1、1.2 函数的极值,第四章 1 函数的单调性与极值,学习目标 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系. 2.掌握函数极值的判定及求法. 3.掌握函数在某一点取得极值的条件,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 函数的极值点与极值的概念,梳理 (1)如图1，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数yf(x)在任何一点的函数值都小于或等于x0点的函数值，称点x0为函数yf(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值 (2)如图2，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数yf(x)在任何一点的函数值都大于或等于x0点的函数值，称点x0为函数yf(x
2、)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值 (3)极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点,知识点二 函数极值的判定,1.单调性判别： (1)如果函数yf(x)在区间(a，x0)上是 ，在区间(x0，b)上是_，则x0是极大值点，f(x0)是极大值. (2)如果函数yf(x)在区间(a，x0)上是 ，在区间(x0，b)上是 ，则x0是极小值点，f(x0)是极小值.,减少,的,增加的,减少的,增加的,2.图表判别： (1)极大值的判定：,(2)极小值的判定：,知识点三 求函数yf(x)的极值的步骤,1.求出导数f(x). 2.解方程f(x)0. 3.对于方程f(x)0的每一个
3、解x0，分析f(x)在x0左、右两侧的符号(即f(x)的单调性)，确定极值点： (1)若f(x)在x0两侧的符号为“左正右负”，则x0为极大值点； (2)若f(x)在x0两侧的符号为“左负右正”，则x0为极小值点； (3)若f(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点.,思考辨析 判断正误 1.导数值为0的点一定是函数的极值点.( ) 2.在可导函数的极值点处，切线与x轴平行.( ) 3.函数f(x) 无极值.( ) 4.定义在a，b上的连续函数f(x)若有极值f(x0)，则x0(a，b).( ) 5.函数的极值点一定是其导函数的变号零点.( ),题型探究,类型一 求函数的极值,解答,例1
4、求下列函数的极值. (1)f(x)2x33x212x1；,解 函数f(x)2x33x212x1的定义域为R， f(x)6x26x126(x2)(x1)， 解方程6(x2)(x1)0，得x12，x21. 当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：,所以当x2时，f(x)取极大值21； 当x1时，f(x)取极小值6.,(2)f(x)x22ln x.,解答,解 函数f(x)x22ln x的定义域为(0，)，,得x11，x21(舍去). 当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：,因此当x1时，f(x)有极小值1，无极大值.,反思与感悟 求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义
5、域，求导数f(x). (2)求f(x)的拐点，即求方程f(x)0的根. (3)利用f(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值. 特别提醒：在判断f(x)的符号时，借助图像也可判断f(x)各因式的符号，还可用特殊值法判断.,跟踪训练1 已知函数f(x)ex(axb)x24x，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y4x4. (1)求a，b的值；,解答,解 f(x)ex(axb)aex2x4 ex(axab)2x4， f(0)ab44， 又f(0)b4， 由可得ab4.,(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值.,解答,解 f(x)ex(4x4)x
6、24x， 则f(x)ex(4x8)2x44ex(x2)2(x2)(x2)(4ex2). 令f(x)0，得x12，x2ln 2， 当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：,f(x)在(，2)，(ln 2，)上是增加的， 在(2，ln 2)上是减少的. 当x2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(2)4(1e2).,类型二 已知函数极值求参数,例2 设x1与x2是函数f(x)aln xbx2x的两个极值点. (1)试确定常数a和b的值；,由题意可知f(1)f(2)0，,解答,(2)判断x1，x2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由.,解答,解 x1，x2分别是函数f(x)的极
