1、第1课时 利用导数研究函数的极值,第三章 3.3.2 利用导数研究函数的极值,学习目标 1.了解函数极值的概念，能从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系. 2.掌握函数极值的判定及求法. 3.掌握函数在某一点取得极值的条件,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 函数极值的概念,函数yf(x)的图象如图所示,思考1 函数f(x)在点xa处的函数值与这点附近的函数值有什么大小关系？f(x)在xa处的值与其附近的值有什么关系？,答案 函数在点xa处的函数值f(a)比它在点xa附近的其他点的函数值都小；f(a)0，在点xa附近的左侧f(x)0.,思考2 函数在点xb处的情况呢？
2、,答案 函数在点xb处的函数值f(b)比它在点xb附近的其他点的函数值都大，f(b)0，且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0.,梳理 函数的极值及极值点 (1)已知函数yf(x)及其定义域内一点x0，对于存在一个包含x0的开区间内的所有点x，如果都有f(x)f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极大值，记作y极大值f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极大值点；如果都有f(x)f(x0)，则称函数f(x)在点x0处取极小值，记作y极小值f(x0)，并把x0称为函数f(x)的一个极小值点 (2)极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点 极值点是指函数在区间(a，b
3、)内取得极大(小)值的对应的自变量x0，极值点不是点，是一个数x0(a，b)；而极值是一个函数值，是极值点x0对应的函数值f(x0),(3)函数的极值与其导数的关系 极大值与导数的关系,极小值与导数的关系,(1)求导数f(x)； (2)求方程f(x)0的所有实数根； (3)对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧，导函数f(x)的符号如何变化如果f(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；如果f(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值 如果在f(x)0的根xx0的左右侧符号不变，则f(x0)不是极值,知识点二 求可导函数yf(x)极值的步骤,思考辨析 判断正误 (1)极大值一定大于极小值
4、( ) (2)f(x0)0是x0为极值点的充要条件( ) (3)在极值点两侧的单调性一定相反( ),题型探究,例1 求下列函数的极值： (1)f(x)2x33x212x1；,类型一 求函数的极值和极值点,解答,解 函数f(x)2x33x212x1的定义域为R， f(x)6x26x126(x2)(x1)， 解方程6(x2)(x1)0，得x12，x21. 当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：,所以当x2时，f(x)取极大值21； 当x1时，f(x)取极小值6.,解答,因此当x1时，f(x)有极小值3，无极大值,令f(x)0，得x1. 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,反
5、思与感悟 求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域，求导数f(x) (2)求方程f(x)0的根 (3)利用f(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值 特别提醒：在判断f(x)的符号时，借助图象也可判断f(x)各因式的符号，还可用特殊值法判断,解答,解 函数的定义域为R.,令f(x)0，得x1或x1. 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,由上表可以看出： 当x1时，函数有极小值，且极小值为f(1)3； 当x1时，函数有极大值，且极大值为f(1)1.,类型二 已知函数极值求参数,例2 已知f(x)x33ax2bxa2在x1时有极值0，求
6、常数a，b的值,解答,解 因为f(x)在x1时有极值0，且f(x)3x26axb，,当a1，b3时，f(x)3x26x33(x1)20， 所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去,当a2，b9时， f(x)3x212x93(x1)(x3)， 当x(3，1)时，f(x)为减函数； 当x(1，)时，f(x)为增函数， 所以f(x)在x1时取得极小值，因此a2，b9.,引申探究 若本例的条件改为“x3，x1是f(x)x33ax2bxa2的两个极值点”，求常数a，b的值,解答,解 因为f(x)3x26axb，由极值点的必要条件可知,反思与感悟 已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以
7、下两点： (1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解 (2)因为导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性,跟踪训练2 已知函数f(x)ax3bx2cx在xx0处取得极大值5，其导函数yf(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示，求： (1)x0的值；,解答,解 由图象可知，在区间(，1)上f(x)0，在区间(1,2)上f(x)0，在区间(2，)上f(x)0. 故f(x)在(，1)，(2，)上单调递增，在(1,2)上单调递减， 因此f(x)在x1处取得极大值，所以x01.,(2)a，b，c的值,解答,解 f(x)3ax2
8、2bxc， 由f(1)0，f(2)0，f(1)5，,例3 设函数f(x)x36x5，xR. (1)求函数f(x)的单调区间和极值；,类型三 函数极值的综合应用,解答,解 f(x)3x26，令f(x)0，,解答,(2)若关于x的方程f(x)a有三个不同的实根，求实数a的取值范围,解 由(1)的分析知，yf(x)的图象的大致形状及走向如图所示,直线ya与yf(x)的图象有三个不同的交点， 即方程f(x)a有三个不同的实根,反思与感悟 利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数
9、问题提供了方便,跟踪训练3 已知函数f(x)x36x29x3，若函数yf(x)的图象与y f(x)5xm的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围,解答,解 由f(x)x36x29x3， 可得f(x)3x212x9，,则由题意可得x36x29x3x2x3m有三个不相等的实根， 即g(x)x37x28xm的图象与x轴有三个不同的交点 g(x)3x214x8(3x2)(x4)，,当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表：,达标检测,答案,解析,1,2,3,4,5,1.如图为yf(x)的导函数的图象，则下列判断正确的是 f(x)在(3,1)上为增函数； x1是f(x)的极小值点； f(x)在(
10、2,4)上为减函数，在(1,2)上是增函数； x2是f(x)的极小值点. A. B. C. D.,解析 当x(3，1)时，f(x)0， 所以f(x)在(3，1)上为减函数，在(1,2)上为增函数，故不正确； x1是f(x)的极小值点，故正确； 当x(2,4)时，f(x)0，f(x)是减函数，故正确； x2是f(x)的极大值点，故不正确.,1,2,3,4,5,答案,1,2,3,4,5,解析,解析 由f(x)x240，得x12，x22， 函数f(x)的极大值与极小值的和为f(2)f(2)8.,答案,解析,1,2,3,4,5,3.函数f(x)x3ax23x9，已知f(x)在x3时取得极值，则a_.,
11、5,解析 因为f(x)3x22ax3， 则f(3)3(3)22a(3)30，所以a5.,4.已知f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则a的取值范围为_.,1,2,3,4,5,解析,解析 f(x)3x22axa6， 因为f(x)既有极大值又有极小值， 所以(2a)243(a6)0， 解得a6或a3.,答案,a|a6,1,2,3,4,5,解答,(1)求a，b的值；,1,2,3,4,5,解答,(2)判断f(x)的单调区间，并求极值.,令f(x)0，解得x1. 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，).,1,2,3,4,5,1.在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值. 2.函数的极值是函数的局部性质.可导函数f(x)在点xx0处取得极值的充要条件是f(x0)0且在xx0两侧f(x)符号相反. 3.利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.,规律与方法,
