1、正交变换在多元 Talylor 公式中的应用第 3 期聂锡军:正交变换在多元 Taylor 公式中的应用正交变换在多元 Taylor 公聂锡军式中的应用(辽东学院基础部,辽宁丹东 118003)摘要:正交变换是欧式空间中一类重要的变换,是保持度量不变的变换 ,正因为它有这一特征,使正交变换在高等代数中起着重要的作用.不仅如此,正交变换在其他数学分支中也有独到的作用.本文就正交变换在多元函数 Taylor 公式中的作用进行讨论.关键词:正交变换;Taylor 公式中图分类号:O172.1 文献标识码:A 文章编号:1o08 2174(2004)O30o7502众所周知,求多元函数 f(,:,)在
2、某点 P.的 Tay-r 公式, 困难在于求其混合偏导数的繁琐,计算量较大,如果我们能适时引入正交变换就可以使求混合偏导数变得相对简单,甚至可以避免求混合偏导数.多元 Taylor 公式是指:若函数,(,:, )在 P.(.,:.,.)的某邻城 U(P.)内具有直到 n+1 阶连续偏导数,则对 U(P.)内的任一点(.+h,:.+h2,.+h)有,f(l.+h1,2.+h2,.+h).,.,.)+(去+.一 k)a1dd.,(.,:.,.)+.者(t:+.+-.,.,.)+而(南 +d,l+l!d1d,h2+.?+h)+1,(l.+Ohl,2.+Oh2,.+Oh)Un(O01)下面引入正交变换
3、设 A=(a)为一正交矩阵,则有 AA=,A=1(右旋转 ),令 X=(,:,),Y=(Y,Y2:),则由正交变换 Y=A 可得 :X=ArY.再转置,既有,(.,:,)在某点邻城内正交变换后的 Taylor 公式.定理 1.在正交变换 Y=AX 下有,(X)=,(Al,),那么函数,()在点 P.(.,:.)的值等于,(Al,)在点(Y., )的值 ,其中由变换 Y=A 所对应的方程组在 X 取值 P.时所唯一确定的值.定理 2.若,(,:,) 在点 P.的某邻城 U(P.)有直到 n+1 阶连续偏导数,则在正交变换后,(Al,) 在点的邻城(Q.) 也有 n+1 阶连续偏导数,其中(Q.)
4、是在 Y=A 变换下,U(p.)所对应的邻城.这两个定理的结论是显而易见的,有这两个定理作保证,在求多元函数 Tailor 公式时,就可以大胆使用正交变换,我们得到变换后的 Taylor 公式后,若想回到原变量,只需要在公式中作逆变换即可.例 1,求,(,Y)=sin(+Y)在(0,0)的 Taylor公式解:我们知道+Y=0 的法向量为 n=(1,1)单位向量为(,), 取此方向为变换后的 u 轴,0202另取 V 轴,使其与 u 轴正交,如取=(,一)两个向量可构成正交矩阵 A=I1111f作正交变换()=A(;)ll-=U“1-=221u 一1 则+y=1u,(+y)=2u2那么求 f(
5、,)=sin(+Y)在(0,0)的 Taylor公式变成了,(U):sin2u 在 U=O 的 Taylor 公式si 一+一+收稿日期:2o040605作者简介:聂锡军(1963 一),男,辽宁丹东人,副教授,研究方向:应用数学的教学与研究,l_-,JI_-,一/,._/ll,l_-,JI_-,rA:,l_-,JI_-,口日76 聂锡军:正交变换在多元 Taylor 公式中的应用第 11 卷n(+y).=(+),)一兰 +兰一+(一 1)一+j 一.()例 2,求(,Y,)=(1+Y+)在(0,0,0)的 Taylor 公式解:+Y+=0 的法向量为(1,1,1),单位向量为1,1,1)取此
6、方向作为变换后的 u 轴,另取两轴 v,w,使它们两两正交,如取=(去,一 1,.),=(去,1,).此三向量可构成正交矩阵oA=1111一10在112(0,0,0)由于(,Y,)=A(u,F,).则得 Y+=这样求 ln(1+Y+)在(0,0,0)的 Taylor 公式,就变成求 ln(1+)在 u=0 的 Taylor 公式,即In(1+):一+.+(一 1)一+志 11,3-0c.?(,l+)(+)由于 u:_上,/3所以 ln(1+),=(+),一+(一 1)一一-+(一 1)nn(001)(,l+1)(1+)“一参考文献1姚允龙.高等数学与数学方法导引M.上海:复旦大学出版社,198
7、8.【2张禾瑞 .高等代数M.北京:高等教育出版社作变换(u,F,)=A(,Y,),1983则知(,Y,)=(0,0,0)时,(“,F,W)=TheUsuageofOrthognalTransformationinMultirariateTaylorFormulaNIEXiiLIB(EssentialEducationDepart.meat,EasternLiaoningUniversity,Dandong118003,China)Abstract:OrthognaltransformationisanimportantkindoftransformationinEuclideanspace.Itisthetransformationthatremainsmetricunchanged.Justbecauseofthischaracteristic,makesitplayanimportantroleinhigheralgebra.Inaddition,italsohasapaficularfunctioninothermathematicsbranches.Inthispaperwewilldiscussit.Keywords:orthognaltransformation;Taylorformula