7、小值点，极大值点. 理由如下：,又f(x)的定义域为(0，)， 当x(0,1)时，f(x)0； 当x(2，)时，f(x)0，故在x1处函数f(x)取得极小值， 在x2处函数取得极大值，故x1为极小值点，x2为极大值点.,反思与感悟 已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式时，注意两点 (1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组. (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以求解后必须验证根的合理性.,跟踪训练2 (1)已知函数f(x)x33ax2bxa2在x1处有极值0，则a_，b_.,解析,答案,2,9,解析 f(x)3x26axb，且函数f(x)在x1处有极值0，,当a1
8、，b3时，f(x)3x26x33(x1)20， 此时函数f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去. 当a2，b9时，f(x)3x212x93(x1)(x3). 当x(，3)时，f(x)0，此时f(x)是增加的；,当x(3，1)时，f(x)0，此时f(x)是增加的. 故f(x)在x1处取得极小值，a2，b9.,(2)若函数f(x) x3x2ax1有极值点，则a的取值范围为_.,解析,答案,(，1),解析 f(x)x22xa， 由题意得方程x22xa0有两个不同的实数根， 44a0，解得a1.,类型三 函数极值的综合应用,例3 已知函数f(x)x33ax1(a0).若函数f(x)在x1处取得极值，直
9、线ym与yf(x)的图像有三个不同的交点，求m的取值范围.,解答,解 因为f(x)在x1处取得极值且f(x)3x23a， 所以f(1)3(1)23a0，所以a1， 所以f(x)x33x1，f(x)3x23， 由f(x)0，解得x11，x21. 当x0； 当11时，f(x)0. 所以由f(x)的单调性可知， f(x)在x1处取得极大值f(1)1，,在x1处取得极小值f(1)3. 作出f(x)的大致图像如图所示.,因为直线ym与函数yf(x)的图像有三个不同的交点， 结合f(x)的图像可知，m的取值范围是(3,1).,引申探究 若本例“三个不同的交点”改为“两个不同的交点”结果如何？改为“一个交点
10、”呢？,解答,解 由本例解析可知当m3或m1时， 直线ym与yf(x)的图像有两个不同的交点； 当m1时，直线ym与yf(x)的图像只有一个交点.,反思与感悟 利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图像，从直观上判断函数图像与x轴的交点或两个函数图像的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便.,跟踪训练3 已知函数f(x)x36x29x3，若函数yf(x)的图像与yf(x)5xm的图像有三个不同的交点，求实数m的取值范围.,解答,解 由f(x)x36x29x3， 可得f(x)3x212x9，,则由题意可得x36x29x3x2x3m有三个不相等的实
11、根， 即g(x)x37x28xm的图像与x轴有三个不同的交点. g(x)3x214x8(3x2)(x4)，,当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表：,达标检测,1.函数f(x)的定义域为R，导函数f(x)的图像如图所示，则函数f(x) A.无极大值点，有四个极小值点 B.有三个极大值点，两个极小值点 C.有两个极大值点，两个极小值点 D.有四个极大值点，无极小值点,答案,解析,1,2,3,4,5,解析 f(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值， f(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值， 由图像易知有两个极大值点，两个极小值点.,2.已知函数f(x)ax3x2x5在(，)上既有
12、极大值，也有极小值，则实数a的取值范围为,1,2,3,4,5,答案,解析,解析 f(x)3ax22x1，令f(x)0， 即3ax22x10有两个不等实根，,3.已知a为函数f(x)x312x的极小值点，则a等于 A.4 B.2 C.4 D.2,1,2,3,4,5,答案,解析,解析 f(x)x312x， f(x)3x212， 令f(x)0，则x12，x22. 当x(，2)，(2，)时，f(x)0，则f(x)是增加的； 当x(2,2)时，f(x)0，则f(x)是减少的， f(x)的极小值点为a2.,4.设函数f(x)6x33(a2)x22ax.若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x21，则实数a的值为_.,1,2,3,4,5,答案,解析,9,解析 f(x)18x26(a2)x2a.,所以a9.,5.已知曲线f(x)x3ax2bx1在点(1，f(1)处的切线斜率为3，且x是yf(x)的极值点，则ab_.,1,2,3,4,5,答案,解析,2,解析 因为f(x)3x22axb，,1.在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值. 2.函数的极值是函数的局部性质.可导函数f(x)在点xx0处取得极值的充要条件是f(x0)0且在xx0两侧f(x)符号相反. 3.利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图像的交点问题.,规律与方法,
