Takhtajan 46提出了Nambu 系统的量子化问 题 ， 并 指 出 Nambu系 统 的 基 本 恒 等 式 在 量 子 化 情 况 下
42、 仍 然 成 立 46,47 20022004年 ， Curtright5和Zachos在Nambu系统中通过变形方法实现了超可积系统的量子化，并用Nambu括号美妙 地合并了该模型额外的量子不变量 48,492002年，Guha 发 现 ， 在 允 许 宽 松 三 元 组 的 情 况 下，简化的Dubrovin-Novikov流体力学模型可以纳入Nambu体系中 50,51目前，Nambu系 统 在 可 积 系 统 、 计 算 数 学 、 数 学 物 理 、 粒 子 物 理 、 宇 宙 学 、 流 体 力 学 、 弦 论 等 方 面 有 着 广 泛 的 应 用 1996年 以 来 ， Cza
43、chor 对 Nambu系 统 理 论 的 发 展 做 出 了 重 要 贡 献 52-56， 他 从 Dirac 方程出发，在 Lie-Poisson括号的基础上提出Lie-Nambu结构，并得到一个广义的、非线性 的、完全可积的密度矩阵；之后，Czachor发现，如果密度矩阵是非线性triple-bracket方程 的自伴随和Hilbert-Schmidt解，则其光谱具有不变性Nambu 系统是一类更具一般意义的基本动力学系统，在当代科学与工程的诸多领域 扮演着重要角色但是，Nambu 系统动力学的研究仍然停留在整数阶的层面上，分数阶 Nambu 系统动力学的基本理论有待于建立本文利用不同分
44、数阶导数的定义，分别建立 分数阶 Nambu 系 统 动 力 学 的 基 本 理 论 ， 而 且 揭 示 分 数 阶 Nambu 系统的内在性质和动力学 行为.对 称 性 原 理 是 物 理 学 中 更 高 层 次 的 法 则 动 力 学 系 统 的 不 变 量 在 数 学 、 力 学 、 物 理 学 、 工 程 科 学 、 非 线 性 科 学 等 诸 多 领 域 中 扮 演 着 重 要 角 色 寻 找 微 分 不 变 量 的 方 法 主 要 有 ： 基 于 Lie 代 数 结 构 的 Poisson 方法 64-69、Noether 对 称 性 方 法 64,65,70-74、 Lie 对
45、称 性 方 法 64,65,75-84、 Mei 对 称 性 方 法 65,85-89和 共 形 不 变 性 方 法 90-92 基 于 Lie 代数结构的 Poisson 方 法 是 寻 找 力 学 系 统 微 分 不 变 量 的 一 类 重 要 方 法 ， 已 经 被 广 泛 用 于 Lagrange 系 统 、 Hamilton 系 统 、 非 完 整 系 统 、 广 义 Hamilton 系 统 、 Birkhoff 系 统 、 变 质 量 系 统 、 相 对 运 动 系 统 、 相 对论和转动相对论系统等 60-65最近，这一基于 Lie 代数结构的 Poisson 方法被拓展应用
46、于分数阶广义 Hamilton 系统和分数阶 Birkhoff 系 统 24,29,30,32 但 是 ， 这 种 方 法 能 否 应 用 于 、 怎样应用于 Nambu 系 统 呢 ？ 进 而 ， 这 种 方 法 能 否 应 用 于 、 怎 样 应 用 于 分 数 阶 Nambu 系统 呢？这是我们在本文中所要解决的问题之一动 力 学 系 统 的 积 分 不 变 量 在 数 学 、 力 学 、 物 理 学 、 工 程 科 学 、 非 线 性 科 学 等 诸 多 领 域 中有着宽泛的应用背景Arnold 甚至认为：积分不变量不仅是 Hamilton 流的基础，而且也 可 以 作 为 整 个 力
47、 学 的 基 础 动 力 学 系 统 的 第 一 积 分 与 积 分 不 变 量 具 有 着 密 切 的 联 系 ， Whittaker 于 1904 年 首 次 利 用 第 一 积 分 构 造 了 完 整 保 守 系 统 的 积 分 不 变 量 93， 此 后 ， 构 造 积分不变量的 Whittaker 方 法 受 到 学 术 界 普 遍 的 重 视 ， 被 广 泛 应 用 于 非 完 整 系 统 94-100、 变 质量系统 98,99 、非等时变分系统 100-103、广义力学系统 102-105、广义 Hamilton 系统 106、 Birkhoff 系 统 107-109和 转
48、动 相 对 论 系 统 109等 ， 形 成 了 构 造 复 杂 力 学 系 统 积 分 不 变 量 的 一 类6普遍方法最近，这一构造积分不变量的方法被分别拓展应用于分数阶广义 Hamilton 系 统与分数阶 Birkhoff 系 统 25,27,30,32 但 是 ， 这 种 方 法 能 否 应 用 于 、 怎 样 应 用 于 分 数 阶 Nambu 系统呢？进而，这种方法能否应用于、怎样应用于分数阶 Nambu 系统呢？这也是我们在 本文中所要解决的又一问题19 世纪末，Lyapunov 创立了运动稳定性理论，建立了判断系统受扰和无扰运动状态 是否相差很小的判别方法Whittaker
49、于 1904 年首次研究了非完整系统的稳定性问题 110， 此后，Bottema 111，Aiserman 和 Gantmacher112， Karapelyan113，Neimark 和 Fufaev114， Rumyantsev， Mikhailov 和 Parton115-117等学者在这一领域做了大量的工作，得到不少有意 义的结果近 20 多年来，梅凤翔、朱海平、罗绍凯、张毅、李彦敏、姜文安等分别研究 了 非 线 性 非 完 整 系 统 118-121、 Birkhoff 系 统 122,123、 广 义 Hamilton 系统 124,125的平衡状态流 形 的 稳 定 性 最 近 ， 罗 绍 凯 、 许 艳 丽 等 研 究 了 分 数 阶 广 义 Hamilton
